状态空间平均法建模总结

1、7.1状态空间平均法 151109,状态空间平均法是平均法的一阶近似，其实质为：根据线性RLC元 件、独立电源和周期性开关组成的原始网络，以电容电压、电感电流为状态变量， 按照功率开关器件的“ ON和“OFF两种状态，利用时间平均技术，得到一个 周期内平均状态变量，将一个非线性电路转变为一个等效的线性电路，建立状态 空间平均模型。 对于不考虑寄生参数的理想 PWM变换器，在连续工作模式(CCM)下一 个开关周期有两个开关状态相对应的状态方程为： & A-iX B1vi0 t dT(7-1) & Ax B2vidT t T(7-2) 式中d为功率开关管导通占空比，d ton /T，ton为导通时

2、间，T为开关周 期；x iL vC ， x是状态变量，X是状态变量的导数，iL是电感电流vC是电容 电压，V是开关变换器的输入电压；A, A2 ,BB2是系数矩阵与电路的结构参数 有关。 对式(7.1)和(7.2)进行平均得到状态平均方程为 & Ax Bv0 t T(7-3) 式中，A dA, (1 d)A2，B dB1 (1 d)B2，这就是著名的状态空间平均 法。可此式可见，时变电路变成了非时变电路，若 d为常数，则这个方程描述的 系统是线性系统，所以状态空间平均法的贡献是把一个开关电路用一个线性电路 来替代。 对状态平均方程进行小扰动线性化，令瞬时值d D (?、d D c?、 D D

3、1、vg Vg Vg、x X :?。其中(?、Vg、:?是相应 D、vg、X 的扰动 量，将之代入到式(7-3)为： X & A(X ? B(Vi ?)(7-4) A(X ? B(V ? A B)? (D d?)A (d c?)A2 X (D(D (?)B2 V (7-5) 将其中的扰动参数变量分离就得到了动态的小信号模型式。 将(7-6)进行拉式变换，得到s域小信号模型，其中等号左边的&拉式变换后 的结果为s&s)。 sX(s) AX(s) B?(s) (A A2)X (Bi B2)Vic?(s)(7-7) 可通过此式求出对应拓扑的传递函数。 7.2 简单boost电拓扑状态空间平均法建模

4、151110, Boost直流变换器拓扑如图7-1所示，其主电路由储能电感 L、滤 波电容C、功率开关Q、二极管VD和负载R组成。 Ldil(t) dt Vg(t) (7-8) 在0 t dT期间，功率开关Q导通，二极管D截止，电源电压Vg全部加 到电感L上，为电感L储存能量，电容C给负载R供电。此时，电路的状态方 程如下： C duo(t)Uo(t) dtR 在dT t T期间，功率开关Q关断，二极管D承受正压并导通，电感L 放电，电源和电感共同为负载 R供电，并为电容C充电。其状态方程如下： Ldil(t) dt C duo(t) dt Vg(t) uo(t) Uo iL(t) (7-9)

5、 由式(7-8)和式(7-9)取平均得式(7-10)boost电路的状态空间模型如下: d iL T dt du。t dt L 1 RC iL T UoT 1 L Vg(t) T 0 (7-10) 根据式(7-6)得到 boost电路的动态小信号模型为： di? 0 1 d 1土 dt L iL L Vg L d(t) duo1 d 1 uo 0丄 dt C RC C 将式(7-11)等号两边进行拉普拉斯变换得到式(7-12) (7-11) siL(s)fuo(s) b(s) SUO罟山)惶Rs) (7-12) 化简式(7-12)得到输入到输出的传递函数为： U0(s)1_d Vg(s)d?(

6、s)o LCs2 Ls (1 d)2 R 由控制到输出的传递函数为： Uo(s)叭(1諾沖 d(s) U(s)oLCs2 丄 s (1 d)2 R (7-13) (7-14) 7.3 Boost直流变换器建模的验证 不考虑纹波时，所得到平均化的 Boost电路状态方程如式(7-10)所示，再 将其简化，从而得到基于状态空间的数学模型： diL dt duo 1 d L iL 1 d 1 uo dt RC 1 L Vg 0 (7-14) 假设图7-1电路中的参数为 Vg=30V, R=4, C=470忻丄=400凶,d=0.5。 根据状态平均法公式（7-14）的数学模型，使用Simulink进行

7、仿真建模得出 图 7-2： 对图7-2的两路输出进行观察的到图7-3和图7-4的电压、电流输出波形图 90 f 1 Uo il 80 70 60 50 40 30 20 10 0.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05 t/s 图7-3电压、电流输出波形 100 Uo iL / / 0.01 80 60 40 20 0.005 图7-4放大后的输出波形 0.015 由图7-3和图7-4可以看出，给定输入电压 30V，占空比0.5，输出电压为 60V和理论值接近。输出负载为4 ，则输出端电流为15A,由此可知输入侧电 流为30A与理论值接近。另外，

8、通过图7-4的短时间内输出波形可以看出，利用 状态空间平均法不能产生电压和电流的纹波， 这是因为在建模过程中使用了纹波 近似，忽略了纹波的影响。 下面将考虑纹波对输出的影响，需要修改状态方程，修改后的状态方程如 （7-15）所示： diL 0 m 1 dt L II L Vg duo m 1Uo 0 dt C RC (7-15) 其中，定义变量m作为开关器件通断的标志。m=1时表示关断，m=0时表 示开通，其他参数均未改变，另设功率管开关频率为10K，由以上状态方程构造 Boost电路的模型如图7-5所示，仿真结果如图7-6所示。 90 iL Uo -.J - I J I .1 llil 60

9、 50 20 10 80 70 40 30 00.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.02 t/s 0 图7-5开关频率为10K，输出带纹波的电压、电流波形 利用simulink中的电力电子模块搭建Boost升压电路模型，在相同参数下的 波形图如下所示： 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -10 严. Jr、 iL J Uo I* J a X 严1 .J 3 - 1- Milla n 声 帕?T lF / 0.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.02 t/s 0 图7-6电力电子模块仿真输出波形 二者波形几乎吻合，由此可证明状态空间平均法建模的正确性。 纹波的产生原因，是功率开关器件的动作引起的，当开关频率发生变化时, 其产生的纹波也不同。由状态空间平均法可知，当开关器件的动作频率增大时, 对应的纹波在减小，当频率增大到一定程度后，纹波可以忽略不计。图7-7为开 关频率为50K时，电压、电流的波形图 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0.002 0.006 0.008 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 0.01 t/s 图7-7开关频率为50K电压、电流的波形图 iL U