XX6解三角形知识题型归纳

1、解三角形常用知识点归纳与题型总结1 三角形三角关系： A+B+C=180 ; C=180 （A+B）; .角平分线性质定理：角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比 .锐角三角形性质：若 ABC则60 c; a-bc3、三角形中的基本关系：sin(A B) =sin C, cos(A B) - -cosC, tan(A B) - - tanC, A B C A B .CA B 丄 C sincos ,cossin,ta ncot 2 2 2 2 2 2(1 )和角与差角公式tan（二丨）=tanx r- tan :1 +tan ： tan :sin(、丄二) =sin ： cos 卩二co

2、s： sin :;cos（圧二 I-）二cos： cos ： +sin ： sin -;（2）二倍角公式sin2 a=2cos a sin acos2：2 2 2= cos -sin 2cos-1 =1 2sin21 - tan2:a1 -cos2二 2,cos :1 cos2：圆的半径，则有sin A5、正弦定理的变形公式:=2R .sin 二 sin C（3）辅助角公式（化一公式）y = asin x 二 bcosx = . a2 b2 sin(x 二) 其中 tan4、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角二、2、C的对边，R为心 C的外接化角为边：a =2Rsin=_, b = 2Rsi

3、n2 , c = 2RsinC ；abc化边为角：si nZ,sin m,sin C2R2R2R a : b: c 二 sin 一二:sin m:sinC ；a +b +cabc=2Rsin Z sin 2 sin Csinsin 3sin C6、两类正弦定理解三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他的两边及一角已知两角和其中一边的对角，求其他边角 .（对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）7、三角形面积公式:1 1 1S 日bcsinabsinCacsin 二2=2Rsi nAsi nBsi nC=abc4Rr(a 亠b 亠c) =.p( p -a)( p -

4、b)( p - c)(海伦公式)28、余弦定理：在2 C 中，有a2二 b2 c2 - 2bccos-l ,b2二 a2c2- 2ac cos,c2 = a2 b2 -2abcosC .9、余弦定理的推论：.2 2 2 2 2.2 2.2 2b c -aa c -ba b -ccos, cos, cosC -2bc2ac2ab注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余 弦定理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用：10、余弦定理主要解决的问题： 已知两边和夹角，求其余的量。 已知三边求角11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，

5、统一 成边的形式或角的形式设a、b、c是心C的角_二、三、C的对边，则： 若 a2 bc2，则 C =90：； 若 a2 b2 c2，则 C : 90； 若 a2 b2 : c2，则 C - 90 .12、三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点重心一一三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平分线相交于一点旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点题型之一:求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角（或二角一边或三边），求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线（高线、角平分线、中线）及周长等基本问题.sin 2 A1 （15 北京理科）

6、在 ABC 中，a=4 , b =5 , c =6，贝Usin C亠幷八丄lsin 2A2 sin A cos A2a b2 + c2 - a2试题分析：一sin Csin Cc2bc24 2536 - 16162562. （2005年全国高考湖北卷）在厶ABC中，已知AB4.6.6,cos B =36AC边上的中线BD= 5，求 si nA 的值.分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC,再由正弦定理，即得 sinA.解：设E为BC的中点，连接 DE，贝U DE/AB,且DE = 1 AB = 2-6，设BE = x23在厶BDE中利用余弦定理可得：BD2二BE2 ED2 _2BEED

7、cosBED ,5 =x2 8 2 2l66 x，解得 x = 1 , x - - 7 (舍去).3 363故 BC=2，从而 AC2 二AW BC2 2ABBCCOSB-28,即 AC 二口.又sinB 二,3362 .21故2sin A在厶ABC中,3 70,sin A =-.3014已知 a = 2 , b= 2. 2 , C = 15 ，求 A。答案：二 B A 且 0 ： A ： 180,二 A =30题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状.1. (2005年北京春季高考题)在 ABC中，已知2 sin A cos B = sinC，那么 ABC 一

8、定是()A 直角三角形B 等腰三角形C.等腰直角三角形D 正三角形解法 1：由 2 sinAcosB 二 sinC = sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB,即 sinAcosB cosAsinB= 0，得 sin(A B)= 0，得 A = B.故选(B).解法2：由题意，得cosB =證T話，再由余弦定理，得cosB =a2c2 - b22aca2c2 - b22ac，即 a2 = b2, 得 a = b，故选(B). 2a(如解法1)，统评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断 化为边，再判断(如解法2).题型之三：解决与面积有关问题主要是

9、利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题.1.1（2012 标理科圻）（本小题镐分12分）已知叭*分别为4407三个内角4武的对边，ezcos C+ TSsin C-r=0.1）求心 （2）若A月方的医題为J5 ；求肉c【解析】（1）由正弦定理得匸/cos C+ Tizsiii C-b l = 0 sin cos-sinsin 矗= r=F Ux *Cd& A o +*= 4 必=工匚2.在 ABC 中，si nA cosA , AC =2 , AB = 3，求 tan A 的值和:ABC 的面 2积。答案：S .ABC = 1 AC AB sin A =丄 2 3 -2 = _3（卅2

10、 、6）22443. （07 浙江理 18）已知 ABC 的周长为.2 1，且 sin A sin B 二2 sin C .（I）求边AB的长；1（II）若 ABC的面积为一 sinC，求角C的度数.6解：（I）由题意及正弦定理，得 AB BC A 2 1 , BC AC =2aB ,两式相减，得AB -1 .11 1（II ）由 ABC 的面积一BCLAC_sinCsinC，得 BCLAC =-,263由余弦定理，得cosC 二2 2 2AC BC - AB2ACLBC（AC BC）2 -2ACLbC - AB2 _ 12ACLBC2所以C二60；.题型之四：三角形中求值问题1. （2005

11、年全国高考天津卷）在 ABC中，/ A、乙B、乙C所对的边长分别为 a、b、c , c 1t设a、b、c满足条件b2 cb -a2和3，求一 A和tan B的值.b 2分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理.2 2 2解：由余弦定理因此, b +c a cos A =2bc在厶 ABC 中，/ C=180 -Z A -Z B=120 -Z B.由已知条件，应用正弦定理1c sin Csin(120 - B)2b sin Bsin Bsin 120 cosBcos120si nB.311cotB,解得 cot B = 2,从而 tan B =-sin B2 22B +C2.

12、 AABC的三个内角为 A、B、C，求当A为何值时，cos A 2cos取得最大值,2并求出这个最大值。解析：由 A+B+C= n，得 B+C=2 A，所以有 cosB+C =sinA。B+CcosA+2cos2_=cosA+2s in=1 2si n2!+ 2si nAa亍2(si nq1 232)+ 2；当 sinA = ，即即 A=3 时,cosA+2cos取得最大值为 |。3在锐角 ABC中，角A B, C所对的边分别为a, b, c ,已知tan2sin2 的值;2 2(2)若 a = 2 , Saabc2，求 b 的值。解析：（1）因为锐角厶Q / QABC 中，A + B + C

13、 =二，sinA=:，所以31cosA =3.2 B + CsinA2丄2 A+ sin22 B + C . 2 A tan+ sin222 B + Ccos2=1S +1(1- cosA)=+ 1 71 cosA 33，贝V bc= 3。31 1 2.2(2)因为 Sabc =叮2,又 S abc = bcsi nA = bc *2a2= b2 + c2 2bccos A 中,13将a= 2, cosA =, c= 代入余弦定理:3b得 b 6b + 9 = 0 解得 b =、 3。点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。4在 ABC中，内角A, B,

14、C对边的边长分别是 a, b, c ,已知c = 2 , C二二3（I）若 ABC的面积等于，求a, b ；(n)若 sin C - sin( B -A) = 2sin 2A，求 ABC 的面积.本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识， 考查综合应用三角函数有关知识的能力.解：（I）由余弦定理及已知条件得，a2 ba4 ,又因为 ABC的面积等于,3，所以*absin C =，得ab = 4 ., 2 2联立方程组a b ab 4,解得_2 , b=2.ab = 4,(n)由题意得 sin( B A) sin( B - A)二 4sin A cos A ,即 sin B cos

15、 A = 2sin Acos A , 当 cosAd 时，Ba 二心,厂士 ,2633当cos A = 0时，得sin B = 2sin A，由正弦定理得 b = 2a , 联立方程组解得a= , 心b=2a,3-12分B，C所对的边分别为a，b，c，已知所以 ABC的面积S =absinC二223题型之五（解三角形中的最值问题）1.（ 2013江西理）在厶ABC 中，角A，cosC (cos A in A)cos B = 0 .（1）求角B的大小；若a c =1，求b的取值范围 答案：（1）602. （ 2013新课标n ） ；.在内角的对边分别为,已知，-i （I）求;（n）若3=7,求厶

16、 面积的最大值.答案：（1） 45+1(I )由已知及AMKflsin A 二 sin RgC sin (inff.sin A $in( *C) - sin ScosC B mC 由Q.和CcQO町褂Xe(0. x).所以0#I 近(| ) AXZTCM面枳S产sic亍atUCft及余他定理料4./.S2xC3f乂 a: *c:弓 2ac 故当H仅当”皿耳号版工囚此厶4眩10!的肚人値为迈儿3. AffC9角儿B、Q所对的边分別是，久G且(HF丄X.2/ C求sin2=_ + cos2的值：(2)若尼2.求bARC而积的鼠大侑3、解： 由余弦定理$ conB=2力+sin 2 +cos2B=

17、-r4cos$(2)宙丄，得sin几亜.44Vb=2,8y/l512 j1a +*右ac十4$2ac,得 acW 3 ,SAABC=acsinB 3 (a=c 时取等号) 返故SAABC的最大值为34.胡况m 已刼内 ft Ax R所村 h-jiiv 别为輸 b、|nJw = /2sinZ/3cos2B n tan2B 一 逅=TTTTV02Bn，二 2F亍匸锐角 B一-亠厂TT亠5TT(2)tl taa2B = -V3 n B-戒飞-当Bm时f已知b=2f由余弦定理卩得:4= a2 + c2 ac:-2ac ac =刊c(当且仅当a=c = 2时等号成立)V AABC 的面积 SAABC =

18、 r acsiiiB =ac/3ABC的面梆眾人值为也为B时*已知b=2t由余弦定理.得*4a2 Q4筋ek$2眈4小眈=(2 I诟)肚泮H,仅专込=需一芒时等号成工 A1C4(2 55)分*/ AABC 的面积 S AABC = - acsinB =23C23B f/- AABC的面枳最大值为2萌5.(2014新课标I理)已知a,b,c分别为 ABC的三个内角 代B,C的对边，a=2，且(2 b)(sin A -sin B) =(c -b)sin C，则 ABC 面积的最大值为【解析】：由心 2且(2+(sinsinj5)sin C.即W亠勿口月_口仃/*) 一 (厂一龙)打口厂由及正第定理

19、得=w+勿(“一力)一巾广:、P一朮一be、故 cos A +=丄，/. Zzl60 P :. H 4? _ = hcm 24 -拐十F-屉工金：比-屁sin M W巧，6山 .在内角的对边分别为,且=(1)求角A的大小若a=4,求_b-c的最大值答案：(1) 60(2)87. (2007全国1理)设锐角三角形 ABC的内角A, B, C的对边分别为a，b, c, a=2bsinA.(I)求 B的大小；(n)求cosA+sinC的取值范围.解析：(I)由 a 二 2bsin A，根据正弦定理得 sin A 二 2sin Bsin A ,所以 sin B = 1 ,2n由 ABC为锐角三角形得B

20、 =-6JI(n) cos A sin C = cos A sin 二-AI 6=cos A sin A161 3厂 =cos A cos A si nA = 3 si nIAji +3由 ABC为锐角三角形知,.口 JJ解得 A :32所以sin i A3 由此有232所以ji0 A ：2ji:A -jiA25 二?ji-:二.6所以，cos A si nC的取值范围为 36a/3(L中，A/J=Y，C/J=l , AC= 7 .（1）求舁対值*耳 若亠 _占.再4二问 求脚谢长，146P解：（1）在中，则余弦定理，得cosZ=/匕唱十昇少2AC-AD由题设cosZZ=Zlz4 讶2V7(2

21、)设曲Cj、则 q =乙RADSD因为 cosZ=r2LLs cosZZ=-714sinZCAD & g?zC4Q = L()所以V217sinZ4/= Ji 曲 N的6 J】_（宀、迺1414V77于是 skiff = siii(Z = sin Z/tosZ-cosZ/inZ/j1sVTi 2/7万 Vli()147147在站夂一中，由正菽定理BC ACsins sinZ討fsiiiQsinZ(Z46BC=题型之七：正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题1.如图1所示，为了测

22、河的宽度，在一岸边 选定A、B两点，望对岸标记物 C,测得/ CAB=30，/ CBA=75 , AB=120cm，求河 的宽度。A图1DB分析：求河的宽度，就是求厶 ABC在AB边上的高，而在河的一边, / CAB、/ CBA，这个三角形可确定。AC已测出 AB长、AB解析：由正弦定理得 -si nNCBA si nACB1 . 1S abc AB AC sin CAB AB CD，解得1-2 2点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于（二 .）遇险问题2某舰艇测得灯塔在它的东 15。北的方向，此舰艇以 30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30北。若此灯塔周围10海

23、里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？解析：如图舰艇在 在东15北的方向上； 达B点，测得S在东A点处观测到灯塔S 舰艇航行半小时后到 30北的方向上。在, AC=AB=120m ,CD=60m。不过河求河宽问题又东西 ABC 中，可知 AB=39X20tx(_2),2128t -60t-27=0, (4t- 3) (32t+9) =0,解得3t=49,t= 一32(舍)33 AC=28 4=21 n mile，BC=20X4=15 n mile。根据正弦定理，得s一专315 -2215-3石，又一=120, B 为锐角，3 =arcsin5爲又5运孑14i匕1414142144甲船沿南偏东 一arcsin5?的方向用3h可以追上乙船。4 144点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的/ ABC、AB边已知，另两边未知,古希腊哲学大师亚里士多德说：人有两种，一种即 吃饭是为了活着”一种是 活着是为了吃饭”一个人之所以伟大，首先是因为他有超于常人的心。志当存高远”风物长宜放眼量”这些古语皆鼓舞人们要树立雄无数个自己，万千种模样，万千愫情怀。有的和你心手相牵，有的和你对抗，有的给你雪中送炭