任意角的正弦、余弦、正切

1、任意角的三角函数课型：新授课课时：1课时教材分析本节课是三角函数这一章里非常重要的一节课，它是本章的基础，主要是从 通 过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角 的三 角函数的定义。三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数 学和其他领域中具有重要的作用。我们要借助单位圆去理解任意角的三 角函数（正 弦、余弦、正切）的定义，为后面的学习做好准备。在本模块中，学生将通过实例学 习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。 教学冃标1、知识与技能：掌握任意角的三角函数的定义；己知角a终边上一点，会求角8的各三角函 数 值；记住

2、三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。2、过程与方法：理解并掌握任意角的三角函数的定义；树立映射观点，正确理解三角函数是 以 实数为自变量的函数；通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高 学生分析、探究、解决问题的能力。3、情感态度与价值观：使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数 值）的一种联系方式；学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。 教学重难点重点：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限 内的符号以及诱导公式一难点：任意角正弦、余弦、正切的定义教学过程一、复习引入思考：我们已经学过锐角三角函数，知

3、道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?结论：在RtAABC中，设A对边为/B对边为b, C对边为c,锐角A的正弦,sinA = 一 cosA = - tanA =一余弦，正切依次为：ccb。锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？如图，设锐角&的顶点与原点。重合，始边与X轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限在Q的终边上任取一点彩，它与原点的距离Wo过P作X轴的垂线,垂足为M ,则

4、线段0M的长度为件线段MP的长度为MP bsin a =-0Pr ；OM acos a =一OP r P在仪的终边上的位置的改变而改变大小.MP btcin ct =-OM a思考2：对于确定的角这三个比值是否会随点卩在&的终边上的位置的改变 而改变 呢？为什么？根据相似三角形的知识，对于确定的角，三个比值不以点我们可以将点P取在使线段的长厂二1的特殊位置上， 这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:OPcos a =二tan a单位圆:在直角坐标系中，我们称以原点。为圆心，以单位长度为半径的圆称 为单位圆.上述P点就是Q的终边与单位圆的交点，锐角Q的三角函数可以用单位圆上点

5、的坐标表示.二、新课讲授1 任意角的三角函数的定义结合上述锐角Q的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢？显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.如图，设Q是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(儿刃，那么：(1) y叫做的正弦，记做血叫即sina = y；(2) %叫做Q的余弦，记做cos匕即cosa = x；*叫做Q的正切，记做tanatancr 二 一(A 八 0)x思考3:在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系有什么特点，函数值是什么？+ k 兀(k eZ)说明:时，&的终边在 轴上，终边上任意一点的横坐标xtan 6Z 二一都等于。，所以无意义，除此情况外

6、，对于确定的值上述三各值都是唯一确定的实数.(2) 当仪是锐角时，此定义与初中定义相同；当。不是锐角时，也能够找出三 角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点A”)，从 而就必然能够最终算出三角函数值.(3) 正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值 为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.2 利用定义求角的三角函数值5龙例1求亍的正弦，余弦和正切值.AAOB = 解：在直角坐标系中，作ZAOB的终边与单位圆的交点坐标为氏二-73 5TTy/35/r 15 兀sin=. cos=-, Un -323235龙 7兀思考：如果将亍变为E呢？ 例2

7、已知角Q的终边过点九（一玄7），求角&的正弦，余弦和正切值.思考1：如何根据例题1解答思考2：般的，设角终边上任意一点的坐标为（x,y）,它与原点的距离为工,思考3：如果将题冃中的坐sin a - 一, cos a = 一, tan z = 一则厂厂，你能自己给出证明吗?标改为（-3/ -4a）,题目乂应该怎么做？ 3.三角函数的定义域和函数值符号探究：请根据上述任意角的三角函数定义，先将正弦，余弦和正切函数在弧度制卜的定义域填入下表，再将这三种函数的值再各象限的符号填入下表十十十0X0十Xcsccosgj+0X十W3函数y - sin ay - cosay - tan a定义域RR&|GH

8、彳 + SR GZ例3,求证：当下列不等式组成立时，角为第三象限角，反之也对sin a V 0tan a 0证明：如果sinov。成立，那么角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与丁轴的非负半轴重合;如果tano，所以角的终边可能位于第一或第三象限所以，角 的终边只能位于第三象限，时第三象限角 反过来，请同学们自己证明变式训练判断卜列各式的符号1. sin340 -cos265 2. sin4-tan ()；4 求函数y二陌+谕的定义域4 诱导公式一山三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等，山此得到一组公式sin (a + k - 2/r) = sin acos (d + & 2)二 cos atan (a + k 2 7L) -tan a利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为求0至IJ 2兀的三角函数值 例4确定下列三角函数值的符号：cos 250tan(-672 ) 帖订3兀变式训练：求下列各式的值cos + tan(15 兀(1)(2)sin 420 cos 750+ sin(-690 ) cos(-660 )三. 课堂小结任意角的三角函数的定义；三角函数的定义域及三