15级微积分1复习要点

1、15 级微积分 1复习要点依据微积分教学大纲和教考分离制度对微积分 1 期末考试说明如下：主观一、 试卷题型与考试知识要求试卷客观题与主观题比例大约为 30%与 70%，客观题主要考查基本概念与基本关系， 题主要考查基本运算和基本理论。对基本概念、基本关系的要求表述为理解，对基本运算、 基本理论的要求表述为会求或会证明。题型（题量）选择题（ 8）填空题（ 8）计算题（ 10）证明题（ 2）分值16分16分60分8分二、 知识点及要求 第一章 函数、极限与连续（ 26%）1、理解函数的定义域；1）函数 y 1 1 x2 的定义域是 1,0） （0,1 x2）函数 y lg（1 x） x 2 的定

2、义域是 2,1）3）函数 y lg x x 2 的定义域是 （0, ） 。x24）函数arccosx 3 2的定义域是 1,52、会求各种未定型的极限 . 例如 lim 1 cosx 、 lim(1 2x)x 、lim( 1x1 )x 0 xsinx x 0 x 0 x ex 11 cosx1)计算极限 lxim01xscinosxx2x1 cosx 2 1解： lim=lim 22 = 1x 0 xsinx x 0 x2 212)计算极限 lxim0(1 2x)x .解：1lim(1 2x)x =lxim0 (1 2x)1 2 1 2lim(1 2x)2x2x2=e3）计算极限 lxim0（

3、 1x1ex 1).解：xe 1 x x(ex 1)lim( 1 x1 ) = limx 0 x ex 1 x 04)解：5)xe 1 x =lim x01 cos2x 计算极限 lxim0 xtanx(2x)21 cos2x 2=lim 22 =2x 0 x2limx 0 xtanx计算极限 li1x)x= lxim0xxe 1 e 1 lim =2x x 0 2 2解： lim(1 x)1x = lim x0(1 x) 1x11x) x6)计算极限21)2x 1 x2 1 x 1lim(解： lixm1( 22 x 1 x 1x 1 x2 1 x 1 x 11 )=lim 2 (1 x)l

4、im 12 x lim 1x 1 x2 17)1计算极限 lxim0(1 sinx)2x解：1lim(1 sinx)2x =lim eln(1 sin x)x 0 x 0ln(1 sinx)lim= ex 0 2x = e1lim ln(1 sin x) 2x =ex 0sin xlimx 0 2x = e8)2 cot2 x计算极限 lxim0(1 3tan2 x)cot x解：1 lim(1 3tan2 x)cot x = lim(1 3tan2 x)tan2x x 0 x 0lim (1 3tan2 x)x023tan12 x 39)1计算极限 lxim0(1 3x) x .lim(1

5、3tan2 x)123tan 2 x3= e3.解： lim(1 3x) x01x =lim (1 3x) 3x= x 03x) 3x=e 310）计算极限1 lxim2( x24 x12)解： lxim2( x2 4lim x 1x 2 x 21 )=lim x2 2(x 2)x 2 x 2x2 411）计算极限lim( 1 1 ).x 1 ln x x 1解： lxim1( ln1xx 1 ln x1 x 1 ln x ).limx 1 x 1 (x 1)ln xlimx111x x1 ln xxx1limx 1 xln x x 1limx 1 ln x 212）计算极限1 cos2x l

6、im x 0 xln(1 2x)21 cos2x 2sin x 解： lim lim 1x 0 xln(1 2x) x 0 x 2x113)计算极限 lxim x(ex 1)1x1解： lxim x(ex 1) lxim x x 1xe114）计算极限 lxim0 x2 xlim 1x 0 x 1xe 1 x解： lim 2 lim 解： x 0 x2 x x 0 x(x 1)15)计算极限 lxim0 lns(1in 32xx)x 0 sin3xx 0 3xln(1 2x) 2x 解： lim lim x 0 sin3x3、理解无穷小的运算(1) 下列极限计算正确的是( D )1sin xs

7、in x1A、lim xsin 1B、lim 1C、 lim0 D、 lim xsin1x 0 xxxx 0 x xx21x sin(2)lim x = 0x 0 sin x(3)lim 1 arctanx0 .xx4、理解间断点概念与类型；(1) 设 x 2是 f(x)x2x2 4的( A ).A、可去间断点B、无穷间断点C、连续点D、跳跃间断点3xx1(2)设 f (x) x 1x1 ，则 x 1是(D)A、可去间断点B、无穷间断点C、连续点D、跳跃间断点x2sin1x0(3)函数 f (x)x，x0 是函数 f(x) 的(A).0x0A、连续点B、跳跃间断点C、可去间断点D、无穷间断点5

8、、会利用零点定理证明方程有解(1)证明方程 x3 4x2 1 0 在 (0,1) 内至少有一个实根 证明：设 F(x) x3 4x2 1F(0) 1 0， F(1)2 0F(x)在( 0， 1)内至少有一个零点即 方程 x3 4x2 1 0 在(0，1)内至少存在一个实根(2) 证明方程 x5 3x 1在( 1，2)内至少存在一个实根 . 证明： 令F(x) x5 3x 1.F(1) 3 0， F (2) 25 0F(x)在( 1， 2)内至少有一个零点即 方程 x5 3x 1在( 1， 2)内至少存在一个实根x(3) 证明方程 ex 2 x在 0和 2之间至少有一个实根证明：设 F(x) e

9、x 2 x,F(0) 1 0， F (2) e2 0F(x)在( 0， 2)内至少有一个零点方程ex 2 x在0和 2之间至少有一个实根(4) 证明方程 x2x 1至少有一个小于 1 的正根证明：设 F(x) x2x 1，x1F(0) 0 2x 110， F(1) 1 21 1 1 0F(x)在( 0， 1)内至少有一个零点即 方程 x3 4x2 1 0 在( 0，1)内至少存在一个实根 第二章 导数与微分 (26%)1、理解导数的定义；1)设 f (x0)存在，则 lixm0 f(x0x) f(x0)A、 f (x0)B 、 f (x0)f ( x0)、不存在2)若 f (x0) 存在，则

10、lixm0f (x0 2 x) f(x0)A、 2 f (x0)B 、 2f (x0)f ( 2x0)f (2x0 )3)设 f (x) 在 x x0 可导，则 f (x0)A. lhim0 f(x0 h) f (x0 h)B.lixm0f (x0 x)f (x0)A. lim f (x0) f(x0 2x) x02x2、会求函数的导数及二阶导数。B.lim f (x) f (0)x0y.1)若函数 f (x)可导，设 y f(x2) ，求解： y 2xf (x2), y 2f (x2) 4x2 f (x2).2)若函数 f(x)可导，设 y f (2x) ，求 y .解： y 2f (2x)

11、, y 4f (2x).2(3)若函数 f (x) 可导，设 y f yexy(x) ，求 y . 解： y 2f(x)f(x), y 2f (x)2 2f(x)f (x).3、会求隐函数的导数。xy(1)已知由 xy e 确定了 y f (x) ，求 y 解：方程两边对 x 求导数，得 y xy ex y(1 y ) xyeyy x yxe(2)设函数 y y(x) 由方程 y 1 xey所确定，求 y 解：方程两边对 x求导数，得 y (ey xey y )eyeyy 1 xeyy3)设函数 y y(x) 由方程 ey xy ex 0所确定，求 y .解：方程两边对 x求导数 ey y y

12、 xy ex 0xeyyey x(4) 设函数 y y( x)由方程 exy 2x yy xexy 3y2 . 所确定，求 y .解：方程两边对 x 求导数exy(y xy) 2 3y2y(5) 设函数 y y(x) 由方程y2 +sin x ex y 1 所确定，求 y .解：方程两边对 x 求导数2yy cosx ex y (1 y) 0ex y cosx y x y e 2y4、理解参数方程确定函数的导数，x sint(1) 已知 ，求 y .y costdy解：dy dt sint dt tant.dx dx costdt(2)已知 xy 2eet ，求 y . y e t解：ddyx

13、dy tdt e t 1 dx(3)2et dtx et sint 已知 ty et cost2te求y.dy t tdy dt et sint et cost dx dx et cost et sint dt5、会利用对数求导法求导 .解：sint cost cost sintx(1) 已知 y x ，求 y ；解：方程两边取对数 ln yxlnxy两边对 x 求导数 y1 ln x xxy y(1 ln x) xx(1 ln x)x2(2) 已知 y x ，解：方程两边取对数ln y x2 ln x两边对 x 求导数y 2xln x x2 1 yxy y(x 2xlnx)xx2 1(1 2

14、ln x)sin x3) 已知 y x ，求 y ；解：方程两边取对数 ln y sin xln xy1两边对 x求导数 y cosxln x sinx xyxy y(cosxln x sinx 1) xsinx(cosxlnx sinx) xx6、理解函数的微分。1)已知 y xln x, 求 dy ；解：2)已知 y x sin 2x, 求 dy ；1dy d(xln x) ln xdx x dx (1 ln x)dx.x解：3)已知 y x2 tanx, 求 dy ；2 2 2 2 2 dy d(x tanx) tanx 2xdx x sec xdx (2xtanx x sec x)dx

15、.7、理解连续、可导、可微的关系；函数 f(x)在点 x0处可微是解：1)f(x) 在点 x0 处连续的 (B ).2)函数 f(x) 在点 x0 处连续是f(x)在点 x0处可微的 (A ).3)函数 f(x)在点 x0处可微是f(x)在点 x0处可导的 (C ).4)函数 f(x)在点 x0处连续是f(x)在点 x0处可导的 ().5)函数 f(x)在点 x0处可导是 f(x)在点 x0处连续的( B).dy d(xsin2x) sin 2xdx x 2cos 2xdx (sin 2x 2xcos2x)dx.既非充分也非必要条件A、必要条件B 、充分条件 C 、充分必要条件第三章 微分中值

16、定理及导数应用 (28%) 1、理解罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的条件与结论；1)函数y 2x2 x 3在区间 1,1.5满足罗尔定理结论的2)函数y x3 x 在区间 0,1 满足罗尔定理结论的332)函数y x2 2x 3在区间 1,2满足拉格朗日中值定理结论的4)使函数 f(x) 3x2(1 x2) 适合罗尔定理条件的区间是(34A、 1,1； B、 2,2 ；C、 , ；D、 0,1 .5)对于函数 f x 1 2 ，满足罗尔定理全部条件的区间是(1 x2).(A) 2,0 ；( B) 0,1 ；( C)； 2,1(D) 2,22、会求函数的单调区间和极值。(1)求 y x3 3x2

17、 9x 5 的单调区间和极值； 教材例题 7(2) 求 y 2x3 3x2 12x 的单调区间和极值解： 定义域为 ( , ) y 6x2 6x 12 6(x 2)(x 1)令 y 0 得 x1 2,x2 1x( , 2)-2( -2,1 )1(1， )y+20-7+y极大值极小值在 ( , 2,1, ) 上单调递增，在 2,1 上单调递减 . 极大： x 2, f( 2) 20 ，极小： x 1,f (1) 7.(3)求 y x3 3x2 的单调区间和极值解： 定义域为 ( , ) y 3x2 6x 3x(x 2)令 y 0 得 x1 0,x2 2x( ,0)0(0，2)2( 2， )y+0

18、-4+y极大值极小值在( ,0,2, ) 上单调递增，在 0,2 上单调递减 .极大： x 0, f (0) 0,，极小： x 2, f(2) 4. 在 ( , 2,1, )上单调递增，在 2,1上单调递减 .极大： x 2, f( 2) 20 ，极小： x 1,f (1) 7.3、会利用单调性证明不等式及判断方程根的唯一性12(1) 当 x 0 时，证明 ln(1 x) x 1 x2 ；教材例 52(2)当 0 x 时，证明 tanx x .2证明：设 f(x) tanx x，则 f(x) 在(0, )上连续，22因为 f (x) sec2 x 1 tan2x当0 x 2,时 f (x) 0

19、 所以 f (x)单调递增 因此 f (x) f(0) 0，即 tanx x(3)当 x 1时，证明不等式： ex ex 证明：设 f (x) ex ex，则 f (x) 在1, )上连续 因为 f (x) ex e ， 当 x 1 时 f (x) 0 所以 f(x) 单调递增 因此 f (x) f(1) 0 (x 1) 即ex ex1(4)当 x 0时，证明： 1 2 x 1 x .1证明： 设 f (x) 1 2x 1 x ，则 f(x)在0, ) 上连续，因为 f (x) 1 1 1 1 x 12 2 1 x 2 1 x当 x 0时， f (x) 0 所以 f ( x)单调递增因此 f

20、(x) f (0) 05)证明不等式：当 0 x 2时，证明 tanx sinx.证明：设 f(x) tanx sinx则 f (x)在(0, ) 上连续且 f(0) 0，因为 2f (x) sec x cosx当0 x 2,时 f (x) 0 所以 f (x)单调递增因此 f (x)f(0) 0，即 tanx sin x6)证明方程 x5 x 1 0 在 1,0 之间有且仅有一个实根5证明：令 f(x) x x 1， f 1 1 0， f 0 1 0 所以 f x 0 在 1,0 上至少一个根，又 f x 5x4 1， 当 x 1,0 时 f x 0，所以 f(x) 单调递增， 因此 f x

21、 0 在 1,0 上有且仅有一个根 .(7)证明方程 x5 3x 1在 1,2 之间有且仅有一个实根证明：令 f x x5 3x 1， f 1 1 3 1 0， f 2 25 6 1 0 所以 f x 0 在 1,2 上至少一个根，又 f x 5x4 3，当 x 1,2 时 f x 0 ，所以单增，因此在 1,2 上至多有一个根 .f x 0 在 1,2 上有且仅有一个根 .(8)证明方程 x3 2x 1 0 在 1,2 之间存在唯一一个实根3 证明：令 f(x) x 2x 1， f 1 2 0 ， f 2 3 0所以 f x 0 在 1,2 上至少一个根，又 f x 3x2 2，当 x 1,

22、2 时 f x 0 ，所以单增，因此在 1,2 上至多有一个根 .f x 0 在 1,2 上有且仅有一个根 .4、会求曲线的凹凸区间与拐点，(1) 确定函数 y xex 的凹凸区间和拐点 .解：定义域为 ( , )y ex xex (1 x)ex y (2 x)ex令 y 0 得 x 2当 x 2时， y 0 在( , 2 上凸，当 x 2时， y 0 在 2, )上凹 . 2拐点： ( 2, 2 ) 。 e5、理解曲线的铅垂渐近线和水平渐近线。x1(1)求 y的水平渐近线和铅直渐近线 .x2x1解：lxim2 x 2= ， 所以 x=2是垂直渐近线又 lim x 1 =1，所以 y=1 是水

23、平渐近线x x 2 12)曲线 y的水平渐近线为 y=0, 铅直渐近线为 x 0,x= 2.x(x 2)2x 1(3)曲线 y2 的水平渐近线为 y=0, 铅直渐近线为 x 1.(x 1)设生产某产品的成本函数为 C C(Q) 0.1Q2 60Q 1000 (元)，收益函数为6、会求常见经济函数的最值和弹性；教材习题七(1)一个公司已估算出产品的成本函数为 C C(Q) 0.1Q2 0.4Q 360 (万元) 求 Q 10 时的总成本； 求 Q 10 时的平均成本、边际成本；求产量为多大时，平均成本最低？求出最低平均成本。解: Q 10 时的总成本为 C(10) 0.1 102 0.4 10

24、360 366(万元) 由于平均成本函数为 C(Q) CQ(Q) 0.1Q 0.4 3Q60 ,边际成本函数为 C(Q) 0.2Q 0.4，即得： Q 10 时的平均成本为 C(10) 0.1 10 0.4 360 36.6 (万元)10 或为，平均成本为 C(10) C(10) 366 =36.6 (万元)，10 10360Q2Q 10 时的边际成本为 M (10) C (10) 0.2 10 0.4 1.6 (万元)，由平均成本函数 C(Q) 0.1Q 0.4 360 得C(Q) 0.1Q令 C(Q) 0.1 2 0 ，得 Q 60，Q360 2由于C (60) 3603 2 Q 60 0

25、，知当产量为 60单位时，平均成本最低。Q3 Q 60最低平均成本为 C(60) 0.1 60 0.4 360 11.6 (万元)，60R R(Q) 300Q 0.3Q2 (元)。求当 Q 10 时的总利润，边际利润； 为使利润最大化，公司必须生产并销售多少件产品？并求出最大利润 解由已知得总利润函数为L L(Q) R(Q) C(Q)(300Q 0.3Q 2 ) (0.1Q2 60Q 1000)20.4Q2 240Q 1000于是，边际利润函数为 L(Q) 0.8Q 240 ，从而得当 Q 10时的总利润为 L(10) 0.4 102 240 10 1000 1360 (元) 边际利润为 L

26、(10) 0.8 10 240 232 (元) ,由总利润函数 L(Q) 0.4Q2 240Q 1000得边际利润 L(Q) 0.8Q 240 ， 可得利润函数的唯一驻点 Q 300 ， 由于 L (Q ) 0.8 0 ，可知，为使利润最大化，公司必须生产并销售 300 件产品， 最大利润为 L(300) 0.4 3002 240 300 1000 35000元。(3) 设某商品的需求函数为 Q 75 P2 。求需求弹性函数 (P) ；求 (4) ，并说明其经济意义；当 P 4 时，价格上涨 1%，总收益变化百分之几？是增加还是减少？【解】由 Q 75 P2 得需求弹性函数 (4)(P) Q

27、P (75 P2) QP75 P22P2P2 752P2P2 75P42 4242 750.54，其经济意义是，当价格为 4 时，再提高价格 1%，将使需求量下降 0.54%。当 P 4时，价格上涨 1%，总收益变化的百分比属于总收益 R对价格 P 的弹性，由于总收益 R对价格 P 的弹性函数为ERPP1PR (PQ) (Q PQ) (1 Q ) 1 (P) ， EPRPQQQER当 P 4时， P 4 1 (4) 1 0.54 0.46 ，EP可知，当 P 4 时，价格上涨 1%，总收益变化 0.46%，是增加。(5) 设某商品的需求函数为 Q 20 P ，4求需求弹性函数 (P) ； 求

28、P 5时的需求弹性函数；当 P 5时，若价格上涨 1%，其总收益变化百分之几？是增加还是减少？P解 由 Q 20 P 得需求弹性函数4P80 PPPP(P)Q Q(204)PQ420P4当 P 5时的需求弹性函数是 (5)P80 PP5580 50.07，当 P 5时，价格上涨 1%，总收益变化的百分比属于总收益 R对价格 P 的弹性，由于总收益 R对价格 P 的弹性函数为ERRPEP R(PQ)PPQ1P(Q PQ) (1 Q ) 1 (P) ，QQER当 P 5时，P 5 1 (5) 1 0.07 0.93 ，可知，当 P 5时，价格上涨 1%，总收益变化 0.93%，是增加 第四章 不定

29、积分 (10%)1、理解原函数、不定积分的概念，(1) 已知 f ( x)的一个原函数为 x2，则 f(x)dx x2 C.(2) 已知 f ( x)的一个原函数为 ex，则 f(x)dx ex C.(3) 设 f ( x)dx x2 C,则 f(x) 2x C.arctan x122 dx(arctan x) C .1 x22(5) 下列等式中正确的是( B )A、 d f(x)dx f(x)；B、d f(x)dx f(x)dx ；ddC、f(x)dx f(x)dx；D、 d f(x)dx f(x)dx Cdx dx(6) 若不定积分 f(x)dx F(x) C，则 exf(ex)dx F(

30、ex) C .3x(7) 设 x2dx f(x) C,则 f(x) 31(8) f (2x)dx f (2x) C.2、会求不定积分(直接积分法、第一类换元积分法和第二类换元积分法和分部积分法)1x 例如计算 1 dx, x dx, x cosdx 等；2x 1 x 1(1) 计算不定积分 2x1 1dx.2x 1解：11 1 12x1 1dx 12 2x1 1d(2x 1) 21ln 2x 1 C.1(2) 计算不定积分 1 13xdx11 11解： dx d(1 3x) 1ln 1 3x C1 3x3 1 3x31(3) 计算不定积分 1 dx.3 2x11 11解： 1 dx 12 3 12xd(3 2x) 21ln|3 2x| C 3 2x2 3 2x2(4) 计算不定积分 x dxx1解：令 x 1 t, x t 2 12x t2 1 2 2dxd(t2 1) 2 (t2 1)dtx 1