随机过程习题及复习资料

1、0yxl、1.1设二维随机变量（X,F）的联合概率密度函数为:其它试求：在_严1时，求叫小回解:曲-匚仏皿珂_x)曲 -J*02T _J12Xl-jr)2其它_!其它20 / 19yxl其它E(XY=yi1+jr2jr?3Q-y)1.2设离散型随机变量X服从几何分布:XX 工 jt=t-iA -试求*的特征函数，并以此求其期望与方差皿）山=仗3 =壬巩=*3解：，=乞（1-05 = -P -R*Q二丘口1-Q-Q1-giptQ二小所以:DX=EX1 -(ESTf = 0+12.1袋中有一个白球，两个 红球，每隔单位时间从 袋中 任取一球后放回，对每 一个确定的t对应随机变量x（t） 3如果对t

2、时取得红球 et如果对t时取得白球试求这个随机过程的一 维分布函数族2.2设随机过程以 心叭呻 ” /0JT“+F） 坯好环皿钏+甥与无关(2)武“)=T3=尸二盘才肚cos弋纠/ 4?)兰恵(丿刁颈df条吕心去JT存乙5t_ r- r=匸口 it +訐适三2产门丁 ir= ”所以肖:()-珥灯(切-(3)町S轨创应农応=r)i47 = 0D二皿才压wO0(A+Dg(召 47)=计扣=3(A十阿的+力一 g %區一切如/*叫心 用 只与时间间隔有关，所以上(为宽平稳过程2.3设随机过程 X(t) U cos2t，其中U是随机变量，且 E(U) 5, D(U) 5求: (1)均值函数；(2)协方

3、差函数；(3)方差函数2.4设有两个随机过程 X(t) Ut2, Y(t) Ut3,其中U是随机变量，且D(U) 5.试求它们的互协方差函 数。2.5设代B是两个随机变量，试求随机过程X(t) At 3B,t T (,)的均值函数和自相关函数 若A, B相互独 立,且A N(1,4), B U (0,2),则mx (t)及Rx(ti，t2)为多少？3.1 一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立， 则1小时内平均 有多少学生接受过体检？在这 1小时内最多有40名学生接受过 体检的概率是多少(设学生非常多，医生不会空闲)解：令N(t)表示(

4、0,t)时间内的体检人数，则N(t)为参数为30的poisson过程。以小时为单位。则 E(N(1) 30。P(N(1) 40)40 赵e。k 0 k!3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1，2，当1路公共汽车有N1人乘坐后出发；2路公共汽车在有N2人乘坐后出发。设在 0时刻两路公共汽车同时开始等候 乘客到来，求(1)1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达 式；(2)当2 = 2，1= 2时，计算上述概率。解：法一 ：(1)乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为 1、2的 poisson过程，令它们为N1(t)、N2(t)。Tn1表示N1(t) =

5、N1的发生时 刻，Tn2表示N2(t)=N2的发生时刻。N1fT (t1) 1t1N1 1 exp( 1t1)Tn1(N1 1)!1“ 117N2fT (t2) 2t2N2 1exp( 2t2)Tn(N2 1)! 222N1N2fTN1 ,Tn2 (t1，t2)fTN1TN2(t1|t2) fTN2 (t2)J 彳、eXP(L)(N eXp(2t2)(N1 l)!(N2 l)!P(Tn1 Tn2 )dt2ti0 (N, 1)!exp(iti)(N2 1)!2exp(2t2 ) dt11(2)当 N1 = N2、 1= 2 时，P(Tn1 Tn2)P(Tn1 Tn2)-法二：(1)乘车到来的人数

6、可以看作参数为 1+ 2的泊松过程。 令乙、Z2分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时 间间隔。则乙、Z2分别服从参数为1、2的指数分布，现在来求 当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客还是乘坐1路汽车的概 率。Z2p P(Z1 Z2) 0 dz2 0 1 exp( 1Z1) 2exp( 2Z2)dz11。1 2故当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客乘坐2路汽车的概 率为1- p1 2上面的概率可以理解为：在乘客到来的人数为强度1+ 2的泊松过程时，乘客分别以概率乘坐公共汽车1,以的概1 2 1 2率乘坐公共汽车2。将乘客乘坐公共汽车1代表试验成功，那么有：N1 N21P(1路汽车比2

7、路汽车先出发)二CiM )N1(一 )k N1k N11212(2)当弘二也、1= 2时2N 12N 1P(1路汽车比2路汽车先出发)二ckN11(1)k 1CkN11(1)k1丄k n22 k n223.3 设Ni(t),t 0， (i 1,2,L , n)是n个相互独立的Poisson过程，参数分别为i (i 1,2,L , n)。记T为全部n个过程中，第一个事件发生的时刻。(1 )求T的分布；(2) 证明N(t)iniNi(t),t 0是 Poisson过程，参数为；！ j ；(3) 求当n个过程中，只有一个事件发生时，它是属于 N1(t),t0的概率。解：(1)记第i个过程中第一次事件

8、发生的时刻为tii，i 1,2,.,n则Tmi nti1,i1,2,., n。由ti1服从指数分布，有PT t 1 PT t 11 Pti1t,i 1,2,., nn.t11 (1 e i )1i 1Pmin帖1,2,., n tn1Pti1ti 1nexp iti 1(2)方法一：由Ni(t),i 1,2,., n为相互独立的poisson过程，对于 s,t 0。P N (t s)N(t)nn Pi 1Ni(tPNi(t片 ns)Ni(t) ni,nnnni(sn exp(i)s)i()ni ni 1i 1 n !n(si)nnexp(i)s)n!ii 1这里利用了公式(1 .)nn /s)

9、 Ni(t) nn, i 1,2., nn所以N(t) Ni(t),ti 1方法二：当h 0时，0是参数为n m丄n!nin i 1 m!ni的poisson过程。i 1PN(t h) N(t) 1 P M(t s) M(t)1i 1nn( ih o(h)(1 jh o(h)i 1j 1nnih o(h) ih o(h)i 1i 1当h 0时,nPN(t h) N(t) 2 P Ni(t s) Ni(t)2i 1n1PNi(ti 1s) Ni(t)21n(1jhno(h)iho(h)1j 1(1nihi 1i 1 no(h)i 1iho(h)o(h)得证。(3) PN1(t) 1| N(t)

10、1PN1(t)1,Ni(t)0,i2,，n/ PN(t) 1nit11 nnit n1te 1te /e i1i 2i 13.4证明poisson过程分解定理：对于参数为的poisson过程rp 1N(t),t 0 , Pi 1 , i1 , i 1,2，L，r，可分解为个相 互独立的poisson过程，参数分别为pii 1,2，L，r。解：对过程N(t),t 0，设每次事件发生时，有r个人对此以概率rP1,P2,Pr进行记录，且Pi 1，同时事件的发生与被记录之i 1间相互独立，r个人的行为也相互独立，以Ni(t)表示为到t时刻第i个人所记录的数目。现在来证明Ni(t),t 0是参数为Pi

11、的 poisson 过程。PNi(t) m PNi(t) m| N(t) m nPN(t) m n n 0nm m“ 小)心tCm n Pi (1 Pi )en 0(m n)!pit ( Pit)m em!独立性证明：考虑两种情况的情形，即只存在两个人记录,个以概率p，个以概率1p记录，则Ni(t),t 0是参数为p 的 poisson 过程，N2(t), t0是参数为 (1 p)的poisson过程。PNt) kN2(t) k2PNt)PN(t) k1(t)k1 k2e(k1 k2)!(t)k1 k2e(k1 k2)!(t )k1 k2k1! k2!(pt)k1e kJPN(t)k2PNi(

12、t) ki| N(t)戏(1 p)k2罟 p1 p)t k1k2e p (1 p)k2!幼讥亿)k2k1,N(t) k k2k1 k20是参数为3的poisson过程，试求得证。(1)PN(1) 3；(2)PN(1) 1,N(3)2；(3)PN(1) 2| N(1) 133k解：(1)PN(1) 3e313e 3k 0k!(2) PN(1) 1,N(3) 2PN(1)3.5 设N(t)，t1,N(3) N(1) 1369PN(1) 1 PN(3) N(1) 1 3e 6e 18e3.6解:(3) PN(1) 2|N(1) 1號拧对于 poisson 过程N(t),tnPN(s) k|N(t)

13、n kPN(s) k| N(t)0，证明s(1?)n k(?)kt tnPN(s)1 4e31 e 3t时,k,N(t) nPN(t)PN(s) k,N(t) N(s) n knPN(t) nPN(t) N(s) n kPN(s) kPN(t) ne (t s)( (t s)n ke s( s)k eek!(n k)!t( t)nn!n k k(t s) s n!(nk)!k!tnn k(t S)tn kt3.7设M(t),t 0和N2(t),t 0分别是参数为1，2的Poisson过程，另X(t)Ni(t) N2(t)，问X(t)是否为Poisson过程，为什么?解：不是X(t) N1(t)

14、 N2(t)， X(t)的一维特征函数为:iuN1 (t)iuN2(t)iuk (1t)e k 0 k !iu1t (e1t)ek 0 k !fx(t)(u)E(eiuX(t)E(eiu(N1(t) N2(t)E(eiUN1 (t)e iUN2(t)ke 1teiuk( 2t)ke 2t-e 1ee 2k 0k !kiuk丈(e2t)-ek 0 k!1t eiu 1t2t eiu 2te 1 e 1 e 2 e 2expeiu 1teiu 2t( 12 )t参数为的Poisson过程的特征函数的形式为expeiu t 1，所以3.8计算Ti , T2, T3的联合分布解:fX1 ,X2,X3

15、(x1 , X2, x3)fx(为)fx2(X2)fx3(X3)3e (x1 如 x3)J (t1 , t2 ,t3)T1,T2,T3 (t1 -t2,t3)3e t30 t1 t2t30其他X1 ,X2,X3(t1t2t1,t3t2)J(t1,t2 t3)3.9对 so，计算 EN(t)gN(ts)。解:X(t)不是poisson过程。2s) N(t) EN (t) EN2(t) st t且每名患者的服务时间是相互独立的指数分布。则8:00 到EN(t)N(t s) EN(t)(N(tEN(t)E(N(t s) N (t) t s t ( t)22t223.10设某医院专家门诊，从早上 8:

16、00开始就已经有无数患者等候,而每个专家只能为一名患者服务，服务的平均时间为20分钟,12:00门诊结束时接受过治疗的患者平均在医院停留了多长时解：从门诊部出来的患者可以看作服从参数为 3的泊松过程(以小时为单位)。则在0, t小时内接受治疗的患者平均停留时间为:N(t)N(t)ETiiNtjEETi|N(t)nntE&nE2当t=4时，平均等待停留时间为2h3 .11 N(t)，t 0是强度函数为(t)的非齐次Poisson过程，Xi,X2丄是事件发生之间的间隔时间，问：(1 )诸Xi是否独立？(2)诸Xi是否同分布？解:(1)tP X1 t PN(t) 0 e m(t) e 0(s)ds。

17、PX2 t|X1s PN(t s) N(s)P N (t s)N(s) 0 em(ts)m(s)0|X1 st s()de s从上面看出X1、X2不独立。以此类推，Xi不独立(2)Fx1 (t)t(s)ds1 e 0Fx2 (t) 1 P(X2 t) 10 PX2 t|X1 sdFx,s)1 o em(t s) m(s)e m(s) (s)ds 1 o e m(t s) (s)ds分布不同。3.12设每天过某路口的车辆数为：早上 7:00 : 8:00,11:00 : 12:00 为平均每分钟2辆，其他时间平均每分钟1辆。则早上7:30: 11:20平均有多少辆车经过此路口，这段时间经过路口的

18、车辆数超过 500辆的概率是多少？解：(1)记时刻7:00为时刻0,以小时为单位。经过路口的车辆数为一个非齐次poisson过程，其强度函数如下:(s)1200 s 14 s 5601 s 4则在 7： 3011： 20 时间内，即 t 0.5,13时，W13) N(0.5)33代表这段时间内通过的车辆数，它服从均值为如下的poisson 分布。兰1m(t) 3 (s)ds 120ds0.50.5460ds113亏 120ds60 180 402804即：EN(13) N(0.5)3280，在给定的时间内平均通过的车辆数为280。(2) PN()N(0.5)500(280)n 280e 。n

19、501 n!3.13 0,t时间内某系统受到冲击的次数N(t)，形成参数为的poisson过程。每次冲击造成的损害Y , i 1,2,L ,n独立同指数分布,均值为。设损害会积累，当损害超过一定极限A时，系统将终止运行。以 T记ET。解：在0,t内某系统受到的总损害tET 0tdFT(t)0 0dxdFr(t)0 xdFT(t)dx 0 (1 FT(x)dx0 P(Tx)dx系统运行的时间(寿命)，试求系统的平均寿命N(t)X(t)Yi为一个复合 poisson 过i 1程，其中Y e(丄)。N(t)P(T t) P Y Ai 0A| N(t) nPN(t)nN(t)Pn 0Pn 1n:Yi

20、1A (!)nAP N (t) nn x 0 (n 1)!dxe t(t)nn!a (l)n1 xn 1e dxen 10 (n 1)!1、nxnA (-) n 1( t)x e dxe0 (n 1)!0 n!A n1dx(t)dttdt,n 111n 111 11A10eoe ttdttLn 1nn 1x e 0 (n 1)!A M n1x ei 0 (n 1)!A(JnX0 n 1 (n 1)!(t)n 1 te n!丄e tdt)0 (n 1)!xdxx1e dx系统的平均寿命为1 某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设14男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分

21、钟 2人与每分钟3人的泊松过程。（1）试求到某时刻时到达商场的总人数的分布；（2） 在已知港时刻以有50人到达的条件下，试求其中恰有 30位妇女的概率, 平均有多少个女性顾客？解：设Nd&Z分别为（o,t）时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及 总人数。（1）由已知，为强度弘，的泊松过程，也为强度赴勺的泊松过程;故，”为强度月3嘉的泊松过程；于是,(2)PJ/(O=k) =/T=3O|AT(O = 5(1! =JW4W伽如加0i = OLliP()=5Q)(5 分)30卢烦廉尸戶/ 20!(遞严后0!3尸户H0坎a 叫僅丿如(5 分)般地,(划十/50!ENi | N() =50 = 50 x-

22、 =30故平均有女性顾客(4 分)5 人4.1 (1)对(2)错 当N(t) n时，Tn有可能小于t (3)错，Tn t 时，N(t)可能等于n。4.2更新过程的来到间隔服从参数为(n,)的 分布。()试求N(t)的分布；,.N(t)(2)试证何n解：(1) PN(t) kPN(t) k PN(t) k 1PTk t PTk1 tkk 1P Xi t PXi ti 1i 1s(、kn 1s)(kn 1)!dse s( s)(k1)n1ds0 (k 1)n 1)!(2)由强大数定律:Xii 1k kTkEXi巴，以概率1成立。t, TN(t)TN(t) 1 ,TN(t)t丽丽TN (t) 1N(

23、t)lim血 t N(t)TN(t) 1TN(t) 1 N(t) 1N(t)N(t) 1N(t)-,t则：limt故limN(t)t4.3解:对于Poisson过程证明定理4.1.M(t) E(N(t)Fn(t)n 1te0n1(n 1)!ndx0nn 1dx (n 1)!4.4解:设 PXiPXi2计算PN(1)kP N (2)P N (3) k o(1)X1PN(1)0PN(1)0PN(1)1PT。1PT1,d 1 2 1 1 -33PN(1)1PN(1)1PN(1)2PT11PX11X21 3X2234(2)P N2P N2P N3PX1X22PX1 X21X3 2 9P N1P N1P

24、 N (2)2PT11 PX1X2111 89 9Xi X2 + X33456P丄 12_827272727(3)P N2P N2P N3PX1X23PT3c、 511439 2727P N1PN(3)1PN(3)2PT13PX1X2543 1 -99P N3P N3P N4PT33PT431c1027274.5 一个过程有n个状态1,2,L , n，最初在状态1,停留时间为X1，离开1到达2停留时间为X2，再达到3, L ,最后从n回到1,周而复始，并且过程对每一个状态停留时间的长度是相互独立的。试求lim P时刻t系统处于状态i设Eg X2+L +Xn)且X1 X2 + L +Xn为非格点

25、分布。解：记过程处于状态i记为开，从状态i+1到n，经过n再回到1，再到i-1这一过程记为关n则有 Zk = Xi，Yk=Xj。j 1设初始状态从1第一次到i需要时间to则pm P时刻t系统处于状态ilim P时刻t系统是开着的lim P时刻t-t0系统是开着的EZkEXi。EZk EYkE(X1 . Xn)4.6用交错更新过程原理计算t时刻的寿命与剩余年龄的极限分布。解：Y(t) TN(t)i t为t时刻剩余寿命，A(t) t TN(t)为t时刻年龄。若假设更新过程是将一个部件投入使用而一旦失效即更换所 产生的，则A(t)表示在时刻t部件所使用的年龄，而丫表示它的剩余寿命。令X(t) Y(t

26、) A(t)，即X(t)表示两次相邻更新的时间间隔，我 们要计算PA(t) x，为此我们将一个开-关的循环对应于一 个更新区间，且若在t时刻的年龄小于或等于X,就说系统 在时刻t “开着”。换言之，在两次相邻的时间为X(t)的时间 内，前X时间内系统“开着”，而其余时间“关着” 那么若X(t)的分布非格点的，由定理4.10得到法一：Emin( X, x)0 Pmin( X,x)ydyx0【P(Xx)Pmin( X,x)y|X xP(Xx)Pmin( X,x)P(Xxx)Pmin( X,x)y|X xP(Xx) Pmin( X, x)x0【P(Xx)Px y | Xx P(Xx)PXy|Xx dyx【P(Xx)Px y |Xx P(Xx) PXy|Xx dyx0【P(Xx) P(y Xx)dy x P(y Xx)dyx0【P(Xx) P(y Xx)dyx0【P(Xx y) P(yX x)d