选修-数学归纳法

1、选修数学归纳法恒等式问题南通市 2011 届高三第一次调研2011 122用数学归纳法证明： 123234n(n1)(n 2)n(n1)(n 2)(n 3)(nN*) 4证明：当 n1 时，左边12 3 6，右边1234左边，故等式成立46设当 nk(k N* ) 时，等式成立，即1 23 23 4k ( k1)(k2)k( k1)(k2)( k3) 4则当 nk1 时，左边12323 4k(k1)(k 2)(k 1)(k2)( k 3)k(k1)(k2)( k 3)( k1)(k2)( k3)4(k1)(k2)( kk(k1)(k2)( k3)(k4)3)(1)44(k1)(k1 1)(k

2、12)( k 13)4.故 nk 1 时，等式成立由、可知，原等式对于任意nN*成立如皋中学 2011 届高三阶段测试2010 10 2324已知： ( x 1)na0a1 ( x1)a2 ( x1) 2a3( x 1)3an ( x1)n(n2, nN) 当 n5 时，求 a0a1a2a 3a4a5 的值 设 bna2， Tnb2b3b4bn 试 用 数 学 归 纳 法 证 明 ： 当 n2 时 ，n 32n(n1)(n1)Tn3【解】 当 n5时，原等式变为(x1)5a0a1( x1) a2 ( x 1)2a3 (x1)3a4 (x1)4a5 ( x1)5 ，令 x2 得， a0a1a2a

3、3a4a535243 ；因 ( x1) n 2(x1) n ，故 a2Cn22n2 ， bna22Cn2n(n1)( n2)2 n 3当 n2 时左边 T2b22 ，右边2(2 1)(21)2 ，左边右边，等式成立3假设当 nk(k2, kN) 时，等式成立，即Tkk (k1)(k1)31/30那么，当 nk1时，左边Tkbk !k( k1)( k1)( k1)( k1)1k(k1)(k1)k (k1)33k(k1)( k11)k( k1)( k2)(k1)( k1)1( k1)1右边333故当 nk1时，等式成立综上，当 n2 时， Tnn(n1)(n 1)3苏州中学2011届高三阶段测试二

4、2010 、 1222已知 f ( n)1111， n1,2,3,23n求证： 100f (1)f (2)f (3)f (99)100 f (100)证明：先用数学归纳法证明等式：n1f 1f 2.fnn1fn1 证：当 n1 时，左边 2f1213 ，右边 2 f (2)2(11)3，故左边右边，故2等式成立(2)假设 nk 时，等式成立，即n1f1f2.fkk1fk1上式两边同时加1 f k 1得：k11f1f2. fkfk1k1f k11fk1因 k 1 f k 1 1 f k 1k 2 f k 1 1，故 k 1 f k 2f k 1 1 k 2 f k 2k 2 f k 1f k 2

5、1(k2 ) (1故k 1 f k 1 1 f k 1k 2 f k 2) 1 0k 2故k 11f1f2 .fkfk1k2fk2故 nk1 时等式也成立由（ 1）、（ 2）知，等式 n 1f1f2.f nn1fn1 对一切 nN 都成立故100f1f 2.f99100 f100 泰州中学高三阶段自我测 2012 3 1023已知多项式f (n)1 n51 n41 n31 n 52330求 f (1) 及 f(2)的值；试探求对一切整数n， f ( n) 是否一定是整数？并证明你的结论【解】先用数学归纳法证明：对一切正整数n， f (n) 是整数当 n 1 时， f (1)1 ，结论成立2/3

6、0假设当 n k（ k1， kN ）时，结论成立，即f (k )1k 51k 41k 31k 是整数，则当 n k52330 1 时， f (k1)1(k1)51( k1)41( k1) 31( k1)52330C50 k5C51k 4C52k 3C53k 2C54k C55C40 k 4C41k 3C42 k 2C41k C4452C30 k 3C31k 2C32 k C331(k1) f (k )436k24k1330k4k根据假设 f ( k) 是整数，而 k44k36k24k1显然是整数故f (k1)是整数，从而当n k1时，结论也成立由、可知对对一切正整数n， f ( n) 是整数当

7、 n 0 时， f(0)0 是整数 当n 为 负 整 数 时 ， 令n m ， 则 m是正整数，由f (m) 是 整 数 ， 故f (n)f (m)1(m)51(m)41( m)31(m)1m51m41m31m f (m) m45233052330是整数综上，对一切整数n， f (n) 一定是整数2013 届南通市高三第三次模拟2013 5 2 设 n N *且 n 2 ， 证 明 ：a a2a 2a2a22 a1 a2 a3an22a12n12na2 a3a4anan 1an 证明 ：当 n 2时，有 a1a22a12a222a1a2 ，命题成立假设当 nk(k2) 时，命题成立，即a1a2

8、2a12a22ak2ak2a1a2a3aka2a3a4akak 1 ak成立，那么，当nk1 时，有a1a2akak21a1a2ak22 a1a2ak ak 1ak 12a12a22ak 22 a a aaka2 a3a4akak 1ak1232 aa2akak1ak211222ak 12a3akak 1 a2 a3a4akak 1ak ak 1 a1a2ak2 a1 a2所以当 nk 1时，命题也成立根据（ 1）和（ 2），可知结论对任意的nN *且 n 2 都成立23.设 f(n)是定义在 N *上的增函数，f(4) 5，且满足：任意nN *， f(n) Z ； 任意 m， nN * ，有

9、 f(m)f( n) f(mn) f(m n 1)3/30（ 1）求 f(1) ，f(2)， f(3) 的值；（ 2）求 f(n)的表达式解：（ 1）因 f(1)f(4) f(4) f(4) ，故 5 f(1) 10，则 f(1) 2因 f(n)是单调增函数，故2 f(1) f(2) f(3) f(4) 5因 f(n) Z，故 f(2) 3， f(3) 4（ 2）由（ 1）可猜想f (n) n 1证明：因 f (n) 单调递增，故f (n 1) f (n) ，又 f(n) Z，故 f (n+ 1) f (n) 1首先证明： f (n) n 1因 f (1) 2，故 n 1 时，命题成立假设 n

10、=k (k1)时命题成立，即f( k) k+1则 f(k+1) f (k)+1 k+2，即 n k+1 时，命题也成立综上， f (n) n 1由已知可得f (2) f (n) f (2 n) f (n 1)，而 f(2) 3， f (2n) 2n 1，故 3 f (n) f(n 1) 2n 1，即 f(n 1) 3f(n) 2n 1下面证明： f (n) n1因 f (1) 2，故 n 1 时，命题成立假设 n=k (k1)时命题成立，即f(k) k 1，则 f(k 1) 3f(k) 2k 1 3(k 1) 2k1 k 2，又 f( k 1) k 2，故 f(k 1)k 2即 n k 1 时

11、，命题也成立故 f (n) n1不等式问题南通市教研室 2012年全真模拟五22考察 a，b 二数，满足不等式 0a 1，0 b 1 于是 (1 a)(1b)1ab ab 1ab 一个 自然 的推 广引导 我们去 猜想 下面 的命题 ：若 n 2， 且 0a11，0a21， ，0an1，则(1 a1 )(1a2 ) (1 an ) 1 a1a2an 试用数学归纳法证明上述命题无锡市 2009 2010 质量调研4试比较 nn 1 与 (n 1)n ( nN*)的大小当 n1时，有 nn 1(n 1)n ( 填、或 )当 n2 时，有 nn 1(n1)n ( 填、或 )4/30当 n3 时，有

12、nn 1( n1)n ( 填、或 )当 n4 时，有 nn1(n1)n ( 填、或 )猜想一个一般性结论，并加以证明， ：当时 n3, nn 1(n1) n (nN ) 恒成立证明：当 n3时,34816443 成立；假设当 nk(k 3)时成立 ,即k k 1(k1) k 成立,即 k k11,(k1) k则当 nk1时，( k 1) k 2(k 1) ( k 1) k 1(k 1) ( k ) k 1k k 11 ，( k 2) k 1k 2k 1(k 1) k(k1)k 2( k2) k 1 ,即当 nk1 时也成立n n 1(n1) n (nN * )当n3 时恒成立南通市 2010

13、届四星级高中内部交流卷23、已知 a0，b0，n1，nN* 用数学归纳法证明：a nbn( ab )n 22证明：当n 2 时，左边右边a2b2( ab )2( a b )2 0 ，不等式成立222 假 设 当 n k （ k N* , k1）时，不等式成立，即akbk ( a b ) k 因22a 0， b0， k ，1 k N*， 故 (ak 1bk 1 ) (ak b abk )(akbk )(a b)0 ， 于 是ak 1bk 1 a k b abk当nk1时，a ba b ka bak 1bak1bak 1k 1kk(k 1=b ab ab2)()22422 a k 1bk 1ak

14、1bk 1ak 1b k 1 42即当 n k1 时，不等式也成立综合（ 1），（ 2）知，对于 a0，b 0，n1，n N* ，不等式anbn ( a b ) n 总成立22苏锡常镇四市 2012 届高三调研（二） 2012 523记 fn ( x, y) (x y)n(xnyn ) ，其中 x ， y 为正实数，nN 给定正实数 a ， b 满足abn ， fn (a,b)fn (2,2) 用数学归纳法证明：对于任意正整数b15/30【证明】欲证不等式为 ( a b)nanbn22n2n 1 (*) 当 n1时，不等式左边0，右边0 ，不等式成立；假设 nk 时，不等式(*)成立，即kkk

15、2kk1a( a b) a b22，由正实数， 满足a 0，bb 0，ab，得 a bab因 a0 ，b0 ，故 ab2ab，从而 ab4 ，ab ab4 ，b1故 akb abk2(ab) k 12 4k 12k2 则n k1(k N * )时，不等式(*)左边(ak 1 b)k 1ak 1b() a k b (k a)kbkab k2即 n k 1时成立由可知，正实数 a ， b 满足 ab， (ab)nanbn22n2n 1 (*) 成立b1苏州市2011 届高三调研 2011 124设 f (n)nn 1 ， g( n)(n1)n , n N * 当 n 1， 2， 3， 4 时，比较

16、 f (n) 与 g(n) 的大小根据的结果猜测一个一般性结论，并加以证明【解】f (1)g(1) ， f (2)g(2)， f (3)g(3) ， f (4)g (4)；猜想：当n3， nN* 时，有 nn 1(n1)n 证明：当 n3时，猜想成立*k1kk k 11 ，因 (k 1)22)假设当 n k(k3， k N )时猜想成立，即k(k 1) ，(k1)kk(k，k 1k，故 (k 1)k 2( k 1) k (k 1)2( k )k kkk 11 k 2 k 1(k 2)k 1k 2k 2k 1(k 1)k由知，对一切n3， n N* 时，有 nn 1(n1)n 都成立通州市201

17、0 届高三素质检测2010 323用数学归纳法证明不等式：111211( nN * 且 n 1) n n1nn2证明： 当 n111131，故 n2 时表达式成立；2 时，不等式的左边为341226/30假设当 nk( k111111, k N *) 时不等式成立，即1k2k 2k k那么，当 nk1时，由 k2得11111 k 21211111k 21k 1 k 2k 2k 2(k 1) 2k k 22k 1111112k 1k 2(k 1)当2 111)2(k1)2(k1)1( k1)2( k1)2k(kkk 2 时， k 2k10 成立，故当 nk1 时不等式也成立；根据与可知当n1,

18、nN * 时不等式都成立苏州中学2010 届高三上学期期中22用数学归纳法证明：111L13n2232n22n 1 ( n N )证：当 n1 时，结论成立；假设 nk 时，不等式成立；当nk1时，左边3k1，下证：3k13 k (1 )差 得2 k 1(k 1)22k12k 2 (， 作( k1 )1 )13k13( k 1)k( k 2)0 ，得结论成立，即当 nk 1时，不等式成立，根据归纳2k 1( k 1) 22( k 1) 1(k 1) 2 (2 k 1)(2 k 3)原理，不等式成立苏州市 2010 届高三教学调研11123已知f (n)123 33 43当 n1, 2 , 3

19、时，试比较131*Ln3 ， g( n)22n2 ， nN f ( n) 与 g( n) 的大小关系；猜想f (n) 与 g(n) 的大小关系，并给出证明【解】 当 n1 时， f (1)1， g (1)1 ，故 f (1)g(1) ；当 n2 时， f (2)911g (2) ；， g(2)，故 f (2)88当 n3时， f (3)251312， g(3)，故 f (3) g(3) 216216 由，猜想f (n) g( n) ，下面用数学归纳法给出证明：当 n1,2,3 时，不等式显然成立7/30S kP k，即 2 k k 2假设当 nk(k3) 时不等式成立，即11111312 ，那

20、么，当333L322k234kn k 1时， f (k 1)f (k)1311，因(k1)322k2(k1)312(11)k313k10 ，故2( k1)2k2( k332k2321)2( k1)2(k 1) kf (k31g(k1) 1)2 2( k 1)2由、可知，对一切nN* ，都有 f (n)g( n) 成立海安中学高三学情诊断（二）2010 44、设 f (k) 表示区间 2 k 1,2 k ( kN *)上自然数的个数，Snf (1)f (2)f (n) 求 Sn 的表达式；设 Pnn2n1(nN * ) ，试比较 Sn 与 Pn 的大小【解】由题意知，f (k)2k 2k 1 1

21、2k 11，故 Sn f (1) f (2) f (n) (20 1) (211) (2n 1 1) 2n n 1； 因 SnPn 2n n2，当 n 1 时， S1 P1 0；当 n2 时， S2 P2 0；当 n 3 时，S3 P3 0 ；当 n6 时， S6 P6 0；故猜想：当 n5时，都有 S n Pn 成立法一：用数学归纳法给出证明，当 n 5 时，已证S5 P5 0，故结论成立；假设当nk (k 5)时，结论成立，即当 n k 1 时， Sk 1 Pk 1 k 1 (k1)2 2?2k222 k222(k 1) 2k(k 1)2k1 (k 1)2，而当 k5时，(k 1)2 20

22、恒成立，则 2k1 (k 1) 2 也成立， 故当 n k 1 时，结论也成立，由可知，当 n5时，都有S n P n 成立法二：下面用二项式定理给出证明，当 n5时，因2n(1 1)nCn0C n1Cnn1nn(n 1)2n( n 1)n 1 n2 n 2 n2，故 Sn Pn 2 n n 20，2综上所述， Sn 与 Pn 的大小关系是：当n 2 或 n 4 时， Sn Pn；当 n 3 时， Sn Pn梁丰中学 2010 2011 第五次模拟海门中学 2013 届开学检测 2012 9S2 n，124已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，通项公式为 an1 ， f (n)nS2 nS

23、n，2n1n计算f (1), f (2), f (3) 的值；比较f (n) 与 1 的大小，并用数学归纳法证明你的结论8/30f (1)S213， f (2)S413S6S219【解】 由已知12S1， f (3)；21220由知，f (1)1， f (2)1 ；下面用数学归纳法证明：当n 3 时， f (n)1 由知，当 n3 时， f ( n)1 ；假设 nk (k3)时， f ( n)1111 ，那么1 ，即 f (k )k12kkf (k1)11111111111k 1 k 22k 2k 1 2k 2()2k 1 2k 2k k 1 k 22k11 (111 ) (11 )12k (2 k1)2k(2k2)1111k2k2k2k22k2k (2k 1)2k(2 k2)2k(2 k 1) k(2 k 2)，故当 nk1 时，f ( n)1也成立由和知，当 n3 时，f (n)1 故当 n1 和 n 2 时， f (n)1；当 n3时， f (n)1 通州区2012 2013 高三上期中23设 a1， a2， a3， ， an(n N* )都是正数，且a1a2a3 an 1，试用数学归纳法证明：a1 a2 a3 ann【