高中数学《等差数列前n项和的性质及应用》导学案

1、第2课时 等差数列前刃项和的性质及应用L课询门主预习1. 等差数列前项和公式的函数特点若等差数列m(dHO)的前项和表示为Sn=Pnqn+r的形式,则系数p,q，7的取值特点为垣Ip, g,厂均为常数且PHO,厂=0.2. 等差数列前”项和的最值若v, QO,则数列的前面若干项为迴兔项(或0),所以将这些项相加即得S的最里尘值;(2) 若O, *0,则数列的前面若干项为里疋项(或0),所以将这些项相加即得S“的最矽去值.3. 等差数列的常见性质等差数列伽公差为d,前项和为Sn,那么数列Sm, SlmSmy S3m S加，(wNi)是塑等差数列,其公差等于迴应.(2)等差数列的项数若为2咻N*)

2、项，则S2”=迴“(+叫)且S偶-S St=(3) 等差数列的项数若为2+lSZ)项，则S2卄I=回汁1)他1且几-Sn = Jp-if若两个等差数列伽,伽的前”项和分别为S”，Tnf则W =奈计.(5)数列伽为等差数列OS”=加+加(, b为常数)0数列計为等差数列. P自诊小测1. 判一判(正确的打“厂,错误的打“ X ”)(1) 若等差数列仗”的前项和为S”则S” 一定同时存在最大值和最小 值.()(2) 若等差数列伽的前项和为S”，则数列S” S2加S3nt,(加Nj为等 差数列.()(3) 若等差数列伽的公差Q),则该数列定有最小值，d0则该数列S”定有最大值.()答案XXJ2. 做

3、一做(1) 已知某等差数列共有IOl项，各项之和为202,则奇数项之和S e =,偶数项之和S(W=.(2) 设等差数列為的前”顶和为S”，若S4=8, Sg-20,则13+d14+15 +a6=.(3) 在等差数列如中，=7,公差为d,前”项和为S”，当且仅当77=8时S”取最大值，则d的取值范围为.(4) (教材改编 例 D+Ii=答案(1)102100 (2)20 (3)(-1, 一 (4)课堂互动探究探究1等差数列前项和性质的应用例1等差数列如中,前加项的和为30,前2m项的和为100,试求前3m 项的和.U(JI - 1)解 解法一：利用等差数列如前77项和公式SM二g + -7.J

4、rI(Jrl - 1)Sm 二 na +5d = 30 I由已知得0 I .i30 z i40.Si3最大.最大值为169.解法四：I二25X),由佃二 25-2(”- 1)0, 卄 1 二 25 - 2w0.当=13时，&有最大值169.条件探究本例中将“dl=25”改为“O1V0”，其他条件不变，则77为何值 时，S”最小？解 Si7 = S9 , .o + + +i7 = 0 ,.io + a = 11 + 6716 二 =i3 + i4 = 0.WIVO , .-.67i30 ,Si3最小，当 =13时，S”最小.拓展提升求解等差数列前”项和最值问题的常用方法二次函数法，即先求得S”的

5、表达式，然后配方.若对称轴恰好为正整数Z 则就在该处取得最值；若对称轴不是正整数，则应在离对称轴最近的正整数处取 得最值，有时的值有两个，有时可能为1个不等式法 当a0 f d0时，由为最大值；加十1 0时，由Vf为最小值d加十1 0(3) 寻求正、负项交替点法，即利用等差数列的性质，找到数列中正数项与负 数项交替变换的位置,其实质仍然是找到数列中最后的一个非正数项(或非负数 项几然后确定的最值.【跟踪训练3】 设等差数列血的前项和为S”，已知d3 = 12,且Si20, S13VO.(1) 求公差d的范围；(2) 问前儿项的和最大，并说明理由.24 + 7Q0 I 即3+d0 ,QI + a

6、i30 IaO f Sb0 f12 + 66Qo I 13 + 78dO Z SbO, d0时，SnSn-l,即递增；当4”VO时，SnvSn7,即递减.类似地,当CV0, QO,则为使a”Wo成立的最大自然数时,S”最小. 走出误区易错点A分析问题不严密致误典例在等差数列血中,已知a = 20,前项和为S,且Slo=SI5,求 当”取何值时，S”有最大值，并求出它的最大值.错解档案设公差为d Z VSio = Si5 Z10915X14.1020 + -Q 时，20 - l)0 ,.jj0是不正确的，事实上应解如0 ,如i0.规范解答由QI二20 , SIo = Sl5 ,解得公差d=-.T

7、Sio 二 Sis I - Sis - SlO = 11 + 6712 + 13 + 4 + 15 = 0 ,.Sll + 15 二 12 + 14 = 2ai3 = 0 , .ai3 二 0.公差d I10X9671 = - 4.,.So = - 40 + 5X3 = 95.4. 设等差数列伽的前项和为S”，若S9 = 72,则42 + d4 + d9= 答案24解析d是等差数歹U Z 由 Sg = TII 得 Sg 二 , 05 = 8 , ：.ai + 心 + 二 2+ 9)+ 4 = (5 + 6)+ 04 = 35 = 24.5. 设数列如的前项和为S”点(，弓如訪)均在函数y=3-

8、2的图象 上.求数列血的通项公式.解依题意得晋=3-2,即 Sn = 3w2 - 2n.当 772 时 I a = Sn -Sn-I = (3Jr - 2”)- 3( - I)2 - 2( - 1) = 6n - 5 l因 Ql = Sl = I Z 满足 an = 6/7 - 5 f所以(Jn = 6” - 5(7N*)课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1.S”是等差数列伽的询”项利且S9 = 9S3,则伽的通项公式可能是()A. an=4n-2 B. an=4j-lC.伽=4幵+1 D m=4n+2答案A解析 设等差数列伽的公差为d ,则由S9二9S3得9 + 36d二9(3 + id

9、) I 化简得d=2a ,若an = 4? - 2 ,则d二4 , 二2 ,适合题意IBlCID均不适合Z 故选A.2. 等差数列伽的前项和为S”，若S3=-6, Si8-Si5=18,则S18等于 ()A. 36 B. 18 C. 72 D. 9答案A解析 由S3 , S6-S3 ,，Sis-%成等差数列，可知：5is = S3 + (S6-S3) +6X(-6+18)(S9 - Se) + + (SlS - S15)=5= 36.3. 等差数列如的询项和为S,?,若?1,且砌-+w+-於=0, S2m-1- 38,则加等于()A. 38 B. 20 C. 10 D. 9答案C解析 因为am

10、- + am + -O = Ol所以am.+ am + = ajn根据等差数歹U的性质得2g /显然如Ho Z所以Cljn = 2又因为Slm -1 38 I所以Slm -1 (2加-1)(i + -i)_= (2JrI - I)Gn将 g = 2 代入可得(2？ - 1)2 = 38，解得 DI = 10.故选C.4. 设S”是公差为d(dH0)的无穷等差数列為的前项利 则下列命题错误 的是()A. 若dvo,则数列S”有最大项B. 若数列S有最大项，则d0,则数列S”是递增数列答案C解析 设伽的首项为a I则Sn = JlClI + y?(z? - l)d =纟卩+ (1 -务.由二次函

11、数性质知S”有最大值时，则d0 , d0 I S”必是递增数列，D正确.二、填空题5. 已知四个数成等差数列，54=32,：43=1： 3,则公差d=.答案8Ql + d 1解析 设首项为a 公差为d侧由Q2 ：二1 : 3得= rd = - 2a IQi + 2d 34X3又 S4 二 4 + -5d 二-8 二 32 I 9.a = - 4 f d= 86. 在等差数列dn中，d” = 4 斗，672 , + 67n (IJr bt(j N*),其中a，b均为常数，则b=.答案T53解析an = 4n - /。1Z=亍设等列伽的公差为心则d = an - an = 4.扌，古攵b二13”0

12、7 - 1)=1.ar + bn 二 + + + (JfI = 7? +X4 二 Ilr - .a = Ilb =7. 在等差数列如中，+2+o3 = 15,如+如-1+如-2 = 78, Sn=I55,则1答案io解析 (dl + 02 + Q3)+ (a + n - 1 + an - 2)=3(i + Gl) = 15 + 78 j .a + an = 31.= 155f.= 1553 =10.三、解答题&在等差数列為中，o=18,前5项的和S5=-15,求数列伽的通项公式；(2)求数列伽的前77项和的最小值，并指出何时取得最小值.解 设伽的首项,公差分别为Qi , d.) + 9d 二

13、18 ,5 朋 X4解得 Ql = - 9 . d=3 ,.67w = 3/7 - 12“ + an) 1(2)Sn =5二 2 2177)=IH卜罟，.当 =3或4时，前项的和取得最小值为-18.9. 已知函数(x)=2 2(+l)x+ + 5 7, N*.(1) 设函数y=Ax)的图象的顶点的纵坐标构成数列c,求证：伽为等差数 列；(2) 设函数Iy=AX)的图象的顶点到X轴的距离构成数列伽,求伽的前项 和S.解 证明:因为 fix) =x2 - 2(w + I)X + Tr + 5/-7=x - (w+ I)2 + 3n-S ,所以(Jn 二 3“ - 8 ,因为 a” +1 - (Jn

14、 = 3(” + 1) - 8 - (37? -8) = 3 f所以数列为等差数列(2)由题意知 Z bn = an = 3n - 8 J所以当 lw2 时，brt = 8 - 3 In(b + bn) n5 + (8 - 3w)Sn = b+b + + bn =5=513 - 3zr=-2，当时,bn = 3I-SlSh 二 S + 6 + 加 + + b二 5 + 2 + 1 + + (3w - 8)(-2)l+(3w - 8)二 7+53j - 13+ 28= 2 13” - 3w25f lw2 f 7N Z所以SII = 3r - 13 + 285f ”事3 r 77N*.10. 已知

15、数列伽的前”项和为S”，血0,且满足：(d”+2)2=4S”+4+l,jNi.(1) 求a及通项公式a”；(2) 若w=(-l)%”,求数列伽的前项和Tk解 对于(伽+ 2)2二4S” + 4/+1 , =1 时，(671 + 2)2 二 4a + 5 , 67T = 1 ,而伽0 ,则a二1.又(” +1 + 2)2 = 4SM +1 + 4( +1)+1 f 由可得(a” +1 + 2)- - (a + 2) = 4a” + + 4 fn + = (an + 2)2 I 而 anX) I- (Jn + 二 a” + 2 ,即 a” + Cl)I 2.血是等差数歹U Z 即(Jn = 1+ 2(” - 1) = 2/7 - 1.(2).以二(-1 产1),.Tfj = - 1 + 3 - 5 + 7 + + ( 1)(2” 1) I2 + 2 + + 2m个当为偶数时,Tn= 2=t1.2 + 2 2J _ _一-ZV口个1, 71 为奇数时,Tn=2- (2Jl - 1)= - 77.综上所5术， = (-i)SB级：能力提升练1. 一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120,公差为5,那么这个多边形的边数77等于()A. 12 B. 16 C. 9 D. 16 或 9答案C解析 a” =120+ 5( - 1)二 5+ 115 ,由 al,lS0