随机过程-习题-第4章-01

1、4.1设有一泊松过程 Nt, t 0，求:(1) P N t1k1, N t2k2，用切t2的函数表示之；(2) 该过程的均值和相关函数。问该过程是否为平稳过程？(1)解：首先，P N(t1) k1, N(t2) k2 P N(t2) k2 N (t1) k1 P N(t1) k1根据泊松过程的独立增量性质可知(t2 t1)(t t )匕 k1 PN(t2) k2 N(t1) k1P N(t2 t1)k2 k1 叮 e(k2 k1)!于是,P N(t1)k1, N(t2)k2k2(t2 t1)k2 k1t1k1t2坏他k1)!(2)解：该过程的均值为E N(t)t e k!tetk1k1 k

2、1!根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(t2 t1)E N(tJN(t2)EN(tJN(t2)N(tJ N(tJEN(t1)EN(t2) Ng EN2(t1)其中，EN(t2)N(tJ(t2 tj2 2 2EN2(t1)2tf t1于是，t2 t1时的相关函数为E N(t1)N(t2)2t1 (t2 t1)t12t1t2t1同理可得t1 t2时的相关函数为EN(t1)N(t2)2t1t2t2所以，泊松过程的相关函数为E N(tJN(t2)2t1t2mintt2所以，泊松过程过程不是平稳过程。4.2设有一个最一般概念的随机电报信号 (t)，它的定义如下:(1) (0)是正态分布的随机

3、变量N(0, 2)；(2) 时间 内出现电报脉冲的个数服从泊松分布，即()kPk, -e(k=1,2,)k!(3) 不同时间的电报脉冲幅度服从正态分布N(0, 2)，这个脉冲幅度延伸到下 一个电报脉冲出现时保持不变，不同电报脉冲幅度的取值是相互统计独立的，同一电报脉冲内幅度是不变的。(4) 不同时间间隔内出现电报脉冲的个数是相互统计独立的。它的样本函数如图4-2。(k) (t)图4-2(1) 试求它的二元概率密度。(2) 试问该过程是否平稳？(1)解：设tl0,维特征函数，即同时对于任何关函数R (切t?) o证明：首先，(t)的均值为(t) ej( t (t)( t )(t)是一个二级严平稳

4、过程，设t1t2 (u1, u2)是过程(t)的二t1t2(uU2)Eeju1 (t1) u20(1,0)0 o试证明过程(t)是宽平稳过程，并求它的相E (t) ej tE ej (t) ejt t,t 1,0ej t 0, 1,0 0(t)的相关函数为R (ti，t2)E(tl) (t2)ej(t1 t2) e ej (t1)(t2)ej(t1 t2)因为(t)是一个二级严平稳过程，所以tl,t2(1, 1)只与 tl t2 有关。因此，R (tt2)也只与tl t2有关，且其均值为常数，所以(t)是宽平稳随机过程。4.8设有一时间离散的马尔可夫过程(n)(n 0,1,2, )。(0)具有

5、概率密度函数2x (0 x 1)f(x)0(其它)对于n 1,2, 3,，当给定(n 1) x时(n)的条件概率密度均匀分布于(1-x,1)之间。问(n)( n 1,2,)是否满足严平稳的条件？解：对于任意一个马尔可夫过程和任意m+1个取样点，它们的联合概率密度函数有如下性质m 1f (Xj, ,Xj m) f (Xj)f (Xj i 1 |Xj Ji 0对于本题，其中的f(xi 1 |xi)是不随时刻i变化的。若f(xi)也是与时刻i无关的,则f(Xj, ,Xj m)在时间轴上做任意平移时是不变的，那么该过程是严平稳的。因此,只需要证明f(Xj)与时刻j无关首先，(1)的概率密度函数为fi

6、yi1 yfi|o(y |x)fo(x)dxi 12xd x 2y1 yxy 1)由此可见，的概率密度函数与(0)的概率密度函数相同。依此类推，可得(n)(n 2,3,)的概率密度函数也与 (0)的概率密度函数相同，即 (n)的概率密度 函数不随时刻i变化。因此，取样点在时间轴上做任意平移时该过程的所有有限维分 布函数是不变的，即(n)是严平稳过程。4.9设有两状态时间离散的马尔可夫链(n)(n =1,2,3,)，(n)可取0或1，它的一步转移矩阵为q1P1P2 q2其中,p1+q1=1, p2+q2=1P (0) 0P2P1,P (0) 1P1P2P1P2试证明该过程为严平稳过程。证明：对于

7、齐次马尔可夫链，其】一步转移概率与时刻无关，若其一维概率分布也与时刻无关，则其任意维联合概率密度函数只与取样点间的时间间隔有关，而与具体的时刻无关，即具有严平稳性质。因此，对于本题只需要证明该马尔可夫链的一维 概率分布与时刻无关。首先，(1)的概率分布为P (1) 0 P (1) 0, (0) 0 P (1) 0, (0) 1P (1) 0| (0) 0P (0) 0 P (1) 0| (0) 1P (0) 1 qP (0)0P2P (0) 1P2P2 P1P1P2P (0) 0同理可得P (1) 1 P1P (0) 0 q2P (0) 1 P1P2 q2P1P (0) 1P1P2由于一步转移

8、概率与时刻无关。所以，由此可以推知P (n)1P (1)1P(0)1P (n)0P (1)0P(0)0其中，n =1,2,3，.所以该过程为严平稳过程。此题的另一种解法就是先求n步转移阵，然后直接求n时刻的概率分布。首先, 利用习题2.11的结果可得n步转移阵为1P2P1(1P1Pz)P1P1(1P1P2)nP1P2 P2P2 (1P1Pz)P1P2(1P1P2)nP(n)于是，P (n) 1p0：)p (0) 0卩旳(0) 1P1P1 (1P1P2)n匹 2 P1 P2(1 P2(P1 P2)P1P2)2P1P1 P2P (0) 1同理可得,P (n) 0 P (0) 0所以，该过程是严平稳

9、过程。4.10设有相位调制的正弦过程(t) Acos( t (t)其中，为常数，0, t, t 0是泊松过程，A是对称贝努利型随机变量，即11P A 1 -，P A1 -，A和t是相互统计独立的。试画出其样本函数，样22本函数是否连续？求(t)的相关函数R (t1,t2)，问是否均方连续？解：设t1t2。由给出的(t) Acos( t (t)可得馆)心)A2 cos( t1(tj COS(t2A2 cos t1 cos t2t2t1偶数2 cost1 cos t2t2t1奇数其中,2 (t2t1)P t2t1偶数P t2t1奇数1 e 2 (t2 t1)于是,E (tj (t2)| Aa2 a

10、 cos1t1 cos t2 -a2 cost1 cos t2e 22e2(t2 G(t2 t1)COS1t1 cos t2 -所以，相关函数为R (t1, t2) Ea(t1) (t2)| AaEa(t1) (t2)| A1PA1Ea(t1) (t2)|A1PA1COSt1 cos t2e 2(t2 t1)同理可得t1 t2时的相关函数为R (t1,t2)cos t1 cos t2e2 (tl t2)因此，相关函数为R (t1，t2)cos t1 cos t2e2 |t2ti|在 t1 t2 t0 时，R (t0,t)4.11设有实宽平稳随机过程P| (t证明：设(t) (t )(t)(t)

11、，其相关函数为R ()。试证:)(t)| 三R (0) R ()因为(t)是平稳随机过程，所以E (t )(t) 0cos2 to ,即 R (ti，t2)在(to,to)处连续, to (0,)。所以，(t)在(0,)上均方连续。样本函数见下图，显然样本函数是不连续的则(t)的均值和方差分别为E (t) 0根据契必雪夫不等式2E| (t )(t)|22R (0)R ()P|P| (t )(t)|(t )2(t)|222R (0) R ()4.12设有随机过程n(t)Akej ktk 1其中，Ak (k=1,2,，n)是n个实随机变量，k(k=1,2,，n)是n个实数。试问各Ak之间应满足怎样

12、的条件才能使(t)是一个复的平稳随机过程?解：首先，(t)的均值为nE (t) EAk(ej kt)k 1若 是宽平稳过程，则E (t)为常数，即与t无关，贝U要求EAk 0(k 1,2, n)(t)的相关函数为nnE (t ) (t) E Aej i(t )Ajej j i 1j 1n n丄EAiAjej i(t )e j ji 1 j 1若(t)是宽平稳过程，则相关函数只与时间差有关，因此要求i i j (a ) EAAj0 i j4.13设平稳随机过程(t)的相关函数为R ()，且R (T) R (0)，T为一常数，T 0,试证:(1)有(t T) (t)依概率1相等;(2) R (t

13、T) R (t)，即相关函数具有周期性，周期为 To(具有周期性相关函数的平稳随机过程称为周期性随机过程)(1) 证明：要证依概率1相等，只需证E (t T) (t)20即可。由于(t)是平稳随机过程，所以E (t T) (t)2 R (0) R (T) R ( T) R (0)由相关函数的对称性可得2E (t T) (t) 2R (0) 2R (T) 0所以，(t T) (t)依概率1相等；(2) 证明：根据相关函数的定义R (t T) E (t T) (0)，R (t) E (t)(0)由(t T)(t)依概率1相等E (t T) (0) E (t) (0)于是，R (t T) R (t)

14、此外，也可以用另一种方法证明：首先E (t T) (t) (0)E| (t T) (t) |2E 2(0)由(1)中结论可知E| (t T) (t) |2 0所以，E (t T) (t) (0)0因此，R (t T) R (t)4.14设有随机过程n(t)Ak cos kt Bk sin 讥k 1其中， k(k=1,2,n)是给定的实数，Ak、Bk ( k=1,2,n)是实随机变量，EAk 0,EBk 0，各 Ak、Bk间彼此相互统计独立，DAk DBk2 (k=1,2, n)。求它的相关函数R (t1,t2)。解：根据相关函数的定义得 nnR (t1,t2)EAi cosit1Bisinit

15、1Ajcosjt2Bjsinjt2i 1 j 1因为Ak与Bk间相互统计独立，并且EAk O,EBk0。所以，EAiBjEAiEBj 0i j i jEAiAj 0 ， EBiBj0于是nR (t1,t2)E Ak2 cos kt1 cos kt2E Bk2 sin kt1 sin kt2k1n2k cos k (t1 t2 )k1n2k cos kk1由此可见，该过程是宽平稳过程。4.15设有平稳随机过程(t), (t)，且(t), (t)是相互统计独立的；又设有随机过程z(t)、(t),z(t) (t)(t)(t) 2 (t)(t)求 Rz( )、Rw( )、Rzw( )、Rwz( )解：

16、由于 和(t)是平稳随机过程，所以可以设(t)、(t)的均值分别为和相关函数分别为R 和R 。于是Rz( ) E z(t)z(t ) E (t)(t) (t ) (t )E (t) (t ) E (t) (t ) E (t) (t ) E (t) (t )因为(t)和(t)相互统计独立，所以Rz( ) R ( ) R ( ) 2同理可得R()E4t)(t)E2(t) (t) E 2 (t)(t)E(t)(t)4R ()R()4Rz ( )E2(t)(t)E2 (t) (t) E (t)(t)E(t)(t)2R ()R()3R z( )E2(t)(t)E(t) (t) E2 (t)(t)E(t)(t)2R ()R()34.16设(t),(t),(t)为实随机过程，(t)(t) (t)。(t) ,(t)为相互统计独立的随机过程，则(1) R ( )R ()R( ) 若 P(t)=(t), Q(t)=(t) ,RP( )e a|1, Rq( ) e b| 1a,b为正实数。,为(t)