用迭代法速解高考压轴题教学内容

1、用迭代法速解高考压 轴题 高二数学 专题讲座 巧用迭代法速解高考压轴题 高考是以知识为载体，方法为依托，能力为目标来进行考查的，命题时则是以能力为立 意，以方法和知识为素材来进行命题设计的。纵观这两年全国高考的新课程试卷中的压轴题 数列问题，背景新颖、能力要求高、内在联系密切、思维方法灵活，又由于新课程的改革 中淡化了数学归纳法，无疑地迭代法成为解决这类问题的通法。 1. an+i=pa+q（p、q为非零常数）型 =q，即=話，这样数 此类型的通项公式求法通常有两种迭代思路：一是构造新数列使其成等比数列，设原递 推关系化为an+1+ =p（an+ ），其中 为待定系数，于是有p 列 an即为等

2、比数列。二是 an=pani+q=p（pan2+q）+q=p2an-2+pq+q=p2（pan- p 1 3+q）+pq+q=p3an3+p2q+pq+q=pn_1ai+pn_2q+pq+q，它的实质下标递降，直至退至卩 不同再退为止。 例1.设a0如图，已知直线I :y=ax及曲线C:y=x2，C上的点Qi的横坐标为ai（0ai0),A3是线段A1A2的中点，A4是线段 A2A3的中点，An是线段An-2An -1的中点，求Xn的通项公式。 分析：充分利用An是线段An2An 1的中点这一重要信息来揭示Xn与Xn 1、Xn2的递推关 系，然后利用迭代法先将相邻三项递推关系转化为相邻两项的关系

3、，即Xn与Xn-1的关系，再用 类型一或类型二的迭代法求解 Xn. 解：由An是线段An-2An-1的中点得: Xn 1Xn 2 Xn= 一 一，即 2Xn=Xn 1+Xn2(n 3). 迭代法一 :丁 2Xn=Xn计Xn-2,二 2Xn+Xn-1=2Xn 1+Xn2. 反复迭代有：2Xn+Xn-1=2Xn-1+Xn - 2=2Xn-2+Xn-3二=2X2+X1=2a. .2Xn+Xn-1=2a，即卩 Xn二 1 尹11 Xn=(Xn-XnT)+(Xn-1 Xn-2)+ +(X2 X1)+X1=a1+( )+( )2 +()n 2= a .再次反复迭代得： 1 1 1 1 2 1 XnX n

4、1a ( Xn 2 a) (-)Xn 2( )a a 2 2 2 2 1 2 1 1 1 3 1 2 1 (-)( Xn 3 a)( )a a ()Xn 3 (-)a ()a a 2 2 2 2 2 2 1 n 1 2 1 1 、n 3 1 2 1 n 1 , ()X1 (-) a ( )a a a(- ) ()1a1 (-) 迭代法二:V 2Xn=Xn 1+Xn-2,二 2Xn 2Xn-1二(Xn 1 Xn-2),即 Xn Xn 1= 2(Xn1 Xn2)( 2)(Xn 22 Xn3) 1 x n 22 (2)(X2X1) ( 2) a. 2a 1 n 1 (2). 2a1 .数列Xn的通项

5、公式为Xn=1 ( -)n 1 3 2 解题回顾从本题的上述两种方法可以看出：变形的形式不同，则迭代的方法也不相同。方 1 法一是抓住2Xn+1+Xn的结构形式不变进行反复迭代，然后再对Xn+1 = - -n+a进行反复迭代；也 可以用待定系数法构造新数列然后再迭代；方法二则是构造Xm Xn为等比数列。如果将两种 1 迭代结果2xn+l+Xn=2a和xn+1 Xn=(- - ) “ 结合在一起，从方程组角度考虑，则显得更简捷明 了。 4. an+2、 an+1、 an与an-1的递推型。 此类型问题是相邻四项间的递推关系，首先转化为相邻三项或两项的递推关系，然后再用上 述三种类型的迭代法求解。

6、 例 4.已知数列 an 各项都是自然数，a1=0,a2=3，且 an+1ch=(an-1+2) (a-2+2),n=3,4,5,。(I) 求 a3； (II)证明：an二an-2+2,n N+，n3，( III )求 an 的通项公式及前 n 项和 Sn。 分析：第(I)题利用特殊值n=3及a4,a3都是自然数的特征求出 丄1. 1 a11 a21 an2 分析：第（I）题利用“试验归纳一猜想”的方法求出an；第（11）题（1）利用数学归纳法 证明；而（2）可用数学归纳法证明，也可用迭代放缩法证明。 解：（I）由 a1=2, 得 a2=3, a3=4, a4=5，猜出 an=n+1. （II

7、）（1）用数学归纳法证明（略）。 (2)由 ai+1 =an(an n)+1 及(1) an n+2，得：an+1 2an+1, 2232n an2an-1+12 (2an-2+1) +1=2 an-2+2+12 (2an-3+1) +2+1=2 an-3+2+2+12 1a1+2n 2+ -+2+13 2n_ 1+2n2+ +2+1=(2+1) 2n+2n2+ +2+1=2n+2n_ 1+2n2+2+1=2n+1 1. an+12n+1, 1 1 即n 1 . an 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n 1 (1 1 ) 2( 2n) 1 1a11 a21 an 22 23 2n 1 22 1 1 2 2 解题回顾：该小题仍然考查数列与不等式的推理问题，但与前小题相比，有更高的层次的要 求。高要求的表现不仅仅是推理的过程，更重要的是反复迭代变形（放缩迭代）的决策，由此 可看出迭代法解高考题的威力。 an=l3n ( 1)n 12n ( 1)n2na0;