线性空间和欧式空间

1、第六章线性空间与欧式空间1线性空间及其同构一线性空间得定义设V就是一个非空集合,K就是一个数域，在集合V得元素之间定艾了一种代数运算， 叫做加法；这就就是说，给出了一个法則，对于V中任意两个元素a与0,在V中都有唯 一得一个元素y与她们对应，成为a与0得与，记为/ = a + o在数域K与集合V得 元素之间还定义T 一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K中任一数k与V中任一元素a , 在V中都有唯一得一个元素d与她们对应，称为k与a得数量乘积，记为6 = ka,如果 加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域K上得线性空间。加法满足下面四条規则：1) a + 0 = 0 + a；交换律2) (a

2、 + 0) + 了 = a + (0 + 了)；结合律3) 在V中有一个元素0,对于V中任一元素a都有a + O = ct (具有这个性质得元素0称为V得零元素)；存在零元4) 对于V中每一个元素a ,都有V中得元素，使得a+ 0 = 0(0称为&得负元素)、存在负元数量乘法满足下面两条规则：5) la = a ；存在1元6) k(la) = (kl)a、数得结合律数童乘法与加法满足下面两条规則：7) (k+l)a = ka + la；数得分配律8) k(a + 0) = ka + k/3、元得分配律在以上规則中，kJ表示数域中得任意数；a、卩、丫等表示集合V中任意元素。例1 元素属于数域K得

3、m x n矩阵，按矩阵得加法与矩阵得与数得数童乘法，构成数 域K上得一个线性空间，记为。例2全体实函数(连续实函数)，按函数得加法与数与函数得数量乘法，构成一个实数域上得线性空间。例3n维向量空间K就是线性空间。例4.向量空间得线性映射得集合HomK Km, K)就是线性空间。二. 简单性质1. 零元素就是唯一得。2. 负元素唯一。3. Oa = 0, 0 = 0, (-l)a = -a。4. 若ka = 0,则k = 0或者a = 0。三、同构映射定狡：设匕W就是数域K上得线性空间.AeHomK(V,)就是一个线性映射、如果A就 是一一映射，则称A就是线性空间得同构映射，简称同构。线性空间V

4、与W称为同构 得线性空间。定理 数域P上两个有限维线性空间同构得充分必要条件就是她们有相同得维数。同构映射得逆映射以及两个同构映射得乘积还就是同构映射。线性空间分类V维数同构=2线性子空间得与与直与子空间得与：设W就是线性空间V得子空间，則集合W = ai+a2al eW；或冬w % 也就是一个线性子空间，称为叱,V百得与，记为聊+ VV2、 两个线性子空间得与W】+巴就是包含这两个线性子空间得罠小子空间、 满足交换律、结合律设,q与01，,為就是V得两个向量组、则 厶（口,务）+ 厶（A,0J = L（al，务,0i，,0?） 线性子空间中得线性无关向量组都能被扩充成这个子空间得一个基。定理

5、：（维数公式）如果WJ他就是线性空间V得两个子空间，那么dim（W） + dim（W、）= dim（W, +W2）+ dim（州 cW,）由此可知，与得维数要比维数得与来得小。推广到有限个线性子空间得与空间维数推论:如果维线性空间V中两个子空间叫，匕得维数之与大于，那么,匕必含有非零得公共向量。直与：设WpW,就是线性空间V得子空间，如果刚+比中得每个向量a都能被唯一地表示成a = ax +a2 09当且仅当a = 0时，（a,a） = 0这里a、队丫就是V任意得向董，k就是任意实数，这样得线性空间U称为欧几里得空间.例1在线性空间/r中，对于向量& =(再卫2,卫，0 =(勺血如,定51内积

6、(a, 0) = q也 +勺优 + + a”b“.(1)则內积(1)适合定艾中得条件，这样就成为一个欧几里得空间、77 = 3时，(1)式就就是几何空间中得向量得内积在直角坐标系中得坐标表达式、例2在R里，对于向量Q = (di卫2,卫，0 =(勺上2,也),定义内积(&,0) = db +22 + nanbn.则内积(1)适合定艾中得条件，这样/?就也成为一个欧几里得空间、对同一个线性空间可以引入不同得内积,使得它作成欧几里得空间、例3在闭区间“，切上得所有实连续函数所成得空间C(“,b)中，对于函数/(x),g(x)定 艾内积(/(x), g(x) = f(x)(x)dx、(2)对于内积(

7、2), C(“,b)构成一个欧几里得空间、同样地，线性空间Rx, Rxn对于内积 也构成欧几里得空间、例4令H就是一切平方与收敛得实数列X =(坷山2,心)，工疋+03n=l所成得集合，則H就是一个欧几里得空间，通常称为希尔伯特(Hi I bert)空间、定义非负实数称为向量a得长度，记为wi、显然，向量得长度一般就是正数，只有零向量得长度才就是零，这样定狡得长度符合熟知得性 质：ka =l A-1 |a|(3)这里 kwR、awV、长度为1得向量叫做单位向量、如果，aHO由(3)式，向量1就就是一个单位向量.用向量Q得长度去除向量a ,通常称为把a单位化、(Cauchy-Bun i akow

8、sk i不等式)对任意得向量a, 0,有I (a, 0) IM a II01,而且等号成立当且仅当a, 0,线性相关、(保证向董夹角定狡得合埋性) 定义非零向量a、0得夹角va、0规定为= arccos, 0 (?,/?) Y就就是厶=心2,C.J中得向量、于就是最小二乘法问题可叙述成：找X使（1）最小，就就是在厶=（勺，4,4,）中找一向量匕使得3到它得距离比到 子空间L = （a,a2 aj中其它向量得距离都短、应用前面所讲得结论，设Y = AX = xa + x2a2 + + xxas就是所求得向董，则C=B-Y=B-AX必须垂直于子空间厶=(勺心2,GJ、为此只须而且必须(C,6Z|)

9、 = (C,6Z2)=(C,a.、.)= 0回忆矩阵乘法规则，上述一串等式可以写成矩阵相乘得式子，即a：C = 05z2rC = 0a：C = 0.而aja：按行正好排成矩阵A7 ,上述一串等式合超来就就是A7(B-AX) = 0或A/AX=A/B这就就是置小二乘解所满足得代数方程，它就是一个线性方程组，系数矩阵就是AJAf常数 项就是A1这种线性方程组总就是有解得、5正交变换与正交矩阵定义 欧氏空间U得线性变换A叫做一个正交变换，如果它保持向董得内积不变，即对任 意得，都有a,/?eV，都有(Aa , A0 ) = (,/?)、正交变换可以从几个不同方面公平加以刻画.正交群O(比R)设A就是n维欧氏空间得一个正交变换，则有以下结论：(1) 如果%电、心就是规范正交基，那么A习，A匂，A乙也就是规范正交基；(2) A保持向量得长度不变，即对于a e V , (Aor , Aar ) = (a , a );(3) A在任一组规范正交基下得矩阵就是正交矩阵A1 A = E .(4) 正交变换得乘积与正交矩阵得逆矩阵也就是正交矩阵.推论设A是一个邢介实数矩阵，那么下列条件是等价的：(祕翩斷懺礴圳步亦和