一元二次方程知识点总结与易错题

1、千里之行， 始于足下一元二次方程与二次函数讲解一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式： ax2 bx c 0(a 0) ，它的特征是：等式左边十一个关于未知 数 x 的二次多项式，等式右边是零，其中 ax 2叫做二次项， a叫做二次项系数； bx叫做一次项， b叫做一次 项系数；c 叫做常数项。考点二、一元二次方程的解法1、直接开平方法 : 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适 用于解形如 (x a)2 b的一元二次方程。 根据平

2、方根的定义可知， x a是b的平方根，当b 0 时， x ab ， x a b ，当 b0时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；II 当 =0时，一元二次方程有 2 个相同的实数根；III 当0）【或向下（k0【） 或下（k0【） 或左（h0【） 或左（h0【） 或下（k0【） 或左（h0】）平移|k|个单位y=a(x-h)2+k学习是自己的事，别人替代不了2013.7.27方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ，确定其顶点坐标 h，k ；千里之行， 始于足下一元二次方程与二次函数讲解2. 平移规律在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”概括成

3、八个字“ 左加右减，上加下减 ”方法二：2 2 2 y ax bx c 沿 y 轴平移 : 向上（下）平移 m 个单位， y ax bx c 变成 y ax bx c m2或 y ax bx c m ) y ax bx c 沿 轴 平 移 ： 向 左 （ 右 ） 平 移 m 个 单 位 ， y ax bx c 变 成22y a(x m) b(x m) c (或 y a(x m) b(x m) c )22四、二次函数 y a x h k 与y ax2 bx c的比较从解析式上看，22y a x h k与 y ax2 bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即y a x b 22a

4、4ac b b 4ac b24a ，其中 h 2a ，k4a五、二次函数 y ax bx c 图象的画法22五点绘图法 ：利用配方法将二次函数 y ax bx c化为顶点式 y a（x h） k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点 0，c 、以及 0，c 关于对称轴对称的点 2h，c 、与x轴的交点 x1，0 ， x2，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点 .六、二次函数y ax2 bx c 的性质1. 当 a 0 时，

5、b x 抛物线开口向上，对称轴为2a ，顶点坐标为2 b ， 4ac b2 2a 4abx当 2a 时，bb xx y随x的增大而减小；当2a时， y随x的增大而增大；当2a 时， y 有最24ac b 小值 4a2. 当 a 0 时，xb抛物线开口向下，对称轴为 2a ，顶点坐标为 2ab 4ac b24abx 当 2a 时，2013.7.27学习是自己的事，别人替代不了千里之行， 始于足下一元二次方程与二次函数讲解2 b b 4ac b xxy随x的增大而增大；当2a时， y随x的增大而减小；当2a时， y有最大值 4a 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y ax bx c(a，

6、b，c为常数， a 0)；22. 顶点式： y a(x h)2 k(a，h，k为常数， a 0)；3. 两根式： y a(x x1)(x x2) (a 0， x1 ， x2是抛物线与 x轴两交点的横坐标) .注意： 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以2写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表 示二次函数解析式的这三种形式可以互化 .八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y ax2 bx c中， a作为二次项系数，显然 a 0 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，

7、开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； 当 a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大总结起来， a决定了抛物线开口的大小和方向， a的正负决定开口方向， a 的大小决定开口 的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b决定了抛物线的对称轴 在 a 0 的前提下，当 b 0 时，b02a，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；当 b 0时，2a即抛物线的对称轴就是 y轴；当 b 0时，2a即抛物线对称轴在 y 轴的右侧 在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b 0时，2a即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；当 b 0 时，b02a，即

8、抛物线的对称轴就是 y轴；当 b 0时，b02a，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧2013.7.27学习是自己的事，别人替代不了千里之行， 始于足下一元二次方程与二次函数讲解总结起来，在 a 确定的前提下， b决定了抛物线对称轴的位置bxab的符号的判定：对称轴2a在y轴左边则 ab 0，在y轴的右侧则 ab 0 ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项 c 当 c 0时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y轴交点的纵坐标为正； 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线

9、与 y 轴交点的纵坐标为负总结起来， c 决定了抛物线与 y轴交点的位置总之，只要 a ，b，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）： 22一元二次方程 ax2 bx c 0是二次函数 y ax bx c当函数值 y 0 时的特殊情况 . 图象与 x 轴的交点个数：AB x2 x1b2 4ac 当 b2 4ac 0时，图象与 x轴交于两点 A x1，0 ，B x2 ，0 （x1 x2），其中的 x1，x2是一元二次2方程 ax bx c 0 a 0 的两根这两点间的距离 当 0时，图象与 x 轴只有一

10、个交点； 当 0时，图象与 x轴没有交点 .a、当 a 0时，图象落在 x轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y 0；b、当 a 0时，图象落在 x轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y 02. 抛物线 y ax bx c 的图象与 y轴一定相交，交点坐标为 （0，c）；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 y ax2 bx c 中a，b，c 的符号，或由二次函数中 a，b，c 的2013.7.27符号判断图象的位置，要数形结合； 学

11、习是自己的事，别人替代不了。千里之行， 始于足下一元二次方程与二次函数讲解 二次函数的图象关于对称轴对称， 可利用这一性质， 求和已知一点对称的点坐标， 或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 .2 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 ax bx c(a 0)本身就是所含字母 x 的二次 函数；下面以 a 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：22-32013.7.270抛物线与 x 轴有两 个交点二次三项式的值可正、 可 零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与 x 轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数

12、根0抛物线与 x 轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根 .图像参考：千里之行， 始于足下一元二次方程与二次函数讲解【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号例11）二次函数 y ax bx c 的图像如图cM （b, c）1，则点a 在（A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限（2）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图 2 所示， ?则下列结论： a、b 同号； 当 x=1和 x=3时，函数值相等； 4a+b=0；当 y=-2 时，x 的值只能取 0.其中正确的个数是）点评】弄清抛物线的位置与系数 a，b，c 之间的关系，是解决问题的关键例 2.已知二

13、次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴交于点（-2 ，O）、（x1，0），且 1x12，与 y轴的 正半轴的交点在点 （O，2） 的下方下列结论： abO；4a+cO，其中正确结论的个数为 （ ）A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D 4 个 答案：D会用待定系数法求二次函数解析式 例 3. 已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2 ，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对 称轴是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为 （ ）A（2 ，-3） B.（2 ，1） C（2 ，3） D （3 ，2） 答案：C 例 4、（2006年烟台市）如图（单位： m），等腰

14、三角形 ABC以 2米/ 秒的速度沿直线 L向正方形移动，直到 AB 与 CD重合设 x 秒时，三角 形与正方形重叠部分的面积为 ym2（ 1）写出 y 与 x 的关系式；（2）当 x=2，3.5 时， y 分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半 学习是自己的事，别人替代不了。千里之行， 始于足下一元二次方程与二次函数讲解时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴例 5.已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4，10) ，交 x轴于 A(x1,0)，B(x2,0)两点(x1 x2)，交 y 轴负半轴于 C点，且满足 3AO=OB(1) 求二次

15、函数的解析式； (2) 在二次函数的图象上是否存在点 M，使锐角 MCO ACO?若存在， 请你求出 M点的横坐标的取值范围；若不存在，(1) 解：如图抛物线交 x 轴于点 A(x1，0) ， 则 x1x2=30，又 x1O，x1O，30A=OB， x2=-3x1 x1x2=-3x12=-3 x12=1.x10 ， x1=-1 x2=3点 A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得 a=2 b=3二次函数的解析式为 y-2x2-4x-6 (2) 存在点 M使 MC0ACO(2) 解：点 A关于 y 轴的对称点 A(1 ， O)，直线 A，C解析式为 y=6x-6 直线 AC 与抛物线交点为

16、 (0， 符合题意的 x 的范围为 -1x0 或 Ox5-6） ，（5 ，24） 当点 M的横坐标满足 -1xO或 Ox ACO一个交点的坐标是 (3 5,0).5 y, 令 x=3 代入解析式，得 2y 1x2 3x 2 (3, 5),所以抛物线 2 的顶点坐标为 2所以也可以填抛物线的顶点坐标为 (3, 2) 等等函数主要关注：通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征；借助多种现实背景 理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数 与相关知识的联系。学习是自己的事，别人替代不了2013.7.27千里之行， 始于足下一元二次方程与二次函数讲解一

17、元二次方程易错题一、选择题1、若关于 x 的一元二次方程 (m-1)x 2+5x+m2-3m+2=0有一个根为 0，则 m的值等于()A 1B . 2 C . 1或2 D . 02、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45 万吨提升到 50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为 x ，则可列方程为( )22A45 2x 50 B 45(1 x)2 50 C 50(1 x)2 45 D 45(1 2x) 503、已知 a，b是关于 x的一元二次方程 x2 nx 1 0的两实数根，则 b a的值是( ) ab2 2 2 2An22Bn22C n22Dn224、已知

18、a、b、c 分别是三角形的三边，则 (a + b)x2 + 2cx + (a + b)0 的根的情况是()A没有实数根B可能有且只有一个实数根C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根5、已知 m,n是方程 x2 2x 1 0的两根，且 (7m2 14m a)(3n2 6n 7) 8，则 a的值等于 ()A 5B.5 C.-9 D.96、已知方程 x2 bx a 0 有一个根是 a(a 0) ，则下列代数式的值恒为常数的是()aA abB C a b D a bb7、x2 2x 2 0的一较小根为 x1 ,下面对 x1的估计正确的是 ()A 2 x1 1 B 1 x1 0 C 0 x1 1 D

19、1 x1 28、关于 x的一元二次方程 x2 mx 2m 1 0的两个实数根分别是 x1、x2 ，且 x12 x22 7 ，则(x1 x2)2 的值是()A 1B 12 C 13D 259、中江县 2011年初中毕业生诊断考试 ) 某校九年级学生毕业时， 每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念， 全班共送了 2450张相片，如果全班有 x 名学生，根据题意， 列出方程为 ( )A. x(x 1) 2450 B. x(x 1) 2450 C. 2x(x 1) 2450 D. x(x 1) 245022210、设a，b是方程 x2 x 2009 0的两个实数根，则 a2 2a b的值为()2013.7.27学习是自己的事，别人替代不了千里之行， 始于足下一元二次方程与二次函数讲解A2006B 2007C2008D200911、对于一元二次方程