高中数学选修11第三章课件334生活中的优化问题举例 人教a版

1、 一、如何判断函数函数的单调性？ f(x)为为增函数增函数 f(x)为为减函数减函数 设函数设函数y=f(x) 在在 某个区间某个区间 内可导，内可导， 二、如何求函数的极值与最值？ 求函数极值的一般步骤求函数极值的一般步骤 （1）确定定义域）确定定义域（2）求导数）求导数f(x) （3）求）求f(x)=0的根的根 （4）列表）列表 （5）判断）判断 求求f(x)在在闭区间闭区间a,b 上的最值的步骤：上的最值的步骤： (1) 求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值；内极值； (2) 将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、 f(b）比较）比较,从而确定函数的最值。从而确定函数的最值。

2、 生活中经常遇到求利润最大、 用料最省、效率最高等问题，这 些问题通常称为优化问题.通过前 面的学习，我们知道，导数是求 函数最大（小）值的有力工具， 本节我们运用导数，解决一些生 活中的优化问题. 例例1 1：海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行 宣传。现让你设计一张如图宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴所示的竖向张贴 的海报，要求版心面积为的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各，上、下两边各 空空2dm，左、右两边各空，左、右两边各空1dm，如何设计海报的，如何设计海报的 尺寸，才能使

3、四周空白面积最小？尺寸，才能使四周空白面积最小？ x 图图3.4-1 分析：已知版心的面分析：已知版心的面 积，你能否设出版心的积，你能否设出版心的 高，求出版心的宽，从高，求出版心的宽，从 而列出海报四周的面积而列出海报四周的面积 来？来？ S 因此因此, =16是函数是函数 的极小值点，也是最小值点的极小值点，也是最小值点.所以当所以当 版心高为版心高为16dm，宽为时，宽为时8dm，能使四周空白面积最小。，能使四周空白面积最小。 128 ( )(4)(2) 128S 512 28, . 0 = 2 512 ( )20,16S 解得16( 舍去)令 128 于是宽为 16 128 =8 解

4、解: :设版心的高为设版心的高为 m,则版心的宽为则版心的宽为 m，此时四周空，此时四周空 白面积为白面积为 x x 128 .0 ,16016,0 xs xxsx时，；当时，当 你还有其他解法你还有其他解法 吗？例如用基本吗？例如用基本 不等式行不？不等式行不？ 规格（规格（L）21.250.6 价格（元）价格（元）5.14.52.5 例例2：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？）对消费者而言，选

5、择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？）对制造商而言，哪一种的利润更大？ 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是成本是0.8p pr2分，其中分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售售1ml的饮料，制造商可获利的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？ 2 ( ) = 0.8- 20= 2()，f rrrr 令令得得 r(0，

6、2)2(2，6 f (r)0 f (r) - + 减函数减函数 增函数增函数 -1.07p p 解：解：每个瓶的容积为每个瓶的容积为: 每瓶饮料的利润：每瓶饮料的利润： 32 4 ( )0.20.8 3 yf rrrpp 3 2 = 0.8 (-) 3 r r )60( r 解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是 r y o ) 3 (8 . 0)( 2 3 r r rfp 2 3 1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0, 2、当半径为6cm时，利润最大。 从图中可以看出: 从图中，你 还能看出什 么吗？ 例3 下文请看课本P111 解：存储量解：存储量=磁道数磁道数每磁道的比特

7、数每磁道的比特数 设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽 度必须大于m，且最外面的磁道不存储人行信息，所以 磁道最多可达 又由于每条磁道上的比特数相 同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即 每条磁道上的比特数可达到 所以，磁道总存储量 , m rR . 2 n rp . 22 rRr mn r n r m rR rf pp （1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可 以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大. (2)为求 的最大值，计算 xf , 0 rf , 2 rR mn rf p 令 0 rf 解得 2 R r , 0 2 ; 0 2 rf R rrf R r时，当

8、时，当 因此，当 时，磁道具有最大的存储量，最大 存储量为 2 R r . 2 2 mn Rp 由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的 基本思路是： 优化问题优化问题 用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题 用导数解决数学问题用导数解决数学问题 优化问题的答案优化问题的答案 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过 程。 1:在边长为在边长为60cm的正的正 方形铁皮方形铁皮 的四角切去相等的正方形的四角切去相等的正方形,再把再把 它的边沿虚线折起它的边沿虚线折起(如图如图),做成一做成一 个无盖的方底箱子个无盖的方底箱子,箱底边长为箱底边长为 多少时多少时,箱子的容积最大箱子的容积最

9、大?最大容积是多少最大容积是多少? 解解:设箱底边长为设箱底边长为x,则箱高则箱高h=(60-x)/2.箱子容积箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60). 令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且 V(40)= 16000. 0 2 3 60)( 2 xxxV 由题意可知由题意可知,当当x过小过小(接近接近0)或过大或过大(接近接近60)时时,箱子箱子 的容积很小的容积很小,因此因此,16000是最大值是最大值. 答答:当当x=40cm时时,箱子容积最大箱子容积最大,最大容积最大容积16000cm3. 2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时圆柱形金属饮料罐的容积一

10、定时,它的高与底半径它的高与底半径 应应 怎样选取怎样选取,才能使所用的材料最省才能使所用的材料最省? 解解:设圆柱的高为设圆柱的高为h,底半径为底半径为r,则表面积则表面积S=2rh+2r2. 由由V=r2h,得得 ,则则 2 r V h p p .2 2 22)( 22 2 r r V r r V rrSp pp p p p p p 令令 ,解得解得 ,从而从而 ,即即h=2r. 04 2 )( 2 r r V rSp p 3 2p p V r 2 3 2 ) 2 ( p p p p p pV V r V h 33 2 2 4 p pp p VV 由于由于S(r)只有一个极值只有一个极值,

11、所以它是最小值所以它是最小值. 答答:当罐的高与底直径相等时当罐的高与底直径相等时,所用的材料最省所用的材料最省. r h x y 练习练习3 如图如图,在二次函数在二次函数 f(x)=4x-x2的图象与的图象与x轴所轴所 围成的图形中有一个内接围成的图形中有一个内接 矩形矩形ABCD,求这求这 个矩形的个矩形的 最大面积最大面积. 解解:设设B(x,0)(0 x2), 则则 A(x, 4x-x2). 从而从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面积的面积 为为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x0得得x=1.0)( x f 而而0 x1时时, ,所以所以x=1是是f(