几何体的外接球与内切球.

1、几何体的外接球与内切球1内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、体积分割是求内切球半径的通用做法。一、外接球（一）多面体几何性质法1、 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16,则这个球的表面积是A. 16二 B.20二C.24二D. 32:小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的2、 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1 , 2, 3，则此球的表面积为 。（二）补形法1、若三棱锥的

2、三个侧面两两垂直，且侧棱长均为、3，则其外接球的表面积是 _2、设P, A, B,C是球O面上的四点，且PA, PB,PC两两互相垂直，若PA二PB二PC二a , 则球心O到截面ABC的距离是小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径设其外接球的半径为 R，则有2R二a2 b2 c2 .OA = OB 二 2OC 二 2a，则三棱锥224 二 a3、三棱锥O-ABC中，OA,OB,OC两两垂直，且O-ABC外接球的表面积为（）A. 6二a2B . 9二a2C . 12二a24、三

3、棱锥P - ABC的四个顶点均在同一球面上，其中ABC是正三角形PA _平面ABC, PA =2AB =6则该球的体积为（）A. 16 .3二B. 32.3二 C.48：D. 64 3答案及解析:10.B点评：本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键.5、如图的几何体是长方体ABCD-ARGD,的一部分，其中AB=AD=3,DD =BB =2cm则该几何体的外接球的表面积为(A 11 兀cm2(B)22rcm2 (C) 11 辰cm2 ( D) 11 辰兀 cm23n答案及解析：12.【知识点】几何体的结构.G1B解析：该几何

4、体的外接球即长方体ABCD-ABC1D1的外接球，而若长方体ABCDAB1C1D1的外接球半径为 R，则长方体ABCDAEGU的体对角线为2R,222221 1o所以(2 R) =3 3 2 =22= R，所以该几何体的外接球的表面积22二cm2，2ABCDABGD1的外接球的关系，进而故选B.【思路点拨】分析该几何体的外接球与长方体 得结论1的两个全等的等腰直6、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（傭視图C. 3 nD.12 - nA.12 nB. 4百三 n答案及解析：14.考点：由三视图求面积、体积.分析：三视图复原几何体是四棱锥

5、，扩展为正方体，它的体对角线，就是球的直径，求出半径，解出球的表面积.解答：解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S-ABCD其中SAL面ABCD面ABCD为正方形，将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线 即为外接球直径，所以 2r= .23.S 球=4 n r =4 n X =3 n .:答案：C 点评：本题考查三视图求表面积，几何体的外接球问题，是基础题.（三）寻求轴截面圆半径法1、正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为SA图3BS、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面 圆，于是该圆的半径就是

6、所求的外接球的半径本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问 题转化为平面几何问题来研究 这种等价转化的数学思想方法值得我们学习2、求棱长为a的正四面体 P -ABC的外接球的表面积3、三棱柱 ABC- A1B1C中，AA=2且AA1丄平面ABC ABC是边长为U左的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）C.A. 8 n答案及解析:7. C考点：球的体积和表面积.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积.解答：

7、解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心， 因为 ABC是边长为 的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为：1 ;因为AA=2且AA丄平面ABC所以外接球的半径为：r=小工！=血.所以外接球的体积为： V=n3=丄n X（ _：） 3=二1 .333故选：C.点评：本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题.4、已知三棱锥 A-BCD中，AB =AC =BD =CD =2 , BC =2AD，直线AD与底面BCD所成角为，则此时三棱锥外接球的体积为3A. 8 二B.、2 二C.4 2

8、 二D.8&71333答案及解析：11.D（四）球心定位法1、在矩形ABCD中,面角B - AC - D，则四面体A.125JT12B.12512512531C.D.H963ABCD的外接球的体积为AB = 4, BC =3，沿AC将矩形ABCD折成一个直2、如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为A. 8 二B. 16 二C. 32 二D. 64 二3、三棱锥P - ABC中，底面.SBC是边长为 2的正三角形, PA二2，则此三棱锥外接球的半径为（）PA丄底面ABC，且A.2 B .5C. 2 D2134、如图，在三棱锥 A- BCD中， ACD与厶BCD是全等的等腰三角

9、形，且平面ACDL平面BCD AB=2CD=4则该三棱锥的外接球的表面积为F. 考点：球的体积和表面积；球内接多面体.G. 专题：空间位置关系与距离.H. 分析：取AB, CD中点分别为E, F,连接EF, AF, BF,求出EF,判断三棱锥的外接球球心0在线段EF上，连接OA 0C求出半径，然后求解表面积.I 解答：解：取AB CD中点分别为E,F,连接EF,AF,BF,由题意知AFLBF,AF=BFEF=2,易知三棱锥的外接球球心0在线段EF上，连接 OA 0C有RAE+OE,氏=。匸+0匸,求得f-，所以其表面积为I .N 164J.故答案为：.1 .4L.点评：本小题主要考查球的内接几

10、何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运 算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题.M 28.N. 29.5、在三棱锥 A-BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点 A在底面BCD上的 射影为 BCD的中心，若E为BC的中点，且直线 AE与底面BCD所成角的正切值为O. 2J2，则三棱锥 A-BCD外接球的表面积为 .P.答案及解析：Q 29. 6：R.二、内切球问题1、一气球（近似看成球体）在不变形的前提下放在由长为 2的12根木条搭成的正方体中, 该气球球表面积最大是 .2、正三棱锥的高为1，底面边长为2、6 。求棱锥的内切球的表面积。3、三棱锥A - BCD的两条棱AB二CD = 6,其余各棱长均为5 ,求三棱锥的内切球半径4、如图，已知球0是棱长为1的正方体 ABCD- AiBiCiD的内切球，则平面ACD截球0的截 面面积为（）ABA.二 nB. IC.丄D. n6363答案及解析：4.C考点：截面及其作法 专题：空间位置关系与距离.分析：根据正方体和球的结构特征，判断出平面ACD是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积解答：解：根据题意知，平面 ACD是边长为的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形AC