类等比放缩专练

1、指数型数列-类等比放缩法1原理：由anan 1可以得到:2an an iq an 2qa2qn 2 aen 1 从而可以构造类等比的通项公式进行放缩。从而有以下三种放缩度的控制a1a2a3. anaa1a2a3.naa1a2a3. ana1、设annn 12 ，证明：agag2n 1.aqa2a?qn 2a?qa2a3a4a4qa4q21111a1a2a3an（从a2开始放）（从a3开始放）n 4.a4q（从a4开始放）2、（技巧积累：浓度不等式）设4naia2a33、an 2n1，bn3an-。证明:1bib2b3.bn3 13 2 13 2n 1 1 75、(类等比数列放缩法技巧积累：如何

2、进行化简整理出类公比)已知数列的首项为*5a1 2，前n项和为Sn，且对任意的n N ,当n 2时，an总是39 4与2 的等差 中项.(I)求数列an的通项公式；*(U)设bn (n 1)an , Tn是数列bn的前项和，n N求Tn;3a3(川)设Cnn 一，Pn是数列Cn的前项和，n N*，试证明：巳4 2 3an26.（技巧积累：类等比放缩，浓度不等式）设数列an的前n项和为Sn ,满足n 1*2Sn an i 21（n N ），且ai, a2 5代成等差数列。1 1（3）证明：对一切正整数 n，有一一 a?（1）求ai的值；（2）求数列务的通项公式。3n 1*an1 21(n N )

3、，且27.（2012广东）设数列an的前n项和为Sn，满足2Sna1, a2 5,a3成等差数列。（1）求印的值；（2）求数列an的通项公式。（3）证明：对一切正整数n，有丄丄 1 a1a11an答案4、求证：1131 3 2 1143 2n 1 1 7111113 132 13 2147111144748428311848472解111 11n 13 21283 22n 13 2析5、(类等比数列放缩法技巧积累：如何进行化简整理出类公比)已知数列的首项为*5a1 2，前n项和为Sn，且对任意的n N ,当n 2时，an总是3S 4与2 的等差 中项.(I)求数列an的通项公式；()设bn (

4、n 1)an , Tn是数列0的前项和，n N*求;3a*3(川)设Cn产肓一，Pn是数列Cn的前项和，n N ，试证明：R4 23 an25解：(I)当 n2 时，2an= 3Sn4+ 25即 2(Sn Si 1)= 3Sn 4 + 2 Sn,所以 S = 1 Sn 1+ 2an+ 1an1 1Sn+ 1- Sn =空 2 空T + 2Sn Sn- 1S Sn -1；(n 2)1又 2+ a2= 2 x 2+ 2 = 3a21a1 = 21数列an是首项为2,公比为2的等比数列2 n* an= 2 (n N)(n)由(i)知an = 22n(n N)则 Tn= b1 + b2 +bn1=2x

5、 2+3x 1 + 4x 2+ (n + 1) x 22-n12 Tn=+ n x 23-n+ (n + 1) x 22-n,1 1 1 作差得：2 Tn= 2x 2+ 1 + 2 + 4+3n+ 2- (n + 1)2n + 3=6-in + 3* Tn= 12- 2-2(n N)3a(H)证明：Cn 4 2n 3n 1 an4n3n1P GC2| Cn6.(技巧积累：类等比放缩，浓度不等式)设数列an的前n项和为Sn ,满足n 1*a1 a3 2(a2 5)a1 12Sn an 1 21(n N )，且 a1, a2 5,a3 成等差数列。(3)证明：对一切正整数1 n，有一丄III13a

6、1a2an2【解析】(1) 2Sn an 1 2n11,2Sn 1an 22n2 1n 1相减得：an 2 3an 122S1 a23a2 2a13,a33a246a13(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式。a1, a25,a3成等差数列n*(2) a11,a25 得 a* i3a“2 对 n N 均成立an 13an 2nani 2n1 3(an 2n)得nn12n2n1nnan 23(an 1 2 ) 3 (an 2 2 )川 3 佝 2) an 3 213(3)当 n 1 时，1-a-i2当 n 2时，(|)n (|)2 23 n 2 2na. 2n1a11a2III1an122

7、123III1 1an歹1 132 2n 2由上式得：对一切正整数1a2III3(Ifxlby )27.（2012广东）设数列an的前n项和为Sn ,满足2Snan 1n 121(n*N )，且a1, a2 5,a3成等差数列。（1）求a1的值；（2）求数列an的通项公式。（3）证明：对一切正整数 n，有丄1III13a1a2an2【解析】(1) 2Snan 12* 11,2Sn 1an2 212 1相减得：an 23an 122S1a23a22a-i3,a33a246a113a1,a25, a3成等差数列a1a32(a25)a11(2) a11,a25得an1 3ann ,2对n*N均成立an 13an2nan 12n 13(an2n)得an 2n3(an