动点问题练习含答案

1、动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目解决这类问题的关键是动中求静 ，灵活运用有关数学知识解决问题 关键：动中求静数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图 1,梯形 ABCD 中，AD / BC,/ B=90 , AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点 P 从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动， 如果P, Q分别从A , C同时出发，设移动时间为 t秒。当t=时，四边形是平行四边形；6当t=时，四边形是等腰梯形 82、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边

2、DC上，且DM=1 , N为对角线AC上任意一点，则 DN+MN的最小值为 53、 如图，在RtA ABC中，ACB 90, B 60 , BC 2 点是AC的中点，过点的直线I从与AC重合的位置开始，绕点。作逆时针旋转，交AB边于点D .过点C作CE / AB交直线1于点E，设直线1的旋转角为(1)当度时,四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为当度时,四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为(2 )当90时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由.B解：(1 30, 1 : 60, 1.5;(2) 当/% =90时，四边形 EDBC是菱形v/a =/ACB=90 0,. BC/ED. T

3、 CE/AB,二四边形 EDBC 是平行四边形 在 Rt ABC 中，/ ACB=900,/ B=600,BC=2, /./ A=30.3AC 3 AB=4,AC=2 3. A= 2=3 在 Rt AOD 中，/ A=300,二 AD=2. BD=2. BD=BC.又v四边形 EDBC是平行四边形,四边形EDBC是菱形4、在 ABC中，/ ACB=90 , AC=BC，直线 MN经过点C,且AD丄MN于 M1的位置时，求证： ADC CEB :N?的位置时，求证：3的位置时，试问N点C旋转到图C绕点M D(1)当直纟当直线M(3)当直线关系，A解：(1 / CAD= / BCE / AC=BC

4、/ ADC CEB加以证明 口BACD= / ACB=90D ADC 图CEB NA / CAD+ ACD=90DE=AD-BE ;AD、BE具有怎样B ABD,请写出这个等量N/ ACD=90图3=AD +BE;B CE=AD , CD=BE DE=CE+CD=AD+BE(2) v/ ADC= / CEB= / ACB=90/ ACD= / CBE 又 : AC=BC ACD CBE CE=AD , CD=BE / DE=CE-CD=AD-BE(3) 当 MN 旋转至U图 3 的位置时，DE=BE-AD(或 AD=BE-DE , BE=AD+DE 等)/ ADC= / CEB= / ACB=

5、90ACD= / CBE , 又 : AC=BC , ACD CBE , AD=CE , CD=BE , DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题： 如图1,四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点. AEF 90,且EF交正方形外角 DCG的平行线CF于点F,求证：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点 M连接 ME则 AM=EC,易证 AME ECF，所以 AE EF .在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1 )小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点 E是边BC上(除B, C外)的任意 一点”，其它条件不变，那么结论“ AE

6、=EF仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明 过程；如果不正确，请说明理由；(2) 小华提出：如图3，点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.解：(1)正确.证明：在 AB上取一点M，使AM EC，连接ME .BM BE. BMEQCF是外角平分线，AMEQ AEBBAE(2)正确. 证明：在BA的延长线上取一点 N .使ANBN BE . N PCE 45 . Q四边形ABCD是正方形，AD II BE .DAE BEA.NAE ANEECF (ASA).AE E

7、F .6、如图，射线MB上,MB=9,A是射线 MB方向以1个单位/秒的速度移动，设45， AME DCF 45，135 .ECF 135ECF .BAE 90，CEF .AEB CEF AME BCF90。，(ASA).CE，CEF .O图1AE EF .MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为P的运动时间为t.求(PAB为等腰三角形的t值；(2) PAB为直角三角形的t值;(3) 若AB=5且/ ABM=45 。，其他条件不变，直接写出PAB为直角三角形的t值 7、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD/ BC， E是AB的中点，过点E作EF 1 BC交CD于点F . AB 4, BC 6，

8、/ B 60 .求：(1)求点 E 到 BC 的距离；(2)点P为线段EF上的一个动点，过P作PM EF交BC于点M，过M作MN / AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP X.当点N在线段AD上时(如图2)， PMN的形状是否发生改变？若不变，求出 PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3）,是否存在点P ,使 PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有 满足要求的x的值；若不存在，请说明理由C解（1）如图1,过点E作MEG BC 于MBG-BE 1, EG222点G./ E 为 AB的中点， 1BE AB2在RtA EBG2.中，/ B 60 , / BEG 30 .1

9、2即点E到BC的距离为3-(2)当点N在线段AD上运动时, PM EF, EG EF,- PM/ PMNEG.的形状不发生改变./ EF / BC, EPGM , PMEG . 3.同理 MNAB 4.G如图2,过点P作PHMN于H/ MN / AB,- MH PM gsos30NH MN MH在 RtAPNH 中，PN、NH2PH2C图2图1- PMN的周长=PMPNMN ,3、7 4. PMN的形状发生改变,当点N在线段DC上运动时，PR MN 于 R，则 MR NR.当PM PN时，如图3，作3类似，MR . MN 2MR 3.2此时，x EP GM BC BG MC 6 MNC恒为等边

10、三角形./ MNC是等边三角形,1 3 2.MCMN 3.当 MP MN 时，如图 4，这时 MC MN MP ,3.此时，x EP GM 6 1 . 3 5 ,3.当 NP NM 时，如图 5, / NPM / PMN 30 . 则/ PMN 120，又/ MNC 60 ,/PNM / MNC 180 . 因此点P与F重合， PMC为直角三角形.二 MC PM gtan301.此时，x EP GM 6 114.综上所述，当x 2或4或5、3时， PMN为等腰三角形.8、如图，已知 ABC 中, AB AC 10厘米，BC 8厘米，点D为AB的中点.(1) 如果点P在线段BC上以3cm/s的速

11、度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点 运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过 1秒后， BPD与 CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使 BPD与 CQP全等？(2) 若点Q以中的运动速度从点 C出发，点P以原来的运动速度从点 B同时出发，都逆时针沿 ABC三边运动，求经过多长时间点 P与点Q第一次在 ABC的哪条边上相遇?解: (1 ：t 1 秒，BP CQ3 13厘米, AB 10厘米，点D为AB的中点,BD 5 厘米.又：PCBCBP,BC8厘米,PC 8 3 5 厘米， PCBD .又：ABACBC

12、. BPDCQP.VpVQ., BPCQ,又 BPDCQPBC ,则BP PCCQ515BPVQ4t44 点 P，厘米/秒。33秒,点Q运动的时间4,(2)设经过X秒后点P与点Q第一次相遇,由题意，得15x43x 2 10，解得CQ BD 5803 秒.28 24，点P、点Q在AB边上相遇,80 3 80点P共运动了 3厘米./ 8080经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇.9、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4, / BAD=120 AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边 BC. CD 上滑动，且 E、F不与B. C. D重合.(1 )证明不论 E、F在BC. CD上如何滑动，总有 B

13、E=CF ;(2)当点E、F在BC . CD上滑动时，分别探讨四边形 AECF和厶CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值.【答案】解：(1)证明：如图，连接 AC四边形 ABCD为菱形，/ BAD=120 ,/ BAE+Z EAC=60 , / FAC+ / EAC=60 ,/ BAE= Z FACovZ BAD=120 , / ABF=60 ABC和厶ACD为等边三角形。 Z ACF=60 , AC=ABo.Z ABE=Z AFC o在厶 ABE 和厶 ACF 中，vZ BAE= Z FAC , AB=AC , Z ABE= Z AFC, ABE也厶

14、 ACF (ASA)o . BE=CFo(2)四边形AECF的面积不变， CEF的面积发生变化。理由如下:由(1)得厶 ABEACF，贝U Smbe=Saacf。 S 四边形 AECF=SaAEC+SaACF=SaAEC+SaABE=SaABC ，是定值。边AE最短.作AH丄BC于H点，贝U BH=2 ,1S四边形AECF s abc 2 BC AH由垂线段最短”可知：当正三角形1 2 2BC AB2 BH24 3。2AEF的边AE与BC垂直时,故厶AEF的面积会随着 AE的变化而变化，且当 AE最短时，正三角形 AEF的面积会最小，又SaCEF=S四边形AECF SaAEF,则此时 CEF的

15、面积就会最大.- SaCEF=S 四边形 AECF SaAEF 4后 1勺2 3 彳3 $3 o CEF的面积的最大值是3 o【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性 质。【分析】(1)先求证 AB=AC，进而求证 ABC ACD为等边三角形，得/ ACF =60 AC=AB，从而求证 ABEACF，即可求得 BE=CF。(2)由厶 ABE ACF 可得 Saabe=Sacf,故根据 S 四边形 AEC F= SaAEC+SaACF =SaAEC+ SaAbE = SaABC即可得四边形 AECF的面积是定值。当正三角形 AEF的边AE与BC垂

16、直时，边 AE最短. AEF的面 积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据Sacef=S四边形aecf Saaef, 则厶CEF的面积就会最大。10、如图，在厶AOB中，/ AOB=90 OA=OB=6 , C为OB上一点，射线CD丄OB交AB于点D, OC=2 .点 P从点A出发以每秒眉2个单位长度的速度沿 AB方向运动，点 Q从点C出发以每秒2个单位长度的速 度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点 P到达到点B时停止运动，点 Q也随之停止.过点 P作 PE丄OA于点E, PF丄OB于点F，得到矩形PEOF.以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN ,

17、斜边MN / OB,且MN=QC .设运动时间为t (单位：秒).(1 )求t=1时FC的长度.(2)求MN=PF时t的值.(3 )当厶QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠(阴影)部分图形面积 S与t的函数关系式.(4) 直接写出 QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时 t的值.考点：相似形综合题.分析：(1)根据等腰直角三角形，可得 上 .,OF=EP=t，再将t=1代入求出FC的长度；(2) 根据MN=PF，可得关于t的方程6 - t=2t，解方程即可求解；(3) 分三种情况：求出当 1弐电时；当2v t上时；当主v t W时；求出重叠(阴影)部分图形面积S与t的函数关系式；(4) 分M在OE 上; N在PF上两种情况讨论求得 QMN的边与矩形 PEOF的边有三个公共点 时t的值.解答：解：(1)根据题意， AOB、 AEP都是等腰直角