量子力学中的微扰论(20210417221204)

1、第一章近似方法 无论是经典力学还是量子力学， 可以严格求解的物理系统总是少数。 如在经典力 学中，两个物体在万有引力作用下运动， 即二体问题是可以严格解的， 解出来就 是位置随时间变化的关系；如果再加上一个物体，即三个物体之间存在着引力， 它们的运动规律就是经典力学中著名的三体问题。 19 世纪末，法国数学家彭加 勒证明了三体问题是不可解的， 或说是不可积的， 即无法表示为一个轨道的方程 甚至无法表示为一个不定积分。 彭加勒证明： 对可积问题，初始条件作微量调整， 最终轨道也只要作微量修正就行了； 如果是不可积问题， 初始条件的微小变动就 会导致轨道完全不一样，即轨道对初始条件十分敏感。 实际

2、的物理系统大多属于无法严格求解的问题。 为了研究这些数学上无法严格求 解的问题， 我们可以使用各种近似方法、 计算机模拟或数值计算等进行处理。 在 什么情况下使用什么样的近似方法， 考虑哪些因素， 忽略哪些因素， 取舍之间蕴 涵着丰富的物理内容。 如：经典力学中的三体问题， 通常使用微扰论来解决， 即把第三个物体的影响当 作微扰来处理。譬如，地球与太阳是两体问题，加上月亮就构成了三体问题。月 亮对地球轨道也有影响， 但这个影响很小， 这就可以用微扰的方法来处理。 微扰 论在经典力学中取得的主要成就有：海王星的发现、星际航行。 量子力学处理的是微观粒子， 而实际问题大多包含多个微观粒子， 因此量

3、子力学 处理实际问题的复杂性还来自于多体性。对于具体物理问题的薛定谔方程， 能够像粒子在一维无限深势井中运动和氢原子体系这样的问题能够精确求解的 问题很少。 在通常遇到的许多问题中， 由于系统的哈密顿算符比较复杂， 往往不 能求出精确的解， 只能求近似解。因此，量子力学中用来求问题的近似解的方法， 就显得非常重要。近似方法通常从简单的问题的精确解出发来求比较复杂的问题 的近似解。在量子力学中， 由于体系的哈密顿算符往往比较复杂， 薛定谔方程能够严格求解 的情况寥寥可数， 因此，引入各种即时方法以求解薛定谔方程的问题显得十分重 要。常用的近似方法有微扰论、变分法、半经典近似、绝热近似、自洽场理论

4、、 玻恩-奥本哈默近似等。不同的近似方法有不同的适用范围，其中应用最广泛的 近似方法就是微扰论。微扰论 一般可以分为两大类：一类用于体系的哈密顿算 符不是时间的显函数， 主要讨论的是定态问题； 另一类用于体系的哈密顿算符是 时间的显函数的情况，主要讨论的是体系状态之间的跃迁问题。、微扰体系方程第二章非简并定态微扰理论假设体系的哈密顿量 H 不显含时间(体系的本征方程为 H? E)，而且可以分为两部分：部分是H?(0) , 它的本征值是 En(0) 和本征函数(0) n 是已知的；另一部分H? 很小，可以看作是加于 H?(o) 上的微扰:H?H?(0)H?1)其中H?(0)(o)E(o)nn(0

5、) n2)即由H?(0) 所描写的体系是可以精确求解的。 (1)中某种作用的强度，令1 。现在的问题是如何求解受微扰后哈密顿量 H本征值和本征函数，即如何求解整个体系的定态薛定谔方程：H?En3)0时，(0) , EE(0)n n n0时，引入微扰，使体系的能级发生偏移。既然是微扰，显然，(0) nEno)则应是波数和能量的主要部分。设:EnE(0)EnEn(1)n2En(2)Ln4)(0)n(1) n2 (2) L nL5)其中E(0)Enno)依次是体系未受微扰是的能量和波函数，,2E (2)En(1) n，(2)n L 分别是体系能量和波函数的一级修正和二级修正4)5)入( 3)式得(并

6、把同数量级的写在一起)H?(o)(o) n(H?(o) n(1) H? n(o) )2 ( H?(o)(2) nH?n(1)E(o)En(o) n(E(o) (1)E(1) (o) )( EnnE nn )2(En(o)n(2) nE (1) (1)Enn面我们建立零级近似，各级修正之间的互相联系的方程，将(En(2)nn(o) ) Ln这个等式的两边同级修正的项应相等，由此可得到下面一系列的方程：零级H?(0)(0) nE(0)En(0) n（6）一级H?(0)(1) nH? n(0)E(0)En(1) nE(1) (0)Enn（7）二级H?(0)(2) nH? n(1)E(0)En(2)

7、nE(1) (1) E(2) (0) n n n n（8）、能量和波函数的一级修正面讨论 En 无简并的情况式是一级上面的（ 6）式就是 H?（0） 的本征方程，可精确求解（已知） ，（7） 修正所满足的方程。将（ 7）式移项可化为：(H?(0) En(0) ) n(1)(H? En(1) ) n(0)9）(13)将波函数的一级修正 n（1） 按 H?（0） 的本征函数系展开，即10)(1)c(1) (0)ncmmm将（10）式代入9），则得(1) CmE(m0)E(n0)(0) mE(n1)(0) n11)（0）k * 左乘上式两边，并对全空间积分，利用(0) n的正交归一性，可得C(1)E

8、(0)E(0)m m n kmE(1)n kn(0) k*Hn(0)dn(1) (0)Cm EmEn(0)nE(1)km nknHkn(12)Ck(1)(Ek(0)En(0)En(1)nknHkn(12)式中 H kn(0) * Hn(0)dn称为微扰矩阵元1）能量的一级修正由（知，当k n时，kn 1，得E(dn*n0卡n0)dHnn(14)（1）即能量的一级修正En等于p?（0）n态中的平均值。2）波函数的一级修正当k n时，由（12）式可得(此 km的项存在）C (1)H nkCkE0E(0)Ek En(15)将ck1代入（10）式（(1)nm0）得(1)nHnk匚(0)匚(0)EkEn

9、(0) k(k n)(16)式中求和号右上角加一撇，以表示在对k求和时，要除开kn的一项这样，能量和波函数的一级近似为:E1 n能量的一级近似:Hnn(17)波函数的一级近似:(1)nnkE(0)En(0) k(18)三、能量的二级修正(0)C (2)m m(19)代入（8）式，并利用零级和一级近似得:(2) (0) (0) (1)Cm Em m HCmmm(0)mE（0）n(2)Cm(0)mHnn(0) e(2) (0)m mn n(20)k(0)Ck2)Ek0)用k左乘上式并积分，得kn(1) (0) 0)的贡献小的多，即前述相互作用常数时，才可采用微扰论，而从En En0)En1)En2

10、) (2) (0) (1)从En), Er；)的表达式知，知道了 n)就可求出En)知道 (2) cm H km 匚n ck H nn ck匚nmn时，注意到cm0，则由此式得能量的二级修正e(2)nC(1) hm nmmHE(0)EnmnEEmHnmHmnE(0) (21)EnEm在这里,我们用到了算符的厄密性:Hmnmn将( 17)和(21)带入(4)得:EnE(o)EnE(1)nE(0)EnHnmH门nmE(0)EnE(0)Em(22)将( 18)带入(5)得:(0)n(1)n(0)nHnmE (0)e (0)EnE m(0)m(23)n1)就可求出e：2)且只要规定态函数每一项高级修正

11、都满足与(0)n(1)n0类似的，同零级态函数的正交关系:(0)n(k)n0,(k0)，就可用(kn1)(k)求出En 。在算符H?的贡献比算符足够小（0） nnn的结果看，微扰论的成立不仅与H?有关，还与这些=1公式中的能量分母即分母中的零级能量差值因子（Eno） Emo）有关，准确地 说，以上两个结果是级数形式，它要收敛，必须要求后面的项远小于前面项，即:HnmE（o）E（o）nm第二章简并微扰理论2.1基本方程假设体系的哈密顿算h不显含时间，而且可以分成两部分：一部分是H（0）,（0） （） 它的本征值E（）和本征函数n）是已知的；另一部分H很小，可以看作是加于上的微扰：（1）H H（0

12、） HH所对应的本征值方程为HnEn n（2）以En和 n表示H的本征值和本征函数，则对应的本征值方程为：H n En n（3）如果没有微扰，则H就是H ； En，n就是n 。微扰引进后，体系的能级由巳，变成En,即能级发生移动（如图一）。波函数也有n变成n。EiEi()E2E2()E3E3()En()njnidij(5)图1受微扰后能级的移动假定H（）的第n个能级E（）n为f重简并，其本征方程为H（）nVni I 1,2,3 f.（ 4）一般来说，这些数函n并不一定相互正交。但是，我们总可以用f2个常数Aj把这个函数线性组合成一个新函数njnjAj nVi 1j 1,2,3使得这些新函数正交

13、。也就是(16)类似的，对于其它的任何一个态，假定能量为 Em（0） ，简并度为 f ，对应 f 个正交的新函数为mlB ji mi (0),1 1,2,3 f 由此，我们可以得到以下关系：mlnjdij mn6）（规定m、n、p和q均为能级指标，i、j 、 k 和 1 均为能级的简并指标。 ）为了明显地表示出 H 的微小程度，将其写成H?H?(1)其中 是一个很小的实参数。由于En和n都与微扰有关，可以把它们看作是表征微扰程度的参数 的函数。将它们展开成为的幂级数：En7）(0)(1)2 ( 2)()nnnnn(0)nEn(1)n2 E( 2)EnEn( )n8）式中Eno）， nr）依次是

14、体系未受干扰时的能量和波函数，成为零级近似能量和零级近似波函数；En（r）和n是能量和波函数的r级修正等等。其中r表示近似的阶数。将（ 7）式（ 8）式代入定态薛定谔方程（3)中得到(H(0)H(1)( (n0)n(1) 2(2)nLLr(r)nLL)(En(0)En(1)2 E(2)nLLrEn(r) L Ln)( (0)(n(1)n2 (2)nLLrn(r) LnL)这个等式两边同次幂的系数应相等。由此得到下面一系方程(H(0)E (0) (0)En) n0( 9)(H(0)E (0) (1)En) n(HEn(1)(0)n(10)(H(0)E (0) (2)En) n(HEn(1)( 1

15、)nEn(2)n(0)n(11)(H(0)E (0) (3)En) n(HEn(1)(2)nEn(2)n(1)nEn(3)n(0)n( 12 )(H(0)E (0) (4)En) n(HEn(1)( 3)nEn(2)(2)nEn(3)n(0)nE (4) (0)Enn( 13)(H(0)E (0) (r)En) n(HEn(1)(rn1) En(2)(rn2)E(r)(0)nn( 15 )引入 的目的是为了更清楚的得到方程（9) ( 10)-15)。这个目的达到以后，我们将省去，把H （1） 理解成 H ，（以下把H (1)写成H)，把 En (1) ,n(1) 分别理解为能量波函数的一级修正

16、等等，这样就没有含糊不清之处。2.2零阶波函数和一阶能量修正依照(4)式，零阶波函数可以写成f(0) o(0) (0)nani nii 1(10)式显然满足零阶近似方程(9)，其中酬为待定系数项将(16)式代入方程(10)中，有(H(0)ff(0) (1) (1) (0) (0) (0) (0) En ) nEani nia H nii 1i 1再以(0) nknk)左乘上式两边，并对整个空间积分得f(1)d E (1) a(0)* (0)di n k nii 1(H(0)En(0)f a(0)anii 1(0)* h % nk H ni d对上式左边,(0)* (0)nk (H由于E(0)、

17、EnH(0)为厄密算符,d(H (0)E(0)又为实数，从而E (0)(0)* dEn 丿 nk n d(H(0) E(0)n )(0) nkn(1)d=0对上式右边fE 1) a(0) 匚nanii 1f(0)(0)aninki 1(0)* nkn:)dH n：)dfE(1) 匚n kii 1f a(0)Hani H kii 1则上面的积分方程变成f0,k 1,2,3,(17)(h E )a (0)(H ki 匚n )ani kii 1欲求(17)式的非零解，则必须便ani(0)的系数所组成的行列式为零，即H11 EH21(1)nH12H21En(1)H1fH2fHf1Hf1HffEn(1)

18、这个行列式方程称为久期方程， 根 Enj(1)(j 1,2,3 f)。因为解这个方程可以得到能量的一级修正En(1)的f个njEn(0)EnjE(j0)En；)，若E的f个根中有几个重根，说明简并只是部分被消除，必须进一步考虎能量的二级修正，才有可能使能级完全消除简并；若En的f个根都不相等，则说明一级微扰可以将 f度简并完全消除，在以下的讨论中，我们都有此假设。同时，有(18)成立。为了确定能量EnjEn0)E1)所对应的零级近似波函数，可以把E,j1)的值代入方程(17)中，就可以解出一组对应的ani(0)，再代入(16)式中，就得到相应 的nj(0)，由此，可以得到f个n即n?)讨论：微

19、扰前后，对比能级图如下:E(0) (0)/Enn图1En1En2Enj(0) n1(0)n2(0) nj2.3 阶波函数修正(1)n由方程(9)和(15)可知，女口 r阶波函数(r)n修正满足r阶近似方程，则(r)n(r)*(0)n n0,r1由于En是f度简并，且一阶微扰可完全消除简并，所以n应有个不同的值，为了分析的方便我们令其分别为njC(0) n(0)仍满足原r阶方程，在此我们不妨令也就是规定正交条件 ,j=1,2.f，同样有f个不同的值,令其分别为Enj(r) ,j=1,2.f。在以下的计算中,用到(9)(15)式,其中的换成Enj(r) ,n(r)换成nj(r)。于是我们可以将阶波

20、函数修正展成为f(r)njai j(r)(0)nj ,i nia(r) nj ,mi j(0)m(19)把(19)式中的r取1,有f(1) ( njai j(1) (0)ij,inianj ,mi j(0)m(20)根据态的表象原则，我们可以知道aj,i(0)*ni() A nj di j(1)(0)*(1).(21)anj,mmnj dm n把(20)式代入一阶近似方程(10)f(H(0) En(0)(i中，有用m左乘以上式,(0) m(H(0) Eanj ,mi J(0)m并在整个空间积分，得f(0)n)(iani)i(0) nianj ,m J(H(0)、 (0)En ) nJ腭(H(0

21、) En(1)n%在上式中(0) (0) m ( Hf(0) (1) (0)、En )( anj,i ni )di J(EmEn)ia(0)mn:)d(0) (0)m (HEn)m(H E(0) (0)* f . nmi ja (0)dj ,i ni0(H(0)En(0) m(0)* 式1)(0)dI ,m mi Mm n(EmE (0)aJ,mm n(0)mm0)d(E (0)m m(0)n)mnani)m(Em(0)En)(0)* (0) (1) (0) (0)* (0) m (HEn 丿 njH nj d则上式变成(1) (e (0) anj ,m (Emanj,m(0)n(0)*mn0

22、)dEm(0)En(0)再把(20)代入到(11)(H(0)En(0)(2) nj(0) nin?d(22)工中，有(H EnjW)(an1)ii j(0) nia (0)nj, m m ) jEnj(0) nj用ni(0)*r(i(0)* nij)左乘上式并在整个空间积分,(H(0)En0) njdEnj )an1)j(0) nian j,mm n#)d(0)* E (2) ni 匚njnjd在上式中(0)* (0)(0)(2ni ( HEn ) nj dn0)*(HEnj(0)anj ,m Enjm n(0)(0) niaj,mn(%m dm0)dn)*Hm(0)d(0)ni(0)dn0)

23、*(HE)j(0)*i(0)ni鳥nj,ij* (0)m(0) nianj ,mm n(0) niH m(0)dan：)mm nn0)*(H(0) nim(0)dfaji m n(0)(0) dni ni dEnj )ni(0)d(0)ni(0) nia.E .j,i nim n则积分变成m naE j,i njnaEj ,i nianj ,m nn)* Hm(0)d把( 22)、(1)nji jaj,mnn0)* h d(0) n i 帀(Jni dWmn (Eni) E).(En0)Em0)(23)(23)式代入到(0)*(0) di Hm dn Enj Eni20)式中，得以完整的一阶波

24、函数修正为(0)*(0) Hm H ni dEE(0)EE0)EnEm(0) ni(0) (0) d m H nj dEE(0)E0nEnEm(0)m(24)2.4二阶能量修正Ej2)(j 1,2, f)ni),Eni)已知的情况下，求e,。观察二阶近似方程(ii)知,可用如下方法：用nj(1)*左乘二阶方程(11)并对整个空间积分，得(0)*nj(H(0)En(0)n2)d*(0)nj(En?h) n1)d匚(0)*唇E njnjnj d(0) nj(H(0)E(0)En)n?d(H(0)E(0)(0)* djnj(En(0)E(0)En)n0)人 nj d0E：(0)*(0)njnjde(

25、2) j(0)*nj(En1)H)Ej(0)*nj(1)d(0)*h (Ddnjnjnj Un0)*Hnj d则上面的积分式变成Enf(0)* H 0)dnj Hnj d(0)*H( j)dnj Hnj d把（20）式代入上式中卩(0)EnjnjH aj,i(0) njajm(0)mdijmn由于j H (0)d njE(1) jijf可得e(2)a(1) anj(0)* H nj H(心 nj da(1)nj,m(0)*njh m0)di jm na匚anj ,i Enjija(1)nj,m(0)* h nj H(0)mda(1)mijm nm nn(0)*H m0)d把（22）式代入上式中

26、,（0）*mEnf有(0).nj dEnno)d(0)*H (0)dnj H m dE(0)Em2观察(0) (0) m n En Em(25)式知，E,(25)的形式与非简并情况下所得到的能量二级修正的结果形式一样。2.5二阶波函数的修正nj由（19）式，取r2，有T(0)(2)nj瑞Inianj ,mI jm n同样根据态的表象原则,上式中(2)*(0)anj,ininj da(2)nj,m*(0)m(2). nj d(0)m(26)将(26)式代入二阶方程f(H(0)En0) an2)i j11)(0)nim n(0)m m(E(1) H )(1) E(0)jnjnj njmo）danj

27、,mm n（注意：其中ni）, En；）可以看作为已知函数）用m*左乘上式并对整个空间积分得（0）*（H（0） E（0）（ a（0） mnnj,i ni在上式中(0) m*(0)m(H(Ej(0)En0)i)(i)njE(2)(0)*(0)dE njmnj dan；)no)d(Em0)E(0)Enan2,)(0)*(0)dmnj d(0)m(H(0)e(0)(2)(0)anj ,imd(0) (0) (0)HEnm(2)(Janj ,m m dmnm n(Em0)e(0)(2) anj ,mE(0) nj*(0)m(0)H nj d0mn今 令nja (0) anj,knk勺(0)anj,p

28、pk jp n(0)*m(Eni)H)n;)d*(0)m(EnjH)(akk jani)p(0)*m(Ej H)pdp naanj,k(0)mw n?dk j(0)J)(0)x. p )dnkanj,pp na(1)匚nj ,k Enj(0)* (0) mnkk j(0)*(i)m ( EnjH)pd(0)*m(0)nk从则使得上面的积分变成(Ema(2)nj,mEn0) anf；m n-JE (0) e (0)EnEm pP n ani)p n(0)m(EjH)(0)dp ua(1)j,k(0)mH(0) nkk jf*EjH)(0)人p da(1) anj,k(0)mH (0) nkfd

29、k j(0)m把ani)p和an；)k的值代入上式可得(0)*mH Ejp0)dp0)*H (j0)dp n(e(0)Em0)(En(0)Ep0)(0)* m Hn0(k* H pdr h (0)da(2)nj,mn(En0)k j P用n0)e) )(Eni)Eni)(En0)ep0)j)左乘三阶近似方程(12)，并对整个空间积分，并把(26)式代入上式(0)*(0)(0)(3)八ni (HEn 丿 nj d(0)* (E ninjH)( an2)ii j(0) nianj,mm ny)dEn?(i(0)*(1)(3)(0)*(0).ni nj d Enjni nj d在上式中(0)*ni(

30、H(0)E（0） 匚nH)nj d(H(0)En0)(0)* (3)dninj0(3)Enj(0)*nj(0)H nj de(3) ijnj ij0(0)* nj(E (1)jH)anj ,mmd(0)* e ninj(0) d nj ,m m M(0)* H a(2)(0) dni Hanj ,mm dm nmnm na (2)j ,m*(0) niH絆dm inE(2) j(0)*ni(1)八 nj de（2）(0)* / ni (a(0)anj ,i nia(rm m)dE(2)ajnj ,ii jmi ni j则上面的积分式变成(EjE )a2 ninj ,ianj ,mmn所以an2

31、）i1manj ,m nE Ejnino) h m0)d(0)* ni H(0)dm Je(2)njan；)i 0(0)* h ni H叭de(2)njEji汕HEnj% p dp0)*H (0)dEng)(0)(EEmno) h po)d.P0)* H (0)nk(0)nk(0) m(0) mn0)d(EjEn(1)(En(0)E )(En丘丫!)Enf*(0)nj*(0)(EnjEni)(E(0)nEp0)(28)把（27）、（28）代入到（26）式中，就得出二阶波函数的修正值。2.6三阶能量修正En3）观察式（12）可知，要求三阶能量修正值 En3），可以把三阶近似方程（12）两边同乘以

32、n0）*，并对整个空间求积分，有(0)*(H(0)E(0)nj d(0)* nj(0)*nj人(EnjH ) nj d%nj d(0)*匚月 nj Enjnj de(3)对上式进行整理化简得0n(j0f H n de(3)Enj所以E(3)(j0)H (2). nj d把（26）式代入上式中，有p0) H n0)d(3)Enjn(j0)H(aj)(0) nii ji0)Ha(0)(0)dnj ,nnanj ,mm n把an2)m的值代入上式中(0)* njEn?mm0)dp0)*(H En(；)p0) h n0)dn p nn?* HmdE)(0)*H nk H(1)2.7三阶波函数修正(3)

33、 nj(19)(3) nj式中的r取3,faanj ,ii j(30)(H(0)En0)(0) nif3)nj ,mn式化入三阶近似方程f a(3)nj,ii j(0) niE(0) )(E(0)nn0)dE(0)(En(1)E；)(E(0) p 70T n(29)(30)12)a(3)nj ,m n中，(0)m )(Enjh) n2)EnrnjEn3)(0) njm0)式乘上式，并在整个空间积分,fanj,i jf(H(0)E(0)n)(i(0) nianj ,m n(0)d(0)* (1) m (EnjH)nj(0)* 匸(2) mEd(3)Enj(0)*mn0)d上式左边(0)*m(H(

34、0)E(0)匚n)(i j(0) ni(0)d(H (0)E(0)En(0)m(0) nian；)m (H (0)m nE(0)En(0)m(0)man?i(0) me(0)(0)m(0)nianj ,m(Ef E(0)n(0)*mi jan3m(Em0)E(0)n(0)*mEj(J nj d匚(3)Enj(0)*m(0)d nj(0)*m(1)anj,k(0) nk(1) anj,pnp0)d(1)anj,pEnfmp0fi(2)nj(0)*m(2) anj,i j(Enj)(0) ni(2) anj ,qn(0)qH)nj(0)*m(En(1)aj)(3)anj,m把 an2W an2)E

35、(0)Enan2)j細n0)d代入上式，即得an；）m把（30）式代入到四阶近似方程（(h(0) En0) nr(En?H)(0) nj用n0)左乘上式并积分(0) (0)ni (HEn0)n4)dH )(an2)|m0)H n0)d(0)*mh ni0)an2qnE（）匚EmEn13）式中,f(0) ni(0) ni(En(1)fan3)(0) nianj,m)dEn2)(2)(0)njnjEn3)(0) nim nn:)dEn4)n0)d在上式中(0)* nj(H(0)E(0)En nj(H(0)E(0)EnEn0)E（0） 匚nEnj(0)*nin0)dEnjijEn3)(0) nin:

36、)dEn3)fnik jan；）kEnr(2)njnj(0)niqan2)nm0) (h H)(0) * nj (0) ni(1) nk)an2)q q0)d(0) (1) m ( Enj(0)mh) q0)dH)(31)anj ,m ndnjn:)dan；）p(0) )e(2)(2)m )EnjnjEn3)(1) njP0)dfE(3j k je2)(3) (3)(1)anj,kanj,kkin0)(i(2) (2)Enj anj,lilan2)(0) nlan2qnq0)do(2) (2) anj ,l Enji j(0)* ni ( EnjH)(an3)i(0) nia (3)(0)an

37、j ,m m)di jm nf a(Enj,lnjE）iaj ,m(0)* /E m (EnjH )dfan2)En?i jm nEaknj nj,k从而an；,)fanj3)mn(0)*H m0)d(2) (2)Enj an,ljEak j nj ,km n(3) nj 0(32)把（ 31）、（32）代入（30）中，即可得到2.8讨论 （19）式是r i阶波函数修正nr的一般表达式，它由第n能级内其他简 并波函数的叠加以及由其它能级波函数的叠加这两部分组成，后一部分的系数an：）m由r阶方程决定，并且在使用r 1阶方程求解r 1阶能量修正E时，也只 需要用到这一部分系数。这是因为存在着下列

38、普遍的关系式。E（r）（0） H （r1） da（r 1）（0） H （0）d（ 33）njnjnjnj, mnjm（m n并且由于（18）式n;）的nr中i j叠加部分对（29）式没有贡献的缘故。n；）的前一部分系数an：,）要用到r 1阶方程才能决定，在求解a），或者能 过（32）解Er 2）时，才用到这一部分系数。n；）分成两部分表示并且作用各不相同，可能是出现有异于非简并情况的复 杂性的根源。 因为非简并情况是简单情况的一种特殊形式，所以以上各式应都适用于非 简并情况，在此情况下，所有多出的项会自动消失，还原成普通的非简并微扰公 式。 综上可知，简并微扰理论的各阶修正，都需要从各阶微扰

39、近似方程从头做 起，才能得到正确的结果，而不能从非简并公式那里得到推广。 从文章知，简并微扰高修正，阶数越高越复杂，而且没有普通的公式，因 此有人将简并微扰情况的哈密顿算符重新安排，从而把简并微扰化成非简并微扰 来处理。量子跃迁1.与时间有关的微扰理论一、计算跃迁几率的量子力学描述当t三0时，粒子处k(r)态,能级为)与k是未微扰前的哈密顿算符Ro的某一本征态与本征能量，满足H?0k(r) k k(r)ikt定态波函数为：k(r ,t)k(r )eiii = k(r,t)F?0 k(r,t)它满足Schrodinger方程： t当t三0时，加一个含时微扰 H (t)H?0H?H?oH? (t)

40、波函数由k(r)(r,t)()要满足Schrodinger方程:(r,t) H? (r,t)(1)(r,t) ?把(r,t)按本征函数系k(r,t)展开,(r,t)am(t) m(r,t)m(2)其中展开系数am(t)?其物理意义是什么?由量子力学原理知，t 0时，体系处在定态 k(r,t) ； t 0时，体系处在一系列可能态1(r,t) m(r,t)k(r,t)m (r ,t)的跃迁几率为:,处在 m(r ,t)的几率，即从am(t)Wkm要严格求解H?的薛定谔方程通常是很困难关键是如何求出展开系数 am(t) 的。只能采用含时微扰方法求解。二计算跃迁几率的含时微扰方法将(2)式代入(1)式

41、得dan(t)n dt上式推导过程中运用了n(r,t)tan(t)Hnnl，将d左乘上式得di dtam(t)H mnan(t)ein(3)其中Hmnm(r)H n()d微扰矩阵元mnmn是从 m跃迁到的角频率。(玻尔条件)(3)式是一阶微分方程组，未知元为 能量表象中的表示。原则上可由初始条件an(0)am(t), m 1,2,3,是薛定谔方程在nk 0时体系处在k(r,t)态，这时(r，0)nan(0)n(，0)，求解(3)可得 am(t),m 1,2,3,实际上无法精确求解，因为(1)方程个数无限多；(2)每个方程又含无限多个Hmn只能近似求解，注意到在方程式的右边已含一级微量 H mn，则在考虑一级近似时用an(t)的零级近似 nk代替弘 得di adtm(t)H eink mnmntH mk ei mktam(t)最后得:丄Hmki 0(t )ei mkt dt(4)所以，从k跃迁到 m的跃迁几率为:Wkmam(t)(5)这就是用含时微扰方法计算跃迁几率的一般公式。关键是求H (t)的矩阵元OH HmkH mk (t)。可见，已知H0本征函数