高考数学错题本

1、高考错题本 目录 第 0 章错题本的制作 .- 2 - 第 1 章 集合易错题 .-11- 第 2 章命题与简易逻辑易错题 .-16- 第 3 章函数易错题 .-19- 第 4 章导数及其应用易错题 .-25- 第 5 章三角函数与解三角形易错题 .-34- 第 6 章平面向量易错题 .-40- 第 7 章数列易错题 .-45- 第 8 章不等式易错题 .-48- 第 9 章复数易错题 .-50- 第 10 章概率统计易错题 .-52- 第0章错题本的制作 专家研究近十余年来的高考状元的学习方法时发现：绝大多数高考状元都有使用“错题本”的习惯。“错题 本”为何如此受到高考状元们的青睐？来看看一

2、位高考状元谈自己使用“错题本”的体会： 状元体会： “我在高中的时候一直坚持写错题本。每次考试结束以后，不是算算分数有没有扣错然后就收 起来，而是好好分析自己错的题目，其实错题才是每次考试的价值所在。我会认真分析自己算错的原因，是知识点 没有掌握好，是粗心算错，还是方法思路有问题，把错误的原因和正确的解法都总结到本子上。复习的时候就认真 翻一翻，看一看，这些知识点就能够熟练掌握好了，最后印象最深的反而是自己错过的题目。有了错题本，我 就不会在复习备考的题海中迷失方向了，复习效率大为提高。” “错题本”是对学生自身各类错误的系统汇总，翻开它，你的各种类型的错误就非常直观的呈现在你面前，一 览无遗

3、。这样你就可以更有针对性的着手改正错误，解决问题，尽力做到“不二过”，即同一个错误不犯第二次。 问题：错题本有用吗？ 凡是问“错题本有用吗”的学生，要么是从没用过错题本，要么是用过错题本，但是没有感觉出来错题本的效 果。在这里，本人可以很明确地告诉大家，错题本非常有用。如果能够利用好错题本的话，那么自己的成绩提升是 很快的。 很多学生高考复习常常没有章法，平均分配时间， 大量做题的同时，不会的仍然不会， 出错的地方重复出错（据 调查，错题当中30-50 是重复错误，好可怕！），究其原因就是没有找准自己的失误点，没有消灭死顽固的死角， 导致错误一而再再而三的发生。 错题本的好处？ 1认识自己的不

4、足 通过错题集，你会发现自己还存在的一些问题，可以提醒你从这些方面努力 2能够保证自己不犯同样的错误 知识可以分为两类，一类是自己已经掌握的，一类是自己还没有掌握的。已经掌握的，这一次做题会做，下一 次做题还会做；而自己没有掌握的，这一次不会做，自己整理到错题本上了，反复地看了，弄懂了，那么下一次再 做的时候就会了。 这样的话，所有的知识都掌握了，这样的话成绩自然就没有问题了。 3是考试复习的利器 每到考试之前，很多的学生比较盲目，不知道该干什么好，看课本吧，感觉课本上的东西都掌握了，但是一做 题，该不会的题目还是不会做，复习缺乏针对性。如果我们有一个好的错题本，错题本上记载的都是自己之前没有

5、 掌握的知识点，在考试之前复习错题，会更有针对性，所以学习效率当然也更高。尤其是针对于高考的学生来说， 大部分的时间都在做题和复习，这个过程反思总结是最重要的，而错题本是反思总结最好的工具。 怎么制作错题本呢？ 首先 ，去买个本子吧，最好是活页本子，可以方便装拆； 第二步 ，把本子按照考点分类表分成若干个部分（活页本子很有优势哦） 错 题 分 类 表 集合与常用逻辑用 16 数 列 1 1 排 列 组 合、 二 项 式 定 理 语 函数与基本初等函 27 不 等 式 1 2 概 率、 随 机 变 量 及 其 分 布 列 数 算 法 初 步、 推 理 与 证 明、 复 3导数8 立 体 几 何

6、1 3 三角函数、解三角 49 解 析 几 何 1 4 形 5平面向量10 统 计、 统 计 案 例 第三步 ，开始整理错题 1摘抄错题或将原题直接贴在错题本，标上序号 2标注错题出处，整理时间，掌握程度以及难度 3分析当时出错的原因，记录自己的心路历程， 4把错题按照正确的思路整理出来， 5试着从命题人的角度分析这道题的考点， 我们来看两个样本吧！ 样本一： 3导数 1（ 2015 年广一模）e为自然对数的底数，若曲线yxex 在点 1,e 处的切线斜率为 _ 考点： 1导数的几何意义；2导数的运算法则 错因：考试过程中忘记了怎么求导 试题分析：两个函数相乘的求导法则是： y f (x) g

7、( x) f ( x) g (x) f ( x ) g ( x )， 所以 y ex xex ，所以曲 线 y xex 在 点 1,e 处的切 线斜率 为 k y | x 1 2 e 相关知识点：（1） y f ( x) g( x) f (x)g( x) f (x)g ( x) ； （ 2） f ( x) g(x) f ( x) g ( x) ； （ 3） 样本二（分栏式） ： f ( x) g( x) f ( x)g ( x) f (x)g (x) ( g (x) 0) g 2 ( x) 3导数 1（ 2015 年广一模） e为自然对数的底数，若曲线 y x ex 在 考 点： 导 数 的

8、几 何 意 义 点 1,e 处的切线斜率为 _ 导 数 的 运 算 法 则 试题分析：两个函数相乘的求导法则是： 错 误 原 因： 考 试 过 程 中 y f (x) g( x) f ( x) g (x) f ( x ) g ( x ) 忘 记 了 怎 么 求 导 所以 yex xex ，所 以曲 线 y x e x 在 点 1 , e 处 的 切 线 斜率为 ky |x 1 2e 相关知识点： （ 1） y f ( x) g( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) ； （ 2） f (x) g ( x ) f ( x ) g ( x ) ； f ( x) f

9、( x ) g ( x ) f (x)g (x) ( g (x) 0 ) （ 3） g( x) g 2 ( x ) PS：大家也可以去书店购买错题本，淘宝上有很多错题本卖！ 第四步 ，错题整理出来，可不能让错题躺在错题本里面睡大觉，试着： 1定时浏览，翻看，不断反思，并将反思过程记录下来； 2完全掌握、学会举一反三，灵活运用。 第五步 ，经过一段时间的积累之后， 我们整理了很多的错误， 我们所犯的错误有什么特点呢？按照下面的表格，我 们一起分析一下吧： 错误类型整理分析表 错误的盲点类型错题数百分比 %百分比 % 1 概念不清（似懂非懂） 知识类 2 题型类（情境设计看不懂） 型因素一、不会

10、3 能力应用类（变通能力错误） （知识做的题 4 知识点之间的迁移和综合有问题 能力层 小计 面、知识 1概念模糊类（找不到问题着手点） 结构性二、模棱 2、记忆模糊类 错误）两可的题 小计 三、会做1 顾此失彼类 的却做错2 审题错误类 了的题小计 1 考试时间分配不合理 2 舌尖现象（一下子什么都忘了） 四、考试 非智力3 克拉克现象（发挥失常） 策略类 因素（心4 考前失眠 理心态小计 层面、非1 看错 知识结2 抄错 构性错3 算错 五、一般 误）4 写错 学习行为 5 想错（判断错误） 类 6 跳步 7 没有完全按要求作答 小计 总计 第六步，错误纠正 一、不会做的题： 这主要表现在

11、智力因素培养方面，对于知识结构性错误，重做一遍二遍错题是十分必要的，这要视你自己对 错题的把握程度而定。这类错误是我们通过学习，建立自身知识体系时存在的漏洞，通过重做错题，并认真分析， 把这个漏洞补上，就可以健全我们的知识结构体系，锻炼我们的思维能力，用10 分钟的时间就可取得平时1 2 小时的收益。也能发现自己究竟是学习行为方面存在问题，还是某些思维方式需要加以调整。 1 概念不清类：这类问题包括知识结构板块、知识点、基础知识（诸如具体的定理、公式、概念等等），容 易压得人喘不过气来。处于不同学习层次的同学要根据自己的实际情况，加强训练和记忆，培养自己的宏观思维 方式，因人而异地确定自己的学

12、习目标、步骤和解决问题的方案，并且有效地进行目标时间管理。 2题型类：这类问题往往是未能掌握不同题型的解题思路或技巧；或处理问题的方式过于死板，虽然知道该 题涉及到的知识点，但是却无从下手展开解题活动（牛吃南瓜无从下口）。 其实无论是哪一类题型，都有其解题的 一般思路和方法（共性），只要掌握住某一题型的答题要领，以及能够仔细区分某一特定试题的“个性”，就能顺 利将题解出。加强训练，假以时日便能培养自己举一反三能力，增进解题的灵活性与变通力，并且随时都能够有 所感悟，使自己的思维能力得到提高。 3能力应用类：这类问题往往是对知识点（概念）的理解较为浅显，思维单一，知其然不知其所以然。当使 用障眼

13、法，把曾经解答过的题变换某些条件，移植一种情景时，就会产生似曾相识的感觉，不再细辨其中的异同， 自然会被虚假条件搞昏头。究其原因主要还是对某些知识缺乏灵活运用，不能融会贯通，同时缺乏理论联系实际的 探索精神。要针对试题涉及的知识点及内容认真地加以复习巩固，多观察和了解日常生活现象，做操作题时多与 理论相联系，加强典型题与日常生活应用训练，多做试题分析。这样可以有效地培养和训练自己的发散思维能力、 观察能力和逆向思维能力。 二、模棱两可似是而非的题 对于模棱两可似是而非的错题，通过分析，可以发现是把公式给弄混淆了？还是把公式给用错了？是理解错 了？还是记忆错了？通过训练可以有效地增进智力因素。

14、1概念模糊类：这类问题往往是一点就通，容易被人忽视。比如巧妙设置在题中的隐含条件、限制条件和关 键词语等等这类问题，往往一点就破，一般会认为自己是弄懂了的，只是没有发现而已，实际上是概念模糊。有 的则是自身知识结构体系脉络不清，以致给出错误答案。加强概念和基础知识的训练和巩固，多做典型题型是解决 这类错误的方法之一。 2记忆模糊类：这类问题主要是对概念和原理等的理解过于浅显，或记得不牢，或只知其一，不知其二，当 问题交织在一起时，便分辨不清，导致答题时似是而非。当问题成堆时，面对题海便会显得迷茫、不知所措、甚 至于无精打彩，以至于懈怠下去。攻克这类问题主要就是解决理解和记忆，并要拓展知识的运用

15、。 三、会做的却做错了的题 这主要表现在非智力因素培养方面，这类问题最容易被人忽视，常常会自以为是地认为下次注意就行了，自己 是不会再犯这个错误的，然而，往往却事与愿违，不会发生的事竟然又一次发生了。所以，别对自己的错误太温柔， 一定要找出问题所在，消灭这类问题。 1 顾此失彼类：考题中涉及的知识点稍多一点，过程稍复杂一些，大脑就运转不过来，顾头不顾尾。这主要 缘于典型题做得不够，做得不精，做题的难度系数也较低，并对教材中的观点、基本原理和基本概念等理解得不深 不透。 2审题错误类：还没看清条件就急忙解题，可能是观察得不够仔细，判断得不够准确，也可能是考试策略不 当，或是心理心态不稳，还可能是

16、缘于外界的干扰刺激，更有可能是平时练习不到位，仅仅是为了完成作业而作 业，或做题缺乏针对性，成天盲目做题，忽略了做完题后的反思环节，以及平时就缺乏慢审题快解题的训练。要养 成“袖手于前疾书在后”的答题风格，以及做完题后进行回顾和总结的习惯，这对增强自己的审题能力极有好处。 四、考试策略类： 这主要表现在非智力因素培养方面，比如遇到复杂一些的考题，便心生恐惧，头脑发懵以至造成失误，或缺 乏答题的快慢观念。面对比较有把握的考题也自我怀疑，答题时犹豫不决，这也会在一定程度上强化不良的考试情 绪，干扰解题的思路。通过这部分的分析可以发现自己是思路不清？还是思路受到了干扰？ 1 考场时间分配不合理：平时

17、没有从心理上把练习和考试作为正式考试来对待，没有把一般性的考试作为训 练考试时间分配的练兵场，导致正式考试时虎头蛇尾，眼睁睁看着自己熟悉的题却没有时间下手。 2 舌尖现象：答案就在嘴边盘旋，但就是写不出来。这与心理紧张、心态失衡有关。在答题时要从容不迫沉 着冷静，这需要平时加强非智力因素方面的训练和培养。 3 克拉克现象：见到生题或难题便心烦意乱，乱了方寸。这与心理应激反应有关，破坏了考试竞技场上应有 的状态，平时就要克服急躁心理，化解不良情绪，提高自信心，消除烦躁不安、焦虑紧张的心态，做到心平气和情 绪稳定。这也需要平时加强非智力因素方面的训练和培养。 4考前失眠：表现在考场上无法集中精力，

18、逻辑思维混乱，反应迟钝，计算失误。主要缘于压力过大、始终 处于焦虑状态。这同样需要平时加强非智力因素方面的训练和培养。比如，平时就要多进行心理心态的调整和引 导，培养和提高自己的心理素质，达到心理稳定从容不迫。此外，当不幸处于焦虑状态时，可以问一问自己：“我 焦虑的是什么？”、“这种焦虑对结果有帮助吗？”、“有哪些方法可以解决？”、“我会有办法解决！” 五、非知识结构性错误（马虎粗心导致丢分） 这主要表现在非智力因素培养方面，由于马虎出错导致丢分是一个普遍存在的现象，于是大家往往就变得心 安理得， 还会唐吉珂德式原谅自己：“这些题我都会做，就是粗心没考好，否则就是满分了，我今后要注意克服。”

19、能克服吗？未必！因为粗心不是一种行为，马虎也不是一种行为，要改还得从行为入手，平时要加强行为习惯的 训练。学习中常见的粗心或马虎行为主要有以下几种。 1看错：看错题这种行为产生的原因主要与人的瞬时记忆有关。有的人视觉成像反应稍慢（他的学习类型可 能不属于视觉类型） ，而他又看得快，前面的信息在大脑中还未形成稳定的状态时，后面的信息又进来了，于是导 致把题看错，解决这一行为就是放慢看题速度，也就是俗话所说的“看仔细点”。有的人则可能是与自身的短时记 忆容量有关，人的短时记忆容量为72，如果一个人的短时记忆容量为5，即他一次瞬间只能记住5 个单词或数 字之类的东西，当他想一次瞬间记住7 个时，就会

20、出现记忆错误，从而就会发生看错了的现象，解决这一看错行 为可以通过平时训练来达到，最简单的办法是在上学或放学的路上用瞥一眼方式去记路边的汽车牌照，也可以运用 瞥一眼的方式去记一组数字或符号或英语单词，以提高自己的短时记忆容量，增强记忆力。 2抄错：普遍把草稿纸上的正确答案抄到答卷上出错或抄漏是最冤枉的一种丢分。这一抄错行为的产生除了 与瞬时记忆有关外，还与人的过忆过程有关，抄写包括记（看）和忆（写）两个过程，你可能没有看错，但你却 写错了，为什么呢？因为人们在回忆时，总是会把后面位置的字与前面位置的字颠倒，在你说话或背诵时也会出现 这种前后位置颠倒的情况。解决这一行为的办法就是进行大量的快速抄

21、写行为训练，提高大脑的纠错能力。另一 个原因还与人的记忆缓存有关，举个例来说，有的人可以在别人念下一句时，继续写完上一句，有的人却比较困 难，这也需要通过经常的听写行为训练来加以解决。 3算错：计算时出错。这主要反映出平时的练习少了，没有养成自动化答题技能，没有形成稳固的肌肉记忆 方式。大家知道骑自行车不倒，靠的就是肌肉记忆反应，在急刹车时，靠的也是肌肉记忆反应，如果要等到大脑 来指挥的话，车祸就已经发生了。肌肉记忆方式可以有效地减轻我们大脑的负担，让我们的大脑去想更加复杂的问 题。也有可能是我们平时在草稿纸上演算就不注意整洁，乱七八糟，缺乏规范化的训练，于是算错也就成了一件 “很正常”的事了

22、。 4写错（书写出错） ：比如，明明是大于号却偏偏写成了小于号，此外还有正负号、小数点、字、词或字母、 符号等等的书写出错，这就需要首先从心理上、从思想意识上看清符号（比如：正负号）的有无，准确地记住小 数点的位置；另一原因是肌肉记忆出现偏差，解决这一书写出错行为可以采用双人训练的方法，一人快速念，一人 快速写，加强肌肉记忆训练。 这 4 类错误是最容易取得成效的，只需稍加训练即可。 5想错（判断错误） ：一个原因是知识掌握得不牢，相似知识点之间发生了混淆，出现判断失误。另一个原因 属于想当然失误，即没有注意到题型的条件已经发生了改变，从而落入了出题人设下的陷阱。 6 跳步：以为自己明白了，或

23、害怕答题速度跟不上，不写出相关步骤，结果发生了错误。首先是要符合答题 规范，其次是你明白了，阅卷人明白吗？所以关键信息绝对不能跳步。 7没有完全按要求答题。这与跳步答题的错误相似，不同之处在于这类题是有明确要求的，当你随意忽略时， 失误就在所难免。 要找准失误的原因，对症下药，才能养成良好的学习习惯，同样，改进自己的学习行为可以有效地调整自己的 学习状态。 通过对错题本中的错误类型进行分析，抓住主要问题， 确立自己的近期的学习目标，将错误逐一消灭掉， 就能有效地提高成绩，更重要的是，还可以有效地提升自己的学习境界，培养自己的综合素质及能力。 第七步， 解决错误的途径 不能仅仅满足于知道出错的浅

24、显缘由，归类分析自己的错误类型，找到自己学习的主攻方向，还要找到解决各 种错误类型的途径，并立即坚持执行之，最终就能形成适合自己的方法。 1 错题本的类型 常见的“错题本”可以分为四大类型：一是索引型，将所有错题的题目抄下来，做成一个错题索引本；二是章 节型，将所有错题按学科的章节顺序进行分类整理；三是原因型，将所有错题按错误的原因进行分类整理；四是三 栏式，将所有错题按学科的章节顺序和错误性质进行分类整理，优点在于既能将错误分门别类，区别对待，又能按 原因查找，还能按章节查找易错知识点。对于非知识结构性丢分可以只给出索引，这能有效地减轻工作量。通过 错题本与错误类型分析可以培养同学们的归纳分

25、析和认知思维能力，将追求分数论高低转化成为素质培养（如：学 会如何处理问题的能力）。 在制作过程中，既可以采用在原试卷上标注，在“错题本”上做索引的方式，简化“错题本”；也可以采用剪 贴方式；还可以对同一类型问题只记录典型题型、难点和出错次数。应根据自己的学习习惯，选择一种既适合自己 又可培养自己能力的方式，不可为省事而选择一种偷懒的方式，这对培养自己的能力（如：分析力、洞察力）是 没有好处的。也可做成活页式，按自己的风格进行装订，每次查阅时还可及时更换或补充。要把原来错误的解法 清晰地摘要在错题本上，并在下面留有一块空白。 2 亡羊补牢（纠正错误） “错题本”做好后不要束之高阁，不能满足于看

26、一看，翻一翻就自以为是地觉得自己已经掌握了，就能把自 己的知识漏洞修补好了。对每一道知识结构性错题，应根据相同或相关的典型题型，去查找课本或资料，找到每道 题的解题依据，找到出错的原因，讲出应该如何去做的道理。老师讲解正确答案时，在原题下面空白处记下自己 没有做出来或做错的原因分析，把原题做一遍，以加深印象和逐步形成能力。如果此题有多种解题思路，可以在旁 边用另一颜色笔把几种解法的简要思路写上。对于不太熟悉的内容和解题思路，一定要打破沙锅问到底，反复练习， 掌握其解题规律，以便用一个点的解决带动一条线的解决，用一条线的解决带动一个面的解决。只有把典型题型弄 清楚了，才能应对试题的千变万化，这就

27、是以不变应万变。通过对试题的练习和印证，我们还会更加清晰地明白 某道题属于某个知识板块，涉及到几个知识点，有哪些解题思路和方法，让模糊的东西清晰化，随着认识的一步步 深化，思维能力也会随之增加。 3 出题法 这一工作做起来比较有趣，解题经验丰富的同学做起来会比较顺利一些。依照某一题型试着变换一些条件， 就可编出一些试题，这是夯实自身知识结构体系的方法之一，也是正确理解课本中概念、原理等的路径之一，还能 培养自己的解题意识，解题能力及各种思维能力。在最初运用此法时，建议只对试题条件做小小的改动即可。 此外，还可准备一个知识结构总结本，及时对所学知识进行总结，形成自己的知识结构网络体系，把自己的思

28、 维意识提升一个高度，达到总揽全局的效果。 4 错误类型体系图 前面我们进行的是单一学科错题类型分析，把当你把全部学科的错题类型归类放在一起时，就可建立起自己的 错误体系，尤其是非知识结构出错方面，比如，查出各种错误类型（如看错、算错等等）所占比例大小，进而有效 地找出自己学习中存在的共通性问题（跨学科）。 通过训练，如果你平时能切实地下意识地做到以上内容，说明你已经初步掌握了和具备了三项重要能力分 析、归纳和总结能力。 合理利用错题本 1 有错题本，查找出错原因 能通过错题这一表面现象查找错题背后的出错原因，还会去分析这道错题的解题方法和思路，属于哪类题型， 涉及到哪些知识点，可以有效地培养

29、和提高自己的分析问题、解决问题的能力， 能够感受到学习是一件有趣的事情。 能够取得好的成绩。 2 分析整理错题本（错题本的利用） 能从错题中发现自己的出错类型及百分比，能够分门别类有条不紊地区别处理不同的问题，具有知识结构板块 和框架意识，并以此制定和调整自己的学习目标，可以培养和提高自己的思维能力和分析归纳能力，能够感受到学 习是一件愉快的事情，能够取得很好的成绩。 有了错题本，如何利用呢？方法是：要经常阅读错题本。错题本不是把做错的习题记下来就完了。要经常浏 览错题本，对错题不妨再做一遍，这样就使每一道错题都发挥出最大效果，今后遇到同类习题时，就能够立刻回想 起曾经犯过的错误，从而避免再犯

30、。如果各科都建立错题本，并经常温故知错、持之以恒，高考成绩至少会提高 20 分。 3 运用出题法提高自己的解题意识 能高屋建瓴自上而下地从知识板块、知识点、题型、解题的方法和思路，涉及到的基础知识的角度去判断分 析，去发现问题和处理问题，能够主动从错题类型，从题型入手去自己出题自己解，去发现自己的不足，提高自己 看问题的洞察力和思维判断力，能够感受到学习是一件轻松愉快的事情。能够深切地体会到：能力的培养比成绩 更重要。 结语 建立错题本的确需要花一些精力，尤其在刚开始阶段，但是它是使你的学习更有效率和效果的最佳法宝绝 对是一本万利，这一点，在离高考越近的时候，在别人都在汪洋题海中苦苦挣扎、看不

31、到天日，而你却一本在手， 悠然自得的时候，你的感受会越深。 其实，整理错题本只是一个环节，最重要的是利用好错题本。大家只要有时间就把错题本拿出来翻一翻，保证 自己错题本上的东西在考试之前都能弄透。 大家只要按照上面的步骤和方法坚持一段时间，就会感觉到错题本确实对于学习帮助非常大。 第 1 章 集合易错题 易错点 1遗忘空集致误 由于空集是任何非空集合的真子集，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B这种情况， 导致解题结 果错误 【例 1】 设 A x | x22 x 30 ， B x | ax 10 ， BA ，求的值 【错解】 A 3,1, B 1 ，从而 a 1或 1 3 【错因】忽略了

32、集合B的情形 1 【正解 】当 B时，得a或1 ； B 时，得 a 0 所 以 a 或 a 1 或 a 0 3 【纠错训练】已知A x | 2axa3，B x | x 1 或 x 5， 若 A B= ， 求 a 的 取 值 范 围 【解析】由 A B=，（ 1）若 A，有 2aa 3 ， 所 以 a 3 1 1 （2）若 A，则有35，解得a 2 2 a3 综上所述，的取值范围是 x |1a2 或 a 3 2 易错点 2 忽视集合元素的三要素致误 集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参 数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求 【例

33、 2】已知集合 A1,4, a ,B1,a2 , b ，若 A B ， 求实 数， 的 值 4 a 2 a2a2 【错解】由题意得，解得或 abb2b2 【错因】本题误认为两个集合相等则对应项相同，这显然违背了集合的无序性 【正解】AB ，由集合元素的无序性，有以下两种情形： 4a2a2 （ 1），解得 abb2 a2aa0 （ 2） 4 ，解得 4 bb 或 或 a2 b2 a1 b2 ； a 1 ， 经 检 验与元素互异性矛盾，舍去 b 2 a2a2a0 或或 b2b2b4 【例 3】 已知集合 A1,4, a , 集合 B 1 ,a 2 ， 若 B A ， 求 的 值 【错解】 a24

34、或 a2a ，解得 a2 或 a 0 或 a 1 【错因】没有将计算结果代回到集合中检验，忽略了集合中元素的互异性，导致出现了增解 【正解】 a24 或 a2a ，解得 a2 或 a 0 或 a 1 ，经 检验 当 a 1时， A 1 ,4 ,1 ， 与 集 合 中 元 素 的 互 异 性相矛盾，舍去，所以a2 或 a0 【纠错训练】已知集合A1,2， B x | ax 3 0， 若 B A ， 则 实 数 的 值 是 （ A 0,3,3 B 0,3C 3 D , 3 22 【解析】若 BA ，则集合 B 是集合 A 的子集，当 B ， 显 然 a 0 ； 当 B 时， 解 得 B3 ， 则

35、有 3 1 a a 或 3 2 ，解得 a3或 a3 ，即 的值 为 0, 3,3，选 A a22 易错点 3弄错集合的代表元 【例 4】已知 Ay | y x 1 ， B (x , y) | x 2 y 2 1 ， 则 集 合 A B 中元素的 个数为 _ 【错解】1 个或无穷多个 【错因】没有弄清集合B 的代表元的含义 【正解】集合A 是一个数集，集合 B 是一个点集，二者的 交集为空集，所包含的 元素个数为 【例 5】已知函数 yf (x) ， x a,b ， 那么集合 ( x, y) | yf ( x), x a,b ( x, y) | x 2 中元素 的个数为 （） A1 A 0 C

36、0 或 1 D 1 或 2 【错解】不知题意，无从下手，蒙出答案D 【错因】没有弄清两个集合打代表元，事实上， x | y f ( x ) 、 y | y f ( x) 、 ( x, y) | y f (x) 分别 表示 函 数 yf ( x) 的定义域、值域、函数图象上的点的坐标组成的集合 【正解】本题中集合的含义是两个图象交点的个数，从函数值的唯一性可知，两个集合的交中之多有一个交点，故 选 C 【纠错训练】 1已知集合 A y | yx21，B x | yx 2 ，则 A B _ 【解析】 A y | y1，B x | x0 ，所以 AB x | 1 x 【纠错训练】 2设集合 A( x

37、, y) | x2 y5 ，B ( x, y) | x 2 y 3， 则 A B _ _ 【解析】由x2 y 5 ，解得 x1，从而 AB (1, 2) x2y3y2 易错点 4 忽略了题目中隐含的限制条件 【例 6】设集合 M x | x2x ， N x | lg x0，则MN（ ） A 0,1B (0,1C 0,1) D ( , 1 【错解】x x2x0,1，x lg x0 x x 1 ，所 以( ,1 ， 故选 D 【错因】在解 lg x0时，忽略了 x0这个隐含的限制条件 2 【正解】，x lg x0 x 0 x 1 ， 所 以 ， 故 选 x xx0,1 0 , 1A 【纠错训练】

38、“ x1“是 “ log1 ( x 2) 0 ”的（） 2 A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件 D、既 不充分 也不必 要条件 【解析】 log 1 (x2) 0 x 2 1x1，因此选 B 2 易错点5 集合的交并运算弄反 【例】已知集合 2 ， B x 2 x 4 则（） 7Ax x 4x 3 0, A B A （ 1， 3）B（ 1， 4）C（ 2， 3）D （ 2， 4） 【错解】因为Ax 1x3 ， Bx 2x4 ，所以 ABx 1x4 ，故选 B 【错因】将集合的“交运算”误认为是“并运算” 【正解】 A Bx 1 x3 x 2 x 4x 2 x3，故选 C 【纠错训

39、练】【 2015 高考四川，理 1】设集合 A x | ( x1)(x 2) 0 ，集合 B x |1 x 3 ， 则 AB（） A x | 1 x 3B x | 1 x 1C x |1 x 2 D x | 2 x 3 【解析】 A x |1 2, B x |13,A B x | 1 x 3 ， 故选 A 【错题巩固】 1设集合 M x | x2 x ， N x | lg x0，则 MN（） A0,1 B (0,1C 0,1) D ( , 1 A【解析】 M x | x2 0,1 ， N x | lg x0 x | 0 x1，所以 M N 0,1 故选 A 2集合 A=x | x a ，B =

40、 x | 1 x 2 ，若 A eR BR ，则实数 a 的取值范围是（） A a1B a 2 【解析】 eR B x | x 1,或 x 2 ， 因为 AeRBR ，所以 2 ， 选 CaC. 3已知 A =x| 2x 5, B =a+1,2a 1. 若 BA ，则实数的取值范围是 _ _ 21 【解析】 易知 B ，所以应 满足5 2 a 1，解得 2B 成立，则 A 是 B 的充分条件， B 是 A 的必要条件；如果B=A 成立，则A 是 B 的 必要条件， B 是 A 的充分条件；如果AB，则 A，B 互为充分必要条件。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与 必要性，所以在解决这类问题时

41、一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。 【例 2】命题“对任意实数 x 1,2，关于的不等式 x2a0 恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（） A a 4B a 4C a 3D a 3 【错解】 A 【错因】充分条件和必要条件颠倒致错，设“对任意实数x1,2 ，关于的不等式 x2a 0 恒 成 立” 为 真 命 题 对 应的的取值为集合A，选项中的取值范围为集合 B，则 B 是 A 的必要不充分条 件，因此A B ， 但 B A 【解析】即由“对任意实数x 1,2，关于的不等式 x2 a 0 恒成立”可推出选项，但由选项 推不出“对任意实 数 x1,2 ，关于的不等式x2a0 恒成立”因

42、为 x1,2，所以 x2 1,4 ， x2a 0 恒 成 立， 即 x2 a ， 因此 a4；反之亦然故选C 【纠错训练】【 2015 高考安徽，理 3】 设 p :1 x 2, q :2 x1，则 p 是成立的（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必 要条件 x0 【解析】由q : 22ppp A ，解得 x 0 ， 易知， 能推出，但不 能推出，故 是成立的充 分不必要条 件，选 易错点 3命题的否定和否命题弄混淆 【例 3】【 2015 高考湖北，文3】命题 “ x0 (0, ) ， ln x0 x0 1 ”的否定是 （） Ax0(0, ) ， ln x0

43、x0 x0(0, ) ， ln x0 x01 Cx ( 0 , ) ， ln xx 1x(0, ) ， ln xx1 【错解】 B 【错因】误认为命题的否定就是否命题 【正解】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为x (0, ) ， ln xx 1， 故 应 选 C 【纠错训练】【 2015 高考浙江，理4】命题 “ n N * , f (n) N * 且 f (n) n 的否定形 式是（ AnN * , f (n) N * 且 f ( n)n B n N * , f (n) N * 或 f (n)n C n0N * , f (n0 ) N * 且 f (n0 ) n0 D n 0

44、N * , f (n0 ) N * 或 f (n0 ) n0 【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D 易错点 4 逻辑联结词理解不准致误 【例 4】已知命题p : x R ， 2lg x ，命题 q :x R ， ex 1 ， ） x则 （ A 命题 pq 是假命题B命题 pq 是真命题 C 命题 pq 是 真 命 题D命题 p q 是假 命题 【错解】 B 【错因】认为 pq 中，只要有一个为真，则p q 为真 1 1 11 【正解】取 x ， 则2lg ， e1000 1，故命题 p 为真，命题为假，由复合命题的真值表 可知命 1000 1 0 0 01000 题 p q 是真命题

45、，选 C 【纠错训练】【 2015 北京西城区二模】 设命题 p ：函数 f ( x) ex 1 在 R 上 为增函数； 命 题： 函数 f ( x) cos(x ) 为奇函数则下列命题中真命题是（） A p qB ( p) qC ( p) ( q) D p ( q) 【解析】由题意可知，命题p 是真命题，f ( x) cos( x ) cos x 为 偶 函 数， 是 假 命 题， 从 而 可 知 p (q) 是真命题，故选D 易错点 5错把 “命题否定 ”等同于 “取补集 ” 1 【例 5】写出命题 “对任意一个实数x，都有 ”的否 定是 2x5 1 【错解】 对任意一个实数 x，都有0

46、2x5 【错因】 原命题的反面是：存在一个实数，使得 0 或1 没 有 意 义， 而 不 是 简 单 地 把 “ 1 0 ” 的 范 围 2 x5 2 x 5 取补集变成 “ 1 0 ” . 2 x5 1 【解析】 原命题的否定是： “存在一个实数x，使得 0 或 2x 5 0 ”， 或 “ 存 在 一 个 实 数 x ， 使 得 2x 5 0 ” 2 x 5 【纠错训练】命题p : 实数满足不等式 x2 0，且命题 p 是假命题，求实数取值范围 x1 【解析 】 x 20 等价于 ( x1)( x 2)0 且 x1 ，即 x 2 或 x 1 ，则 p : x 2 或 x 1 ； p :2 x

47、 1 x1 命题是假命题，命题p 是真命题，实数取值范围2 x 1. 【错题巩固训练】 1aa 条件 “0ab 1”是“1或1”的 条件（填 “充分不必要 ”“必要不充分 ”“充要条件 ”“既不 bb 充分也不必要条件”） 1 【解析】0 ab1说明a, b同号，（ i）当a 0, b 0 且 0ab1 时， ； 当 且 0 ab 1 时， a(ii) a 0, b0 b 1 .故条件 “0 ab1”可以推出 “ 1 或 1 ”. aa a bbb 1111 当 a1 ,b1 时，满足 aaaa 或 ，但不 满足0ab1 ，故条件 “ 或 ” 不 可 以 推 出 bbbb “0 ab 1”.

48、11 因此条件 “0ab1”是“ a或 a ”的充分不必要条件 . bb 2条件 “acb ”是 “ 成等比数列 ”的 条件（填 “充分不必要 ”“必要不充分 ”“充要 ”“既不充分也不必 a,b,c 要 ”） 【解析】 ac b 2 成立，有可能是abc 0 ，不是等比数列，故答案是必要不充分 3“a 3 ”是 “直线 ax2 y20 和直线 3 x (a 1) y2 0平行” 的 条件（填 “充分不必要 ” “必要不充分 ”“充 要 ”“既不充分也不必要”） 【解析】 直线的法向量满足(a,2) / /(3, a1) ， a(a 1 )6 0 ，即 a 2 a 6 0 ，解得 a 3 或

49、2，其中 a 3 时， 直 线 重 合 ,故答案 : 既不充分也不必要条件 4若 a , b , cR ，写出命题 “若 ac0 ，则 ax2 b x c 0 有两个不相等的实 数根 ”的逆否 命题是 【解析】 若 ax2bxc0 没有两个不相等的实数根，则ac0 5已知命题 p :xR ,x21m，命题 q :指数函数 y ( 3 m)x 是增函数 若 命题 p q 为真，命 题 p q 为假，则实数 m 的取值范围是 2 【解析】 命题为真时，即(x 1) min m. p ，解得 m1 命题为真时， 即3 m 1 ，解得 m2 命题为假时，即 03m1，解得 2m 3 .命题 p q 为

50、真，命 题 p q 为假， 则 p 真假 或 p 假真， m 1m1 即或，解得 1 m2 . 2 m3m2 6p :y log 0.5 ( x2xa)Rq :y(52a) 已知命题函数 2 的 值 域 是 ， 命 题指数函数 x 是 增函 数 若命 题 p q 为真，命题 pq 为假，则实数的取值范围是 【解析】 p 真：函数 y log 0.5 ( x22x a) 的值域是 R ，即 tx22x a 中的能取到 (0 , ) 的 每一 个数， 5 则只要保证 4 4a 0 ，解得 a 1.真： 5 2a 1 ，解 得 a2.假： 05 2a 1 ，解得 2 a . 由 题 意， 2 a 1

51、 a1 pp5或 “ 真假 ”或“ 假真 ”，即 .解得实数的取值 范围是1 a2 . 2 aa2 2 第 3 章 函数易错题 易错点 1求函数定义域时条件考虑不充分 【例 1】 求函数 y1( x 1)0 的定义域 3 2x x2 【错解】由题意得3 2x x20，解得 3 x 1，所以原函数的定义域为 3,1 【错因】忽视分母不为零；误以为( x 1)0 =1 对任意实数成立在求函数的定义域时应注意以下几点分式的分母 不为零； 偶次根式被开方式非负；对数的真数大于零；零的零次幂没有意义；函数的定义域是非空的数集 32 xx203x1 【正解】由题意得，解得，所以原函数的定义域为3,1 1

52、, 1 x10 x1 【纠错训练】（ 2015 湖北高考）函数f (x)4 | x|lg x25x 6 的定义域为（ ） 3 A (2, 3)B (2, 4C (2, 3) (3, 4D (1, 3) ( 3 , 6 【解析】由函数yf (x) 的表达式可知，函数f (x) 的定义域应满足条件：4 | x | 0 ， 5 x 6 0 ， 解 之 x2 得 x 3 2 x2, x 2, x 3 ，即函数 f ( x) 的定义域为 (2, 3)(3, 4 ，故应选 C 易错点2 求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域” 【例 2】 已知函数 f xlog 3 x 2, x1,9，

53、求函数 yf x 2 f x 2的值域 【错解】设 tlog 3 x，x1,9,t0,2，y t 2 6t6 ，t0,2， 函数的值 域是 6,22 【错因】求函数yf x 2 f x 2定义域时，应考虑1x 9. 1x29 1 x9 【正解】因为 fx 的定义域为 1,9 ，解得 yf x 2 f x 2 的 定 义 域 为 1 , 3 ， 1 x29 2 设 t log 3 x ， x 1, 3, t0,1 ， y t 26t6 ， t0,1 ， 函数 yf xf x 2 的 值 域 为 6, 1 3 【纠错训练】奇函数 f (x) )是定义 在 (1,1)上的减函数，且f (1 a) f

54、 ( 2 a 1 ) 0 ， 求 实 数 的 取 值 范 围 . 【解析】由 f (1a)f (2a 1) 0，得 f (1 a)f (2 a1) f (x) 是奇函数，f ( x)f (x) ， f (1a)f (12a) 1 1 a1 又 f (x) 是定义在 ( 1,1) 上的减函数， 1 1 2 a1，解得 0 a 1 1 a 12a 即所求实数的取值范围是 0 a 1 易错点 3 判断函数奇偶性时忽视定义域 【例 3】 判断函数 f (x)(1 x) 1x 的奇偶性 . x 【错解 】 f ( x) (1 x) 1 x 1 x (1 x)21x2 1x1x f ( x)1(x) 2

55、1 x2f (x) f ( x)(1x)1 x 是 偶 函 数 1x 【错因】对函数奇偶性定义实质理解不全面. 对定义域内任意一个x，都有 f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函 数的定义域关于原点对称. 这是函数具备奇偶性的必要条件 . 【正解】 f ( x) (1 x)1 x 有意义时必须 满足 1 x 0 1 x 1 即 函 数 的 定 义 域 是 1 x 1 ， 由 1x1 x 于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 【纠错训练】（ 2015 高考北京，文3）下列函数中为偶函数的是（） A y x2 sin xB y x2 cosxC y ln x

56、 2 x 【解析】 根据偶函数的定义f ( x) f ( x) ，A 选项为奇函数， B 选项为偶函数， C 选项 定义域为 ( 0, ) 不 具 有 奇 偶 性， D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B. 【知识点归类点拔】 （1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇 偶性时一定要先研究函数的定义域。 （ 2）函数fx 具有奇偶性，则fxfx 或 fxfx 是对定义域内x 的恒等式。常常利用这一点求 解函数中字母参数的值。 易错点 4求复合函数单调区间时忽视定义域 【例 4】 函数 y log 0.5 (4 3 x x 2) 的单调递增区间是 _

57、 【错解一】外层函数为减函数，内层函数u4 3x x2 减 区 间 为 3 , ) ， 原函数 增区间 为 3 , ) 22 【错解二】 4 3x x20 ，函 数定 义域 为1,4 ， 又 内 层 函 数 u 4 3x x2 在 ( 1, 3 为增函 数， 在 3 , ) 22 为减函数，原函数增区间为 ( 1, 3 2 【错因】解法一，基础不牢，忽视定义域问题；解法二，识记不好，对复合函数单调性法则不熟练求复合函数单 调区间一般步骤是求函数的定义域；作出内层函数的图象；用“同增异减”法则写单调区间解此类题通常 会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减” 法则不会或 法则用错 【

58、正解】43xx20 ，函数定义域为 1,4 ，外层 函数为减函 数，内层函 数u 4 3 x x 2 在 ( 1, 3 为 增 2 函数，在 3, 4) 为减函数，原函数增区间为 3, 4) 22 【纠错训练1】 函数 y5 4xx2 的单调增区间是 _ 【解析】 y 54xx2 的定义域是 5,1 ，又 g( x) 5 4x x2 在区 间 5, 上增 函数， 在区 间 2, 1 是 减 2 函数，所以 y=54xx 2 的增区间是 5, 2 【纠错训练2】已知 ylog a (2ax) 在 0，1 上是的减函 数，则的取 值范围是 【解析】： ylog a ( 2ax) 是由 y log

59、a u ， u 2 ax 复合 而成， 又 0 u2ax 在 0， 1 上是的减函数，由复合函数关系知 log a u 应为 增函 数， 1，又由于在 0，1 上时ylog a (2 ax) 有意 义， u 2 ax 又是 减函 数， 1 时， u 2 ax 取 最 小 值是 umin2a 0 即可， 2 综上可知所求的取值范围是 1 2 易错点 5解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论 【例 5】函数 f ( x)(m1)x22(m 1)x 1 的图象与轴 只有一个交 点，求实数 m 的 取 值 范 围 【错解】由0解得 m0 或 m3 【错因】知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑 1

60、0 的情 况 1 f ( x) 4x1 【正解】（ ）当 m10时，即 m1， 与轴只有 一个交点， 满足题意； （ 2） m 1 0 时，4(m 1)24( 1 0 ) ( m 1 ) 0 ， 解得 m 0 或 m 3 ； 综上所述，实数m 的取值范围是3,0,1 【纠错训练】已知集合A x | ax24x4 0 , xR, a R 只有 一个元 素，求 的值与 集合 【解析】当a 0 时， x 1；当 a0 时， 16 44a 0， a 1，此时 x 2 综上所述： 易错点 6 a 1 时，集合 A = 2； a 0 时，集合 用函数图象解题时作图不准 A=1 【例6】求函数f (x) x