1-2-2_绝对值方程及非负性_题库教师版

1、绝对值方程及非负性中考要求内容基本要求略高要求较高要求绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题例题精讲板块一： 绝对值非负性【例1】 （4级）若，则.【解析】 ，.【巩固】 （2级）若，则.【解析】【巩固】 （6级）（第届希望杯试）已知、都是负数，并且，则【解析】 根据绝对值的非负性可知，所以【巩固】 （8级）（2008年学而思杯）已知非零实数、满足，那么 【解析】 由非负性可得到，且，得到，所以，代入可得到：所以【例2】 （6级）（人大附中常考试题）已知为实数，且满足，求的值【解析】 由题意可知：，所以可得，即，所以，所以原式的值为【例3】 （6级

2、）（2008第二届两岸四地华罗庚杯）设、同时满足；那么 【解析】 因为，而完全平方式非负，所以，且非负又因为，所以，观察可知，所以【巩固】 （2级）已知，求的具体取值【解析】 由绝对值和平方的非负性我们可以知道：【巩固】 （4级）（2003年杭州市中考题）已知，且，那么_ 【解析】 因为，我们可以知道，所以原式可以表示为： ，又因为，进而.【例4】 （8级）（第届希望杯试）若、为整数，且，求的值【解析】 法一：根据题意：，为非负整数， 分类讨论：若，则，此时原式；若，则，此时原式法二：从总体考虑，、一个为，一个为，也就是、有两个相同，另一个和他们相差故三者两两取差的绝对值应该有个和个，所以【例

3、5】 （8级）求满足的所有整数对【解析】 因为，且，均为整数所以可得或者由可得或又因为均为整数所以由得或所以综上可得：共有对，分别是：【巩固】 （8级）（03年创新杯数学竞赛）若为整数，且，则 的值是多少?【解析】 ,同理，所以一个为0，一个为1，也就是说有两个相同，另一个和他们相差1.故三者两两取差的绝对值应该有2个1和1个0，所以=2. 当然也可以分类讨论，更利于学生接受.【例6】 （6级）设、是有理数，则有最小值还是最大值？其值是多少？【解析】 根据绝对值的非负性可以知道，则，有最小值9.教师可在此多多拓展形式！【巩固】 （4级）（2009十三中学单元检测）代数式最大值为 ，取最大值时，

4、与的关系是_【解析】 ，互为相反数；【例7】 （6级）已知，求的值【解析】 由得所以【例8】 （6级）若与互为相反数，求的值【解析】 根据相反数的意义，我们可以知道：所以必然有且，解方程组可得：所以原式板块二：绝对值方程模块一、单重绝对值方程【例9】 （2级）不解方程直接判断方程；无解的有（ ）a1个 b2个 c3个 d4个【解析】 根据绝对值的非负性可知：选【例10】 （2级）解方程：【解析】 根据绝对值的意义，原方程可化为或者，解得或【例11】 （4级）（2010人大附期中练习题）解方程【解析】 原方程整理得：，即或者，所以原方程的解为或者【例12】 （4级）解方程【解析】 根据两数的绝对

5、值相等，可以判断这两个数相等或者互为相反数，所以，由原方程可以得到 或，解得【巩固】 （6级）解方程【解析】 本题应当分为三种情况来讨论：当，即时，原方程化为，解得当，即时，原方程化为，无解当，即时，原方程化为，解得【例13】 （6级）解方程【解析】 因为任何数的绝对值都不小于零，所以当两数的绝对值之和为零时，只能这两个数都等于零，这样可以得，由此解得【例14】 （6级）（人大附中第一学期期中考试）已知，且，求的值.【解析】 ，且，当，所以；当，不满足题意；当，所以；当，不满足题意【例15】 （6级）(第14届“希望杯”数字竞赛试题)方程的解是 【解析】 对的值分段讨论 若则原方程化为，解得：

6、与，矛盾； 若则原方程化为，解得：； 若则原方程化为，解得：； 若则原方程化为，解得：与矛盾；综上所述可得方程的解为【巩固】 （4级）已知，且与互为相反数，求的值【解析】 ，；， ，且与互为相反数，所以，【巩固】 （2级）若，且，那么 【解析】 根据题意可得：，那么或.【例16】 （6级）若已知与互为相反数，且，求的值.【解析】 与互为相反数，那么.， 当时，且，那么，； 当时，且，那么，； 综上可得.【巩固】 （8级）（第15届江苏省初中数学竞赛试题）如果，那么（ ）a-2 b. 2 c. d. 【解析】 讨论的符号：若则由第一个方程的代入到第二个方程=12显然是矛盾的，从而同样的方法可以讨

7、论确定的符号。能可到模块二、多重绝对值方程【例17】 （8级）(五羊杯数学竞赛)解方程：【解析】 从外到内逐渐去掉绝对值.，所以，所以有：或者，进而可得：或者，当时有，即或者；当时有，即或者【巩固】 （6级）当时，求方程的解【解析】 根据所在的范围，可得，因此，按从内到外的顺序逐个去除方程中的绝对值符号，原方程可顺次化为：，即，所以【巩固】 （6级）解方程：；【解析】 掉外层绝对值可得：，移项可得：，或(舍去)；由可得，所以原方程的解为：或【巩固】 （6级）求方程的解.【解析】 解法一：；，这个零点将数轴分成4段，我们分段讨论研究可以得到结果为：或，但其实这么做是没必要的.我们来看看法解法二：

8、 当时，方程可化为：，在范围内，是方程的解 当时，方程可化为，当时，得，不是解，舍去；当时，得，是方程的一个解综上可得，原方程的解为或【例18】 （6级）解方程：【解析】 先将内层的绝对值符号去掉，再对外层的绝对值进行研究.当时，原方程可化为：，进而可得：，在的范围内，所以是原方程的解；当时，原方程可化为：，进而可得：，不在的范围内，所以不是原方程的解；综上可得原方程的解为.【例19】 （8级）解绝对值方程：【解析】 或，即或当时（即），化为，解得当时（），若还有（即），解得当时（），若还有（即），解得再来检验这三个解（舍去）、【例20】 （8级）证明：方程只有一个解【解析】 这一命题既是要证

9、明：在数轴上，到原点和的两个对应点距离之和，与到和的两个对应点距离之和相等的点只有一个，显然，是这样一个点，如图，对任何小于的一个数，它在数轴上的对应点位于点的左侧，这时，它到原点的距离比到的对应点的距离小，即，同理可得：，所以，它不是方程的解，同样可以证明，任意大于的数也不是这个方程的解，所以，方程只有一个解模块三、含有字母参数的绝对值方程【例21】 （6级）若有三个整数解，求的值【解析】 显然，则，当时，或者，方程有四个解：；当时，方程有两个解：，；当时，或，方程有三个解：4，0，2综上所得，当时，原方程有三个整数解【例22】 （6级）已知方程有一个负根而没有正根,求的取值范围。【解析】

10、当时; ();即；当时;；(),;反过来即。【例23】 （6级）求关于的方程的解【解析】 原方程化为，需根据的取值范围进行分类讨论：当时，原方程无解当时，方程可化为，解得当时，方程化为或，解得或【例24】 （6级）已知关于的方程有一个正数解，求的取值范围【解析】 当时，方程可化为，即，根据题意，此时方程有一个正数解，故可以得到，即课后练习练习 1 （2级）已知，求、的值.【解析】 ,.练习 2 （2级）(01年全国初中竞赛题)若，则的值是多少？【解析】 ，=练习 3 （6级）（第届希望杯试）已知，都是整数，且,则 【解析】 根据绝对值的非负性我们可以得到下面两种情况：（1）若，则（注意从几何意义入手解释），（2）若，则练习 4 （4级）已知，且，则的值为多少？【解析】 ，当时，不满足；当时，满足，那么；当时，不满足；当时，满足，那么.综上可得的值为.练习 5 （6级）为有理数，求的值【解析】 要想求出的值，我们必须先化简采用分类讨论的方法 ，； 当，由原式可得，求得，在的范围