浅谈“几何基本图形”的重现与中考几何压轴题的突破

1、浅谈几何基本图形的重现与中考几何压轴题的突破新昌县七星中学王育内容摘要】首先通过对图式论与几何基本图形重现关系的分析，以及对几何基本图形概念的阐述，说明几何基本图形重现的可行性和优越性。接着说明如何建立几何基本图形库，利用几何基本图形的重现来突破中考几何压轴题，提高学生的解题能力，以及这一教学方式取得的良好效果。【关键词】几何基本图形建立 重现突破几何压轴题几何压轴题是对学生所学知识的灵活运用及分析问题、解决问题能力的全面考查，它具有很强的导向作用。由于压轴题的知识覆盖面广，图形复杂，综合性强，难度系数大，既考查基础知识和基本技能，又考查数学思想方法和数学探索创新能力

2、，因而它是中考选拔功能的集中体现。中考数学几何压轴题历来是学生关注的焦点。对于中考中的几何压轴题（不论是选择题中的，还是填空题中的和解答题中的），不少学生一看到复杂图形就心生害怕，一看到动点问题就紧张，不知道从哪里找到解题的突破口。再加上考试时间限制，导致他们心理紧张，结果发挥失常。如何让学生学会快速有效地找到中考几何压轴题的解题突破口，从教学中笔者体会到几何基本图形的重现是解中考几何压轴题的捷径所在。几何基本图形是指教材中的几何定义、公理、定理、推论或典型例题、习题中所对应的几何图形。几何基本图形的重现，就是从几何图形中分解或构造出起主导作用的基本图形，通过这些基本图形建立起已知条件与结论之

3、间的联系，以求问题得以解决。一、图式论与几何基本图形重现几何基本图形重现是图式论的体现。笛卡尔曾经说过：“把你所考虑的每一个问题，按照可能和需要，分成若干部分，使它们便于求解。”而我们从几何基本图形重现的思维过程来看，它保留了两头凑的思维过程，因而它同“分析综合法”是一致的。但它又比“分析综合法”更具直观化、简单化、规律化。因此，它能化难为易，化繁为简，进而以较快的速度解决问题，是图式论思想的体现。德国心理学家巴特得特认为，图式是个体已有的知识体系结构。而知识结构是学习和实践在人心理，特别是在思维过程中形成的知识体系，这个知识结构对于个体认识事物发挥着重要的作用。在认识过程中，个体只有把新刺激

4、与已有的相关知识联系起来才会理解它。随着现代心理学的发生和发展，图式论也不断得以丰富和完善，并被广泛用于阅读、理解等心理过程的研究。现代认知心理学家鲁默哈特把图式称之为认知的建筑块料（或“组块”），他认为，图式理论是一种关于人的知识的理论。所有的已有知识在头脑中经过整理内化形成一定的组织，这种组织就是图式，图式不仅包含知识本身，还包含有关这些知识如何被运用的信息，即图式的启动。引导学生对几何基本图形的理解和建立，从而达到记忆数学知识，就是在学生的头脑中构建种种图式，在分析问题的时候，便于根据相关的联系把图式取出来，有利于问题解决。二、几何基本图形的分类（一）定义、公理、定理、推论类的基本图形如

5、图1，平行线性质定理的基本图形；如图2，角平分线性质定理的基本图形等。 （二）非定理类的基本图形（教材中典型例题、习题所对应的，出现频率较高的、规律性的几何图形。）如相似三角形的基本图形可分类两类：直角三角形（6个）非直角三角形（6个） 三、几何基本图形的建立要学生建立起几何基本图形，教师首先得在平时教学中加强教学反思和课外阅读，不断归纳，累积经验，总结和摸索出一整套行之有效的几何基本图形。为帮助学生建立起几何基本图形，笔者在平时教学中做了以下几个方面的努力：（一）做到表达的准确性。在教学时，特别注意准确地表述，包括线条、几何语言力求形象、准确、清楚地描述定义、定理、公理及其推论的文字内容，以

6、免误导。（二）做到文字、图形和符号语言的“三结合”。一方面，用几何语言、图形对文字内容表述时，做到图形准确，条件和结论准确、分明、具体、全面；另一方面在教学时，将准确的文字语言与直观形象的几何基本图形以及几何符号语言严格的对应起来，做到“三结合”。（三）做到“见数思形，以形促数”。直观形象教学是几何教学中最重要的一种教学，而几何基本图形教学它恰好体现了几何教学的直观性、形象性。几何基本图形教学是通过基本图形的学习，使学生能根据图形和必要的符号语言反映出所学的基本定义、定理、公理及其推论的文字内容，从而达到解决问题目的，因而在教学时必须强调几何基本图形的突出特征。总之，只有通过多次提，变式做，多

7、渠道解，与此同时通过对几何图形的分解、提炼、重组与构造，使学生脑海中有几何基本图形。如何利用几何基本图形来解中考几何压轴题呢？又该如何来找到解题的金钥匙呢？ 四、 利用几何基本图形的重现来解答中考几何压轴题如何才能让几何基本图形重现？几何基本图形重现是在原几何图形的基础上，通过对图形的分解、提炼、重组与构造来达到重现目的。故题中的几何图形是引发几何基本图形重现的重要线索，所以，首先学生要养成良好的读题习惯，其次学生必须认真仔细关注题目中的几何图形，分析几何图形的特征，找出或构造出几何图形中的几何基本图形。而这个几何基本图形就是我们要说的几何压轴题的突破口。笔者根据几何基本图形与题中几何图形的不

8、同关系，对几何基本图形重现采取了不同的策略：（一）包含有显性基本图形的几何图形中分解出几何基本图形1简单的几何图形中，寻找出几何基本图形在有些压轴题的命题背景相对比较简单，因而一眼能看出某个几何基本图形。这要求我们学生力求做到“见到图形，想到性质；想到性质，想全性质”。当然要做到这点，平时必须熟练地掌握公理、定义、定理、推论。学生只有进行知识储备，才能进而形成相关的几何基本图形，然后，通过知识的正迁移，达到解决几何压轴题的目的。案例1（2009年太原）的填空题的压轴题：如图3-1在等腰梯形中，=4=，=45直角三角板含45角的顶点在边上移动，一条直角边始终经过点，斜边与交于点若为等腰三角形，则

9、的长等于 分析：我们通过审题，观察题中图形信息，不难发现有一个三等角相似的几何基本图形图3-2，即=，因而马上发现,再加上分类讨论的思想就不难解决此题。启示：其实三等角相似这个几何基本图形，它往往隐藏于等腰梯形、等腰三角形和等边三角形中。因为，三等角相似三角形就是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个角（与等腰三角形的底角相等的角）的顶点在底边所在的直线上，这个角的两边分别与等腰三角形的两边相交（见非定理类的基本图形图3-2）。这个角的顶点在底边上的位置的不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。如图3-3至图3-6

10、：案例2（2006广东）中考压轴题的最后一小题：如图4，在平面直角坐标系中，四边形oabc是等腰梯形，bcoa，oa=7，ab=4，点p为x轴上的一个动点，点p不与点o，点a重合。连结cp，过点p作pd交ab于点d。此题中的第（3）题：当点p运动到什么位置时，使得，。分析：对于动态问题，我们可以采用以静止动的方法，很快找到一对相似三角形的几何基本图形。即，再利用相似三角形的性质可达目的。启示：对于动态问题，我们往往先把不变的线段，不变的角找到。在动态过程中有没有始终相等的线段，始终全等的图形，始终相似的图形，因为所有的运算都基于它们，所以找到变化线段之间的联系，就可用代数式慢慢求解。2复杂的几

11、何图形中，分解出几何基本图形遇到较复杂的几何图形，要象庖丁解牛一样地把几何基本图形分离出来。因为不少压轴题，它是由简单图形组合而成的。于是把一个复杂的问题，分解为一系列简单的问题，把复杂的图形，分成几个基本图形，找相似，找直角，找特殊图形，慢慢求解。中考是分步得分的，这种思考方式尤为重要，能算的先算，能证的先证，踏上要点就能得分，就算结论出不来，中间还是有不少分能拿。所以我们在解题时可根据题中的条件一步步重现它的画图过程，这样我们会有意想不到的收获。案例3(2010 广西桂林市)中考几何压轴题： 如图5-1，o是abc的外接圆，fh是o 的切线，切点为f，fhbc，连结af交bc于e，abc的

12、平分线bd交af于d，连结bf（1）证明：af平分bac；（2）证明：bffd；（3）若ef4，de3，求ad的长分析：通过读题，我们可以发现此题是一个递进式的压轴题，但它与其他的递进式又有不同，它的前两个小题是证明题，所以难度就大大的降低了。也就是说前两题即使无法做出，从一定程度上也不影响第三小题的求解，我们照样可以用它的结论。由圆周角定理，我们很快可发现及公共角，因而我们进而发现一对相似三角形的基本图形图5-2，“母子三角形”即，得到对应边成比例就可解决。从上述案例中不难发现，观察图形，熟悉图形特点，选择寻找基本图形或者分解出基本图形有助于学生解题时发现线索，因为基本图形以组块形式出现，已

13、经是一个集成块，相当于在图式论中的图式，所以应用起来就非常便捷。（二）无显性基本图形的几何图形中构造几何基本图形有些中考压轴题，图形本身中并无显性基本图形，但是它包含有局部的基本图形，此时，我们就通过无中生有来构造基本图形。而在解决问题的过程中，添辅助线是必不可少的。中考对学生添线的要求不是很高，只需连接两点或作垂直、平行，而且添辅助线几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的几何基本图形或构造一些常见的非定理的几何基本图形。1构造定理所需的几何基本图形案例4（2010江苏扬州）中考几何压轴题：如图6-1，在abc中，abac，以ab为直径的半圆o交bc于点d，deac，垂足为e（1）求证：点d是

14、bc的中点；（2）判断de与o的位置关系，并证明你的结论；（3）如果o的直径为9，cosb，求de的长分析：要求证“点d是bc的中点”，联系到题目中的背景图形，因而联想到三线合一定理的这个几何基本图形，就会想到连结ad（如图6-2），只要说明ad是高线或顶角的平分线即可。再加上条件中的直径ab问题马上得解。在解第（2）小题时，我们会不由自主地联想到切线的判定定理的几何基本图形，就会想到连结od（如图6-3），进而说明。第（3）题只要根据三角函数的定义即可得解。2构造非定理的几何基本图形非定理的几何基本图形往往分为两大类“直角三角形”和“非直角三角形”一共12个图形。无显性的几何基本图形学生可能

15、无从下手。压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高。学生往往不知道该怎样入手，这时往往应根据题意去寻找相似三角形或者构造相似三角形。案例5(2010江苏苏州)中考压轴题：如图7-1，在等腰梯形abcd中，adbc，o是cd边的中点，以o为圆心，oc长为半径作圆，交bc边于点e过e作ehab，垂足为h。已知o与ab边相切，切点为f。 (1)求证：oeab；(2)求证：eh=ab；(3)若，求的值分析：前面两个小题相对比较简单，但最后一小题应怎样计算呢？如何与已知条件联系起来呢？故本题的第（3）题通过已知条件和所求的问题联想到构造（如图7-2），问题得以解决。案例6（2011新昌县九年级模拟卷

16、）图8-1，已知直线,相邻两条平行线间的距离都相等，如果直角梯形abcd的三个顶点在平行直线上，且ab=3ad,则tan= 。分析：要求三角函数值，必须找到一个以为锐角的直角三角形，而这个直角三角形的三边之比又是已知的。但图中没有现存这样的三角形，怎么办？构造直角三角形，把已知条件和所求的内容都转化到一个三角形中。而图中有一个直角，且又有平行线间的距离相等，所以就想到图8-2这个基本图形，再通过相似问题得解。 “数缺形时少直观，形缺数时难入微。”这是我国的著名的数学华罗庚讲的。可见数形结合之重要。而数形结合的问题是学生学习的困难所在，数形结合的思想也更是命题人出压轴题的常用的主导思想。案例7（

17、2011年新昌九年级中考模拟卷的填空题的压轴题）：有两个等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的顶角，甲的底长等于乙的腰长，甲的腰长等于乙的底长，则甲的底角是度。分析：这是一道几何题，但该题却没有图形，很明显命题人要在图形位置关系上做文章。那么，我们根据题意画出如下两个示意图（图91和图92）： 可是我们粗略分析这两个等腰三角形没有什么特别的，求角思路一时受阻。但转而一想，这两个等腰三角形有边相等，又有角相等，而且当其中一个图形改变时，另一个图形也随着变了，所以我们想到能否把这两个三角形组合到一块去呢？结果一尝试，发现这个两个三角形组合成一个特殊几何基本图形等腰梯形，进而结合等腰梯形的性质可求出其中

18、一个解。但是要特别注意一个问题：这个“等腰梯形”只是感观很像，而题中没有说它一定是“等腰梯形”。因而，我们再仔细分析图93这个图形，发现我们只能根据条件得出acbe,而并不知道acbe。由此，联想到分类讨论思想：(1) ac=bd 进而得到平行四边形abec,再利用平行四边形性质求得一解； (2)acbd进而得到等腰等梯形abec,再利用等腰梯形的性质求得另一解，到此问题圆满得解。当然，此题也有其他解法，但总觉得没有这个方法简单。案例8（2011绍兴市中考）压轴题24题的第（2）题：点p在抛物线上，直线pqbc交轴于点q，连结bq.第题，若含角的直角三角板如图10-1所示放置，其中，一个顶点与

19、点c重合，直角顶点d在bq上，另一个顶点e在pq上。求直线bq的函数解析式；分析：解决此题的关键是什么呢？是点q的坐标。如何求点q坐标呢？我们必须时刻牢记几何研究的对象是图形的位置关系和数量关系。所以，我们分析此题产生的背景图形是等腰直角三角形和直角坐标系，而由分析可知dc=de,cde=90及点b(1,3),在点d在线段bq上移动的过程中始终成立，而且点e是由点d移动而发生变化的，真正变化之源是点d.所以，我们想到能否通过点d作坐标轴的垂线来解决呢？结果一尝试，我们作出图102这个图形，发现有两个直角三角形（图10-3）相似且相似比为1，进而四边形dmqn是正方形,再利用正方形的性质问题得解

20、。 总之，在解几何压轴题陷入困境时，不妨想一想这样一句话，“做不出，找相似；有相似，用相似”。而要找到相似三角形，这就要求学生善于观察题目信息，尤其是图形信息，在思考时优先考虑是否存在基本图形的局部图形，能否通过添线来补全，等等。特别值得一说的是：初中阶段用得较多的是用几何问题去解决直角坐标系中的函数问题，对于学生而言要尽可能从图形着手去解决。比如求点的坐标，可以通过往坐标轴作垂线，把它转化为求线段的长，再结合基本的相似、全等、三角比解决，尽可能避免用两点间距离公式列方程组。特别是在二次函数的背景下的几何相似问题，十之八九用到直角三角形相似的几何基本图形。几何基本图形重现，加强了学生对图形的关注度，提高了学生感知图形和分析图形的能力，通过对几何基本图形的分解、提炼、重组与构造，开阔了学生解题的思路，提高了学生的数学直觉思维能力。几何基本图形重现，使学生学会了解几何压轴题的基本技巧。在学生面对压轴题审题无果的情况，不会心慌意乱，转而会去重新审视和分析原题