传染病模型SISIRSIS

1、数学模型实验一实验报告10学院： 专 业：姓 名：学号：_ 实验时间： 实验地点： 一、实验项目：传染病模型求解二、实验目的和要求a. 求解微分方程的解析解b. 求解微分方程的数值解三、实验内容问题的描述各种传染病给人类带来的巨大的灾难，长期以来，建立传染病的数学模型来描 述传染病的的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手 段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。不同类型传染病有各自不同的特点，在此以一般的传播机理建立几种 3模型。分别对3种建立成功的模型进行模型分析，便可以了解到该传染病在人类间传播 的大概情况。模型一（SI模型）：（1）模型假设1. 在疾病传播期内所考

2、察地区的总人数N不变，人群分为健康人和病人，时刻t这两类人在总人数中所占比例为s（t ）和i （t ）。2. 每个病人每天有效接触的平均人数是常数a，a成为日接触率，当病人与健康者有效接触时，可使其患病。（2）建立模型根据假设，每个病人每天可使as（ t）个健康人变成病人，t时刻病人数为Ni（ t），所以每天共有aNs（ t） i（t）个健康者被感染，即病人的增加率为：Ndi/dt二aNsi 又因为 s(t)+i (t )=1 再记时刻 t=0 时病人的比例为 i0 则建立好的模型为：i(0)=i0( 3)模型求解 (代码、计算结果或输出结果)syms a i t i0 % a ：日接触率，

3、i ：病人比例， s ：健康人比例， i0： 病人比例在 t=0 时的值i=dsolve(Di=a*i*(1-i),i(0)=i0,t); y=subs(i,a,i0,0.3,0.02);ezplot(y,0,100)figure i=str2double(i);i=0:0.01:1; y=0.3*i.*(1-i);plot(i,y)SI 模型的 it 曲线 SI 模型的 di/dti 曲 线(4)结果分析由上图可知，在 i=0:1 内， di/dt 总是增大的，且在 i=0.5 时，取到最大值， 即在 t-inf 时，所有人都将患病。上述模型显然不符合实际，为修正上述结果，我们重新考虑模型假

4、设，建立SIS 模型模型二( SIS 模型)( 1) 模型假设假设条件 1.2 与 SI 模型相同；3.每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数 u,成为日治愈率，病人治愈 后成为仍可被感染的健康者。显然 1/u 是平均传染期。（2）模型建立病人的增加率： Ndi/dt=aNsi-uNi且 i （t ）+s（t）=1 ；则有:di/dt=ai(1-i)-ui在此定义 k=a/b ，可知 k 是整个传染传染期内每个病人有效接触的平均人数， 成为接触数。则建立好的模型为 ：i（0）=i0;（ 2） 模型求解 （代码、计算结果或输出结果） syms a i u t i0 % a:日接触率，i :病人

5、比例，u:日治愈率，iO :病人比例在 t=0 时的值 dsolve(Di=a*i*(1-i)-u*i,i(O)=iO,t)% t 解析式 syms k% k k=a/u; i=dsolve(Di=-a*i*i+a*i*(1-1/k),i(O)=iO,t) % t 解析式% 给 k、a、iO 指定特殊值，作出相关图像 y=subs(i,k,a,iO,2,O.3,O.O2);%例 ezplot(y,O,1OO)求用 u 表示的 i:接触数求用 k 表示的 ik1的情况，以k=2为增加, i 的变化 gtext(1/k)legend(k1 本例中 k=2)figure i=str2double(i

6、); i=0:0.01:1; y=-0.3*i.*i-1/2; plot(i,y) % gtext(1-1/k, 在此图中为 0.5) legend(k=2) y=subs(i,k,a,i0,0.8,0.3,0.02); %为例 ezplot(y,0,100) %间 t 增加， i 的变化 legend(kfigure i=str2double(i); i=0:0.01:1; y=-0.3*i.*i-(1-1/0.8); plot(i,y) % legend(k=0.8)作 di/dt i 的图像k gtext(k1)SIS模型的 i t 曲线（ k1）SIS模型的i t曲线(k1)SIS模型

7、的di/dt i曲线 (k1时，i (t)的增减性取决于i0 的大小，但其极限值i( *)=i-i/k随k的增加而增加；当k0)和i0(i00)(不妨设移出者的初始值r0=0 )，则SIR模型的方程可以写作d dt ds dtsi i,i(0) t。si,s(0)s0(3)(3) 模型求解我们无法求出解析解，先做数值计算:设 1，0.3,i(0) 0.02,s(0)0.98，用 MATLAB件编程:function y=ill (t，x) a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x (2)-b*x(1), -a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0=0.02,0.98;t的增加，(和)沿is

8、的图形见右图，称为相轨线，随着轨线自右向左运动。由上图结合表1可知，i(t)由初值增长至约t 7时达到最大值,t,x=ode45(i11,ts,x0);t,x plot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid,pause plot(x(:,2),x(:,1)t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.60270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.

9、02230.00610.00170.0005 10.0001 :0s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398i(t),s(t)的数值计算结果表1s图形(相轨线)ii(t),s(t)的图形(4)结果分析i(t),s(t)的图形见左图,然后减少，t讥0;s(t)则单调减少t ,s .398 O进行相轨线分析，可得:si平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域(s,i) D为在方程(3)中消去dt，并注意到的定义，可得di 11i |(4)dt s i |s s0 i0容易求出它的解为i (5 i) s 1ln s0(5)在定

10、义域D内，上式表示的曲线即为相轨线1. 不论初始条件s0如何，病人终将消失,(6)英0其证明如下，首先，由(3)，dt 而s(t)dr0故s存在；由(2), dt，而 r(t) 1，dr故r存在，再由(1),对于充分大的t有dt2，这将导致，与r存在相矛盾2. 最终未被感染的健康者的比例是 s，在(5)式中令i 0得到，s是方程soio sSo(7)在(0,1/)内的根。在图形上，S是相轨线与s轴在(0,1/ )内交点的横坐标。3. 若s0 1/ ，则唯)先增加，当s 1/时，i(t)达到最大值1is0 i0 (1 In s0)(8)然后i(t)减小且趋近于0，s(t)则单调减小至s 。4.若

11、s0 1/ ，则i(t)单调减少至0, s(t)单调减少至s o如果仅当病人比例i(t)有一 段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么1/是一个阈值，当80 1/ (即1/s0)时传染病就会蔓延。而减小传染期接触数，即提高阈值1/ ，使得s0 1/ (即1/s0)，传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值30是一定的，通常可认为30接近1 ) o并且，即使s0 1/ ，从(7)，(8)式可以看出， 减少时，s增加(通过作图分 析)，im降低，也控制了蔓延的程度，我们注意到，在/中，人们的卫生水平越高，日接触率 越小；医疗水平越高，日治愈率 越大，于是 越小，所以提 高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延。从另一方面看，s s?1/是传染期内一个病