2021全国中考数学真题解析120考点汇编 方程思想

1、此资料由网络收集而来，如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享，我们负责传递知识。 (2020年1月最新最细）2020全国中考真题解析120考点汇编方程思想一、选择题1.（2020广东深圳，6，3分）一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是（）A、100元 B、105元 C、108元 D、118元考点：一元一次方程的应用专题：方程思想分析：根据题意，找出相等关系为，进价的（1+20%）等于标价200元的60%，设未知数列方程求解解答：解：设这件服装的进价为x元，依题意得：（1+20%）x=20060%，解得：x=100，故选：A点评：此题考查的是一元一次方程的应用

2、，解题的关键是找出相等关系，进价的（1+20%）等于标价200元的60%2.（2020恩施州10,3分）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：时刻12：0013：0014：30碑上的数是一个两位数，数字之和为6十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了比12：00时看到的两位数中间多了个0则12：00时看到的两位数是（）A、24B、42 C、51D、15考点：二元一次方程组的应用。专题：方程思想。分析：设小明12时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，根据两位数之和为6可列一个方程，再根据匀速行驶，1213时行驶的里程数等于1314：30时行

3、驶的里程数除以1.5列出第二个方程，解方程组即可解答：解：设小明12时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，即为10x+y；则13时看到的两位数为x+10y，1213时行驶的里程数为：（10y+x）（10x+y）；则14：30时看到的数为100x+y，14：30时13时行驶的里程数为：（100x+y）（10y+x）；由题意列方程组得：，解得：，所以12：00时看到的两位数是15，故选D点评：本题考查了数学在生活中的运用，及二元一次方程组的解法正确理解题意并列出方程组是解题的关键3.（2020丽江市中考，13,3分）据调查，某市2020年的房价为4000元/m2，预计2020年将达到4840元/

4、m2，求这两年的年平均增长率，设年平均增长率为x，根据题意，所列方程为（）A、4000（1+x）=4840 B、4000（1+x）2=4840C、4000（1x）=4840 D、4000（1x）2=4840考点：由实际问题抽象出一元二次方程。专题：增长率问题。分析：根据下一年的房价等于上一年的房价乘以（1+x），可以列出2020年的房价，而预计2020年将达到4840元/m2，故可得到一个一元二次方程解答：解：设年平均增长率为x，那么2020年的房价为：4000（1+x），2020年的房价为：4000（1+x）2=4840故选B点评：本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程：解决实际问题时，要

5、全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程4 （2020浙江绍兴，9，4分）小敏从A地出发向B地行走，同时小聪从B地出发向A地行走，如图所示，相交于点P的两条线段l1、l2分别表示小敏、小聪离B地的距离y（km）与已用时间x（h）之间的关系，则小敏、小聪行走的速度分别是（）A3km/h和4km/h B3km/h和3km/hC4km/h和4km/h D4km/h和3km/h考点：一次函数的应用。专题：函数思想；方程思想。分析：由已知图象上点分别设出两人的速度，写出函数关系式，求出

6、两人的速度解答：解：设小敏的速度为：m，函数式则为，y=mx+b，由已知小敏经过两点（1.6，4.8）和（2.8，0），所以得：4.8=1.6m+b，0=2.8m+b，解得：m=4，b=2.4，由实际问题得小敏的速度为4km/h设小聪的速度为：n，则函数式为，y=mx，由已知经过点（1.6，4.8），所以得：4.8=1.6n，则n=3，即小聪的速度为3km/h故选D点评：此题考查的知识点是一次函数的应用，关键是由已知及图象写出两人行走的函数关系式，再根据已知点求出速度5. （2020山东滨州，3，3分）某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所

7、列方程中正确的是( )A. B. C.289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【专题】增长率问题【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为289（1-x）2，方程为289（1-x）2=256故选答A【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率6. （2020

8、山东滨州，8，3分）如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、C分别在y轴、x轴上,以AB为弦的M与x轴相切.若点A的坐标为(0,8),则圆心M的坐标为( )A.(-4,5) B.(-5,4) C.(5,-4) D.(4,-5)【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质【专题】证明题【分析】过点M作MDAB于D，连接AM设M的半径为R，因为四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边AB为弦的M与x轴相切，若点A的坐标为（0，8），所以DA= AB=4，DM=8-R，AM=R，又因ADM是直角三角形，利用勾股定理即可得到关于R的方程，解之即可【解答】解：过点M作MD

9、AB于D，交OC于点E连接AM，设M的半径为R以边AB为弦的M与x轴相切，ABOC，DECO，DE是M直径的一部分；四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，点A的坐标为（0，8），OA=AB=CB=OC=8，DM=8-R；AD=BD=4（垂径定理）；在RtADM中，根据勾股定理可得AM2=DM2+AD2，R2=（8-R）2+42，R=5M（-4，5）故选D【点评】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理及正方形的性质解题时，需仔细分析题意及图形，利用勾股定理来解决问题7. 10（2020泰安，10，3分）如图，O的弦AB垂直平分半径OC，若AB，则O的半径为（）A B C D考点：垂

10、径定理；勾股定理。专题：探究型。分析：连接OA，设O的半径为r，由于AB垂直平分半径OC，AB则AD，OD，再利用勾股定理即可得出结论解答：解：连接OA，设O的半径为r，AB垂直平分半径OC，AB，AD，OD，在RtAOD中，OA2OD2AD2，即r2（）2（）2，解得r故选A点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键8. （2020山东省潍坊， 16，3分）已知线段AB的长为以AB为边在AB的下方作正方形ACDB取AB边上一点E以AE为边在AB的上方作正方形AKNM过E作EFCD垂足为F点若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等则AE的长为_

11、【考点】一元二次方程的应用【专题】几何图形问题【分析】本题需先设出AE的长，从而得出BE的长，再根据题意列出方程，求出x的值即可得出AE的长【解答】解：设AE的长为x，则BE的长为a-x根据题意得：x2=（a-x）a解得：x= 故答案为：【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件和图形列出方程是本题的关键9. 某品牌服装原价173元，连续两次降价后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）A B C D考点：由实际问题抽象出一元二次方程专题：增长率问题分析：根据降价后的价格原价（1降低的百分率），本题可先用173（1x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二

12、次降价后的售价，即可列出方程解答：解：当商品第一次降价x%时，其售价为173173x%173（1x%）；当商品第二次降价x%后，其售价为173（1x%）173（1x%）x%173（1x%）2173（1x%）2127故选C点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于127即可10. （2020年四川省绵阳市，9，3分）灾后重建，四川从悲壮走向豪迈灾民发扬伟大的抗震救灾精神，桂花村派男女村民共15人到山外采购建房所需的水泥，已知男村民一人挑两包，女村民两人抬一包，共购回15包请问这次采购派男女村民各多少人？（）A、男村民

13、3人，女村民12人 B、男村民5人，女村民10人C、男村民6人，女村民9人 D、男村民7人，女村民8人考点：二元一次方程组的应用专题：方程思想分析：可设男女村民各x、y人，由题意一个相等关系是x+y=15，再一个相等关系是2x+ y=15，据此列方程组求解解答：解：设男女村民各x、y人，由题意得：，解得：故选B点评：此题考查的知识点是二元一次方程组的应用，其关键是找出两个相等关系列方程组求解11（2020四川达州，10，3分）已知关于x的方程x2mx+n=0的两个根是0和3，则m=3，n=0考点：一元二次方程的解。专题：方程思想。分析：根据一元二次方程的解的定义，列出关于m、n的二元一次方程组

14、，解方程组即可解答：解：根据题意，得，解得，故答案是：3、0点评：本题主要考查了一元二次方程的解一元二次方程的解都适合方程的解析式二、填空题1. （2020江苏镇江常州，15，3分）如图，DE是O的直径，弦ABCD，垂足为C，若AB=6，CE=1，则OC=4，CD=9考点：垂径定理；勾股定理专题：数形结合；方程思想分析：连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点C为AB的中点，由AB=6可求出AC的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OC，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，通过观察图形可知，OC等于半径减1，CD等于半径加OC，把求出的半径

15、代入即可得到答案解答：解：连接OA，直径DEAB，且AB=6AC=BC=3，设圆O的半径OA的长为x，则OE=OD=xCE=1，OC=x1，在直角三角形AOC中，根据勾股定理得：x2（x1）2=32，化简得：x2x2+2x1=9，即2x=10，解得：x=5所以OE=5，则OC=OECE=51=4，CD=OD+OC=9故答案为：4；9点评：此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系2. （2020江苏镇江常州，17，3分）把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余）

16、，其中棱长为1的正方体的个数为24考点：一元一次方程的应用；截一个几何体专题：分类讨论；方程思想分析：从三种情况进行分析：（1）只有棱长为1的正方体；（2）分成棱长为3的正方体和棱长为1的正方体；（3）分成棱长为2的正方体和棱长为1的正方体解答：解：棱长为4的正方体的体积为64，如果只有棱长为1的正方体就是64个不符合题意排除；如果有一个333的立方体（体积27），就只能有111的立方体37个，37+129，不符合题意排除；所以应该是有222和111两种立方体则设棱长为1的有x个，则棱长为2的有（29x）个，解方程：x+8（29x）=64，解得：x=24所以小明分割的立方体应为：棱长为1的24

17、个，棱长为2的5个故答案为：24点评：本题考查了一元一次方程组的应用，立体图形的求解，解题的关键是分三种情况考虑，得到符合题意的可能，再列方程求解3. （2020内蒙古呼和浩特，16，3）如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，CE是BCD的平分线，且CEAB，E为垂足，BE=2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为_ 考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；梯形分析：首先延长BA与CD，交于F，即可得FADFBC与BCEFCE，然后SFAD=x，即可求得SFBC=16x，SBCE=SFEC=8x，S四边形AECD=7x，又由四边形AECD的面积为1

18、，即可求得梯形ABCD的面积解答：解：延长BA与CD，交于F，ADBC，FADFBC，CE是BCD的平分线，BCE=FCE，CEAB，BEC=FEC=90，EC=EC，BCEFCE（ASA），BE=EF，BE=2AE，BF=4AF，设SFAD=x，SFBC=16x，SBCE=SFEC=8x，S四边形AECD=7x，四边形AECD的面积为1，7x=1，x= ，梯形ABCD的面积为：SBCE+S四边形AECD=15x= 故答案为：点评：此题考查了梯形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用4. （2020山东日照，14，4

19、分）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是如：x2x+1=0考点：根与系数的关系；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。专题：开放型；数形结合。分析：连接AD，BD，OD，由AB为直径与四边形DCFE是正方形，即可证得ACDDCB，则可求得ACBC=DC2=1，又由勾股定理求得AB的值，即可得AC+BC=AB，根据根与系数的关系即可求得答案注意此题答案不唯一解答：解：连接AD，BD，OD，AB为直径，ADB=90，四边形DCFE是正方形，DCAB，ACD=DCB=90，ADC+CDB=A+ADC=90，A

20、=CDB，ACDDCB，又正方形CDEF的边长为1，ACBC=DC2=1，AC+BC=AB，在RtOCD中，OC2+CD2=OD2，OD=，AC+BC=AB=，以AC和BC的长为两根的一元二次方程是x2x+1=0故答案为：此题答案不唯一，如：x2x+1=0点评：此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用5. （2020四川省宜宾市，15，3分）某城市居民最低生活保障在2020年是240元，经过连续两年的增加，到2020年提高到345.6元，则该城市两年最低生活保障的平均年增长率是 .考点：一元二次方程的应用分析：设该城市两年来最

21、低生活保障的平均年增长率是 x，根据最低生活保障在2020年是240元，经过连续两年的增加，到2020年提高到345.6元，可列出方程求解答案：解：设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是 x，240（1+x）2=345.6，1+x=1.2，x=20%或x=-220%（舍去）故答案为：20%点评：本题考查的是增长率问题，关键清楚增长前为240元，两年变化后为345.6元，从而求出解6. （2020德州，16，4分）长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作

22、）；如此反复操作下去若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止当n=3时，a的值为 考点：一元一次方程的应用。专题：几何图形问题；操作型。分析：根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽当a1时，矩形的长为1，宽为a，所以第一次操作时所得正方形的边长为a，剩下的矩形相邻的两边分别为1a，a由1aa可知，第二次操作时所得正方形的边长为1a，剩下的矩形相邻的两边分别为1a，a（1a）=2a1由于（1a）（2a1）=23a，所以（1a）与（2a1）的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论又因为可以进行三次操作，故分两种情况：

23、1a2a1；1a2a1对于每一种情况，分别求出操作后剩下的矩形的两边，根据剩下的矩形为正方形，列出方程，求出a的值解答：解：由题意，可知当a1时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1a，所以第二次操作时正方形的边长为1a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1a，2a1此时，分两种情况：如果1a2a1，即a，那么第三次操作时正方形的边长为2a1则2a1=（1a）（2a1），解得a=；如果1a2a1，即a，那么第三次操作时正方形的边长为1a则1a=（2a1）（1a），解得a=故答案为或点评：本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是分两种情况：1a2a1；1a2a1分别求出操作后剩下的矩形的两

24、边7.（2020年山东省威海市，17，3分）如图，将一个量角器与一张等腰三角形（ABC）纸片放置成轴对称图形ACB=90，CDAB，垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，测得CE=5cm；将量角器沿DC方向平移2cm，半圆（量角器）恰与ABC的边AC，BC相切，如图则AB的边长为24.5cm（精确到0.1cm）考点：切线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；平移的性质专题：推理填空题分析：如图，设图中半圆的圆心为O，与BC的切点为M，连接OM，根据切线的性质可以得到OMC=90，而根据已知条件可以得到DCB=45，设AB为2x，根据等腰直角三角形的性质得到CD=BD=x，而CE=5cm，又将量

25、角器沿DC方向平移2cm，由此得到半圆的半径为x5，OC=x2，然后在RtOCM中利用三角函数可以列出关于x的方程，解方程即可求解解答：解：如图，设图中半圆的圆心为O，与BC的切点为M，连接OM，则OMMC，OMC=90，依题意知道DCB=45，设AB为2x，ABC是等腰直角三角形，CD=BD=x，而CE=5cm，又将量角器沿DC方向平移2cm，半圆的半径为x5，OC=x2，sinDCB=， = ，x=，AB=2x=224.5（cm）故答案为：24.5点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问

26、题8.（2020包头，25，12分）如图，已知ABC=90，AB=BC直线l与以BC为直径的圆O相切于点C点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；（2）证明：CDFBAF；CD=CE；（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=CD，请说明你的理由ABCEFOlD考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形。分析：（1）由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，即可得BCE=90，BFC=CFE=90，则可证得CEFBEC，然后根据相似三角形的

27、对应边成比例，即可求得EF的长；（2）由FCD+FBC=90，ABF+FBC=90，根据同角的余角相等，即可得ABF=FCD，同理可得AFB=CFD，则可证得CDFBAF；由CDFBAF与CEFBCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得，又由AB=BC，即可证得CD=CE；（3）由CE=CD，可得BC=CD=CE，然后在RtBCE中，求得tanCBE的值，即可求得CBE的度数，则可得F在O的下半圆上，且=解答：解：（1）直线l与以BC为直径的圆O相切于点CBCE=90，又BC为直径，BFC=CFE=90，FEC=CEB，CEFBEC，BE=15，CE=9，即：，解得：EF=；（2）证明：FC

28、D+FBC=90，ABF+FBC=90，ABF=FCD，同理：AFB=CFD，CDFBAF；CDFBAF，又CEFBCF，又AB=BC，CE=CD；（3）CE=CD，BC=CD=CE，在RtBCE中，tanCBE=，CBE=30，故为60，F在O的下半圆上，且=点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，圆周角的性质以及三角函数的性质等知识此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用9.（2020包头，20，3分）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，若B（1，2），

29、则点D的横坐标是ABCDOxy考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质。分析：首先过点D作DFOA于F，由四边形OABC是矩形与折叠的性质，易证得AEC是等腰三角形，然后在RtAEO中，利用勾股定理求得AE，OE的长，然后由平行线分线段成比例定理求得AF的长，即可得点D的横坐标解答：解：过点D作DFOA于F，四边形OABC是矩形，OCAB，ECA=CAB，根据题意得：CAB=CAD，CDA=B=90，ECA=EAC，EC=EA，B（1，2），AD=AB=2，设OE=x，则AE=EC=OCOE=2x，在RtAOE中，AE2=OE2+OA2，即（2x）2=x2+1，解得：x=，OE=，AE=，D

30、FOA，OEOA，OEDF，=，AF=，DF=，OF=AFOA=，点D的横坐标为：故答案为：点评：此题考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理等知识此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用10. （2020天水，13，4）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7m的点E处，然后观测考沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7m，观测者目高CD=1.6m，则树高AB约是_（精确到0.1

31、m）考点：相似三角形的应用。分析：如图容易知道CDBD，ABBE，即CDE=ABE=90由光的反射原理可知CED=AEB，这样可以得到CEDAEB，然后利用对应边成比例就可以求出AB解答：解：由题意知CED=AEB，CDE=ABE=90，又由光的反射原理可知CED=AEB，CEDAEB,AB5.2米故答案为5.2点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果三、解答题1. （2020江苏苏州，22，5分）已知,求方程的解考点：解分式方程；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根专题：综合题；方程思想分析：首先根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后再代入

32、方程求解即可解答：解：由，得 由方程得解之得经检验，是原方程的解.点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0同时考查了解分式方程，注意解分式方程一定注意要验根2. （2020泰州，26，10分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N（1）点N是线段BC的中点吗？为什么？（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径考点：垂径定理；勾股定理；矩形的性质。专题：几何综合题；探究型。分析：（1）由AD是小圆的切线可知OMAD，再由四边形ABCD是矩形可知

33、，ADBC，AB=CD，故ONBC，由垂径定理即可得出结论；（2）延长ON交大圆于点E，由于圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm可知ME=6cm，在RtOBE中，利用勾股定理即可求出OM的长解答：解：（1）AD是小圆的切线，M为切点，OMAD，四边形ABCD是矩形，ADBC，AB=CD，ONBC，BE=BC=5cm，N是BC的中点；（2）延长ON交大圆于点E，圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，ME=6cm，在RtOBE中，设OM=rOB2=BC2+（OM+MN）2，即（r+6）2=52+（r+5）2，解得r=7cm，故小圆半径为7cm点评：本题考查的是垂径定理，涉及

34、到切线的性质及勾股定理、矩形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键3. （2020宁夏，26，10分）在等腰ABC中，AB=AC=5，BC=6动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MNBC将AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？（2）当MN=x，MNP与等腰ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？考点：翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质。分析：（1）首先连接AP，交MN于O，由MNBC将AMN沿

35、MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P，即可得AMNABC，则可求得当MN为何值时，点P恰好落在BC上；（2）此题需要分为当AOAD时与当AOAD时去分析，首先由AMNABC，求得各线段的长，然后求MNP与等腰ABC重叠部分的面积，即可得关于x的二次函数，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案解答：解：（1）连接AP，交MN于O，将AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P，OA=OP，APMN，AN=PN，AM=PM，MNBC，AMNABC，AOMN，BC=6，MN=3，当MN=3时，点P恰好落在BC上；（3）过点A作ADBC于D，交MN于O，MNBC，AOMN，AMNABC，AB=AC

36、=5，BC=6，ADBC，ADB=90，BD=BC=3，AD=4，AO=x，SAMN=MNAO=xx=x2，当AOAD时，根据题意得：SPMN=SAMN，MNP与等腰ABC重叠部分的面积为SAMN，y=x2，当AO=AD时，即MN=BC=3时，y最小，最小值为3；当AOAD时，连接AP交MN于O，则AOMN，MNBC，APBC，AMNABC，PEFPMNAMN，即：，AO=x，EF=2x6，OD=ADAO=4x，y=S梯形MNFE=（EF+MN）OD=（2x6+x）（4x）=（x4）2+4，当x=4时，y有最大值，最大值为4，综上所述：当x=4时，y的值最大，最大值是4点评：此题考查了相似三角

37、形的判定与性质，二次函数的最值问题等知识解题的关键是方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用4. 解方程组： 考点：高次方程专题：方程思想分析：用代入法即可解答，把化为x=1+y，代入得（1+y）2+2y+3=0即可解答：解：由得y=x-2把代入，得x2-2x（x-2）-3（x-2）2=0，即x2-4x+3=0解这个方程，得x1=3，x2=1代入中，得 或 原方程组的解为 或 点评：考查了高次方程，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可5. （2020天津，26， 分）已知抛物线C1：y1=x2-x+1，F（

38、1，1）（I）求抛物线C1的顶点坐标；（II）若抛物线C1与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线C1于点B，求证取抛物线C1上任意一点P（xP，yP）（0xP1），连接PF，并延长交抛物线C1于Q（xQ，yQ）试判断是否成立？请说明理由；（III）将抛物线C1作适当的平移，得抛物线：y1=（x-h）2，若2xm时，y2x恒成立，求m的最大值考点：二次函数综合题。分析：（I）将抛物线C1：y1=x2-x+1的一般式转化为顶点式，即可求得抛物线C1的顶点坐标；（II）由A（0，1），F（1，1），可得ABx轴，即可求得AF与BF的长，则问题得解；过点P（xp，yp）作PMAB于点M，即可求得P

39、F=yp，同理QF=yQ，然后由PMFQNF，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；（III）令y3=x，设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0，x0，且x0x0，观察图象，随着抛物线C2向右下不断平移，x0，x0的值不断增大，当满足2xm，y2x恒成立时，m的最大值在x0处取得可得：当x0=2时，所对应的x0即为m的最大值解答：解：（I）y1=x2x+1=（x-1）2 +，抛物线C1的顶点坐标为（1，）；（II）根据题意得：点A（0，1），F（1，1），ABx轴，得AF=BF=1，；成立理由：如图，过点P（xp，yp）作PMAB于点M，则FM=1xp，PM=1yp，（0xp1），RtP

40、MF中，由勾股定理，得PF2=FM2+PM2=（1xp）2+（1yp）2，又点P（xp，yp）在抛物线C1上，得yp=（xp1）2+，即（xp1）2=2yp1，PF2=2yp1+（1yp）2=yp2，即PF=yp，过点Q（xQ，yQ）作QNAB，与AB的延长线交于点N，同理可得：QF=yQ，PMF=QNF=90，MFP=NFQ，PMFQNF，这里PM=1yp=1PF，QN=yQ1=QF1，即；（III）令y3=x，设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0，x0，且x0x0，抛物线C2可以看作是抛物线y=x2左右平移得到的，观察图象，随着抛物线C2向右下不断平移，x0，x0的值不断增大，当满足2x

41、m，y2x恒成立时，m的最大值在x0处取得可得：当x0=2时，所对应的x0即为m的最大值于是，将x0=2代入（xh）2=x，有（2h）2=2，解得：h=4或h=0（舍去），y2=（x4）2此时，由y2=y3，得（x4）2=x，解得：x0=2，x0=8，m的最大值为8点评：此题考查了二次函数的一般式与顶点式的转化，相似三角形的判定与性质以及最大值等问题此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用6.（2020湖北荆州，24，12分）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）若P过A、B、E三

42、点（圆心在x轴上），抛物线y= 14x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1（1）求B点坐标；（2）求证：ME是P的切线；（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此轴称轴上不与N点重合的一动点，求ACQ周长的最小值；若FQ=t，SACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式考点：二次函数综合题分析：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，由正方形CDEF的面积为1，可得CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，由PB=PE，根据勾股定理即可求得n的值，继而求得B的坐标；（2）由（1）知A（0，2），C（2，0），即可求得抛

43、物线的解析式，然后求得FM的长，则可得PEFEMF，则可证得PEM=90，即ME是P的切线；（3）如图乙，延长AB交抛物线于A，连CA交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=AQ，ACQ周长的最小值为AC+AC的长，利用勾股定理即可求得ACQ周长的最小值；分别当Q点在F点上方时，当Q点在线段FN上时，当Q点在N点下方时去分析即可求得答案解答：解：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，正方形CDEF的面积为1，CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，BC=2PC=2n，而PB=PE，PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2，PE2=PF2+EF2=（n+1）2+1，5n2

44、=（n+1）2+1，解得：n=1或n=- 12（舍去），BC=OC=2，B点坐标为（2，2）；（2）如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0），A，C在抛物线上， c=2144+2b+c=0，解得： c=2b=-32，抛物线的解析式为：y= 14x2- 32x+2= 14（x-3）2- 14，抛物线的对称轴为x=3，即EF所在直线，C与G关于直线x=3对称，CF=FG=1，MF= 12FG= 12，在RtPEF与RtEMF中，EFM=EFP， FMEF=121=12， EFPF=12， FMEF=EFPF，PEFEMF，EPF=FEM，PEM=PEF+FEM=PEF+EPF=90，ME是P的

45、切线；（3）如图乙，延长AB交抛物线于A，连CA交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=AQ，ACQ周长的最小值为AC+AC的长，A与A关于直线x=3对称，A（0，2），A（6，2），AC=（6-2）2+22=2 5，而AC=22+22=2 2，ACQ周长的最小值为2 2+2 5；当Q点在F点上方时，S=t+1，当Q点在线段FN上时，S=1-t，当Q点在N点下方时，S=t-1点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，圆的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识此题综合性很强，题目难度较大，解题的关键是方程思想、分类讨论与数形结合思想的应用7. （2020湖北潜江，17，6分）若关于x的

46、一元二次方程x24xk30的两个实数根为x1、x2，且满足x13x2，试求出方程的两个实数根及k的值考点：根与系数的关系。专题：方程思想。分析：根据根与系数的关系（x1x2，x1x2）列出等式，再由已知条件“x13x2”联立组成三元一次方程组，然后解方程组即可解答：解：由根与系数的关系，得x1x24 ，x1x2k3 （2分）又x13x2 ，联立、，解方程组得（4分）kx1x233136（5分）答：方程两根为x13，x21；k6（6分）点评：此题主要考查了根与系数的关系：x1x2，x1x2解答此题时，一定要弄清楚韦达定理中的a、b、c的意义8. （2020湖北咸宁，22，10分）（1）如图，在正

47、方形ABCD中，AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求EAF的度数（2）如图，在RtABD中，BAD=90，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且MAN=45，将ABM绕点A逆时针旋转90至ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由（3）在图中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。分析：（1）根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形相等，进而证明角相等，从而求出解（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论（3

48、）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果解答：（1）在RtABE和RtAGE中，ABEAGE 同理，（2）， 又，AMNAHN ， ABCFDEG（图）MN（3）由（1）知，设，则，解这个方程，得，（舍去负根）在（2）中，设，则即点评：本题考查里正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等9. （2020安徽省芜湖市，20,8分）如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（x2+17）cm，正六边形的边长为（x2+2x）cm （其中x0）求这两段铁丝的总长考点：一元二次方程的应用。专题：应用题；

49、方程思想。分析：直接根据围成的一个正五边形和一个正六边形的周长相等列出方程求解解答：解：用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，5（x2+17）=6（x2+2x）整理得x2+12x85=0，（x+6）2=121，解得x1=5，x2=17（不合题意，舍去）5（52+17）2=420cm答：这两段铁丝的总长为420cm点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解注意用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，实质上是正五边形和正六边形的周长相等10. （2020福建莆田，25，14分）已

50、知菱形ABCD的边长为1，ADC=60，等边AEF两边分别交DC、CB于点E、F。（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E、F分别是DC、CB的中点，求证菱形ABCD对角母AC、BD的交点O即为等边AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边AEF的外心为点P。 （4分）猜想验证：如图2，猜想AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明； （5分）拓展运用：如图3，猜想AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质；三角形的外接圆与外心分析：（1）首先分别连接OE、0F，由四边形ABCD是菱形，即可得ACBD，BD平分ADCAO=DC=BC，又由E、F分别为DC、CB中点，即可证得0E=OF=OA，则可得点O即为AEF的外心；（2）首先分别连接PE、PA，过点P分别作PICD于I，PJAD于J，即可求得IPJ的度数，又由点P是等边AEF的外心，易证得PIEPJA，可得PI=PJ，即点P在ADC的平分线上，即点P落在直线DB上当AEDC时AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB