人教版高数选修2-2第4讲：函数的极值与导数(教师版)

1、导数与函数的极值141、结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2、理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值单谓通堵扩 0/(/) 0一、导数与函数的极值：1. 观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t) =-4.9t 2+6.5t+10的图象，回答以下冋题(1 )当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h tt=a处的导数是多少呢？(2) 在点t=a附近的图象有什么特点？(3) 点t=a附近的导数符号有什么变化规律？共同归纳：函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当toV a时，函数h t单调递增，h t 0

2、;当t a时，函数h t单调正后负，且h t连续变化,于是h/(a)=0.递减，h t V 0,即当t在a的附近从小到大经过 a时，h t先3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？二 、探索研讨1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：(1) 函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？(2) 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少？(3) 在a.b点附近，y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢2、极值的定义：我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值; 点b叫做函数y=f(x

3、)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。极大值点与极小值点称为极值点，极大值与极小值称为极值.x 1 !iiiii; 0,即x 2,或xv -2时； (2)当 f x v 0,即-2 v xv 2 时.当x变化时，f x ,f(x)的变化情况如下表x(m ,-2)-2(-2,2)2(2,+OO )f x+00+f(x)单调递增283单调递减43单调 递增28x v 0,那么f(x 0)是极大值.23 x因此，当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)=;当x=2时,f(x)有极4小值,且极小值为f(2)=-31 3函数f xx3 4x 4的图象如：3归纳：求函数y=f(x

4、)极值的方法是：1求f x ,解方程f x =0,当f x =0时: (1)如果在Xo附近的左边f x 0,右边f 如果在X0附近的左边f x V 0,右边f x 0,那么f(x 0)是极小值 练习：1 .求下列函数的极值23(1) y=x 7x+6 (2) y=x 27x(1)解：y =(x2 7x+6) =2x 7令y =0,解得x=7 2当x变化时，y, y的变化情况如下表x7 27 T7J2y一0+y25极小值仝4/当x= 时，y有极小值，且 y极小值=.24 解：y =(x3 27x) =3x2 27=3(x+3)( x 3) 令 y =0,解得 xi= 3, X2=3.当x变化时，

5、y, y的变化情况如下表x,3-3(-3,3)33,y+0一0+y/极大值54极小值-54/当x= 3时，y有极大值，且 y极大值=54.当x=3时，y有极小值，且y极小值=54+考点一求含字母参数的函数的极值考例1. (06安徽卷)设函数f x x3 bx2 cx(x R)，已知g(x) f (x) f (x)是奇函数。(I)求b、c的值。(n)求g(x)的单调区间与极值。思路分析：先求出f (x),再利用奇函数定义即可求出b,c的值，再利用导数这一工具，可求出函数的单调区间及极值解析：(I)： fxx3bx2cx， f x 3x22bx c。从而32232g(x) f (x) f (x)x

6、bx cx(3x 2bx c) = x(b 3)x (c2b)x c 是一个奇函数，所以g(0)0得c 0,由奇函数定义得b 3;(n)由(I)知 g (x) x3 6x，从而 g (x) 3x26，令 g (x) 3x26 =0，解得 x . 2，由 g (x) 3x260,解得 x 或x，g (x) 3x260,解得 2 x .2 由此可知，函数g(x)的单调递增区间是(，-.2)和0- 2,)；单调递减区间是(门，门);进而得g(x)在x 2时，取得极大值，极大值为 4、2 , g(x)在x .2时，取得极小值, 极小值为 4. 2。锦囊妙计：熟练掌握利用导数这一有效工具求函数的单调区间

7、、极值、最值，力求解答思路顺 畅，思维严谨，书写规范。32举一反三：(2005年全国高考题)设a为实数，函数f(X) X x x a.(I )求f (x)的极值.(n )当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点解：(I) f (x) =3x2 2x 11 若 f (x) =0,则 x=, x=13当x变化时，f (x) , f (x)变化情况如下表:x1、(8,)3一 13(-1 , 1)31(1 , +8 )f(x)+0一0+f (x)Z极大值极小值Z1a，极小值是f(1) a 1 272x a (x 1) (x 1) a 1 f (x)的极大值是f ()332(II)函数

8、f (x) x xf (x) 0,取足够小的负数时有f(x) 0,所以曲线 y = f (x)由此可知，取足够大的正数时，有 与x轴至少有一个交点结合f (x)的单调性可知：5当f(x)的极大值a0即a5(,)时，它的极小值也小于27(1 , +8)时，它的极大值也大于0,因此曲线y = f(X)与x轴0，因此曲线y = f (x)与x轴1 仅有一个交点，它在(一8, 1 )上。35二当a (，刁)U (1 , +8)时，曲线y = f(x)与x轴仅有一个交点。考点二求函数的最值考例2.已知a为实数，f (x) (x2 4)(x a)(1)若f ( 1)0,求f (x)在2, 2上的最大值和最

9、小值;(2)若f (x)在(一8, 2和2 , +8)上都是递增的，求a的取值范围.思路分析：(1)按照利用导数求函数的最值的步骤去求解。(2)当函数f(x)在给定的区间上递增时，则在该区间上恒有f (x) 0 ,从而得到关于a的不等式。解：(I )由原式得 f(x) x3 ax2 4x 4a,二 f (x) 3x2 2ax 4.1 2 1 2由 f ( 1) 0 得 a，此时有 f (x) (x 4)(x), f (x) 3x x 4.2 2由 f ( 1)0 得 x 或 x= 1 ,3当x在 2,2变化时，f (x), f (x)的变化如下表x(2, 1)14(弓434(护F (x)0-0

10、F(x)递增9极大值2递减极小值5027递增4509 口Q f(x)极小f( ), f(x)极大f( 1),又 f( 2) 0, f (2) 0,3 272950所以f(x)在2,2上的最大值为-,最小值为一.227 解法一 ：f (x) 3x2 2ax 4的图象为开口向上且过点(0, 4)的抛物线，由条件得f( 2) 0，f(2) 0，即 8爲8 0.一比木2.所以a的取值范围为2,2.a -/O212解法二：令f (x) 0即3x2 2ax 4 0,由求根公式得：论,2 (论 x2)3所以f (x) 3x2 2ax 4.在 ，捲和x2,上非负.由题意可知，当x2时，f (x) 0,从而 x

11、1 2, x 2 2,即 * 一12 a 6解不等式组得：一2 0 ，函数f(x)=解：(I )对函数令f (x)0,得，1上是单调函数，求 a的取值范围.(x2 2x 2ax 2a)exx2e =0从而 x +2(1 a) x 2a=0f (x)求导数得f (x) 2x +2(1 a) x 2a :1. a2 1, x2af(x)、f (x)的变化如下表1、a21X(，X1)X1(X1,X2)X2(X2,)f (X):+0一0+f(x)递增极大值递减极小值递增)上为增函数解得x1 a当x变化时， f (x)在X = X1处取得极大值，在 X=X2处取得极小值。当a 0时，X1 0时，f(x)

12、在 1,1上为单调函数的充要条件是即 a 1.a211，解得 a 34X2是f (x)在-1 ，1上为单调函数的充要条件是3即a的取值范围是,)4考点三利用导数解决函数的综合问题考例3.(06年深圳市模拟)已知函数f (x) x b的图象与函数F(x) f (x)g(x).(I)求实数b的值及函数F (x)的极值；(n)若关于x的方程F(x) k恰有三个不等的实数根， 思路分析:首先由f(x) x b是g(x) x2 3x 导数与单调性，极值的关系作出函数 y F(x)与 解：(1)依题意，令f (x) g (x),得1 2x 3,故x函数f (x)的图象与函数 g(x)的图象的切点为g(x)

13、x2 3x 2的图象相切，记k的取值范围.求实数2的切线，利用导数的几何意义求出b,再由k的图像，利用数形结合的思想求解.1.1,0).,将切点坐标代入函数f(x) x b可得或：依题意得方程f (x) g(x),x2 2x 2唯一实数解，故224(2 b) 0 ,即 b 1 F (x) (x1)(x2 3x2)x34x2 5x 25故 F (x)3x2 8x2 5 3(x 1)(x),令 F3(x)0,解得xy k的图象有三个交点时，关于x的方程F(x) k恰有三个不4等的实数根.结合图形可知：k (0,).275-1/3y=F(x)y=k O427x列表如下x(,|)53(5, 1)1(1

14、,)F (x)0-0F(x)递增4极大值一27递减极小值0递增从上表可知F(x)在x54处取得极大值，在x1处取得极小值.327(n)由(I)可知函数y F (x)大致图象如下图所示.作函数y k的图象，当y F(x)的图象与函数锦囊妙计：读题,审题，发现” f(x) x b是g(x) x2 3x 2的切线”是解题的关键，数形结合 的思想在该题中再一次得到运用本题综合了导数，单调性，极值，方程的解等知识与数形结合的思想方法综合考察了学生的计算，推理，阅读理解的数学能力 举一反三：(中山市模拟)已知函数f (x) x3 ax2 bx c的图象为曲线 E.(I )若曲线E上存在点P,使曲线E在P点

15、处的切线与x轴平行，求a, b的关系；(n )说明函数f(x)可以在x 1和x 3时取得极值，并求此时 a,b的值；(川)在满足 的条件下，f (x) 2c在x 2,6恒成立，求c的取值范围.解: (1) f (x) 3x2 2ax b ,设切点为P(x0,y0),则曲线y f (x)在点P的切线的斜率2 2k f (x) 3x02ax b,由题意知 f (x) 3x2ax b 0有解，4a213b 0 即 a2 3b.(2) 若函数f (x)可以在x 1和x 3时取得极值，则f (x) 3x2 2ax b 0有两个解x 1和x 3，且满足a2 3b.易得a 3,b9.(3) 由，得 f(x)

16、 x3 3x2 9x c.根据题意，c x3 3x2 9x( x 2,6)恒成立.函数g(x) x3 3x2 9x ( x 2,6)在x 1时有极大值5 (用求导的方法)，且在端点x 6处的值为54.函数 g(x) x3 3x2 9x ( x 2,6)的最大值为 54.所以c 54.误区警示：例设函数 f (x)1x3 2ax2 3ax 1，其中 0 a 1.3(1) 求函数f(x)的极值；(2) 若当x a 1, a 2时，恒有|f (x) a ,试确定实数a的取值范围常见错误：(1)忽略0a1导致错误；(2)解带参数的绝对值不等式出错。正解：(1) f (x) x2 4ax 3a2(x a

17、)(x 3a) 0，得 x-i a， x2 3a. a 0 , 3a a.列表如下：X(,a)a(a, 3a)3a(3a,)f (X)一0+0一f(x)极小值极大值4f (x)极小值=f (a)a3 1 ； f(x)极大值=f (3a)13(2) | f (x)2 2x 4ax 3a2 2(x 2a) a即 f (x)在a 1, a 从而：2a 1 f (x) 4a2上单调递减，即当4.x a 1, a 2时.f (a1)f (x) f (a 2)f (x) a恒成立，故2a4a1a1 函数f(x)的定义域为R，导函数(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A 无极大值点、有四个极小值点B 有

18、一个极大值点、两个极小值点C .有两个极大值点、两个极小值点D .有四个极大值点、无极小值点答案C解析设f (x)与x轴的4个交点, 当x0, f(x)为增函数，从左至右依次为X1、 X2、 X3、X4,当 X1xx2 时，f (X)0 , f(x)为减函数,则x= X1为极大值点，同理，X= x3为极大值点，X= X2, X= X4为极小值点.点评有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f(X)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f(X)的图象，应先找出f (X) 的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解

19、.2. (2014 屯溪一中期中)设 f(x) = x3 + ax2 + bx+ 1 的导数 f (x)满足 f (1)= 2a, f (2) = - b, 其中常数a、b R.(1) 求曲线y= f(x)在点(1, f(1)处的切线方程；(2) 设 g(x)= f (x)e-X，求函数 g(x)的极值.解析/ f(x)= x3 + ax2 + bx+ 1 , f (x)= 3x2 + 2ax+ b,/ f (1) = 2a, 3 + 2a+ b = 2a,/ f (2) = - b, 12+ 4a+ b=- b,- a= ， b = 3,3 f(x)= x3 x2 3x+ 1, f (x)

20、= 3x2 3x 3,5- f(1)= 2, f (1) = 3,5切线方程为y ( 2 = 3(x 1),即 6x+ 2y 1 = 0./ g(x) = (3X2 3x 3)eg (x)= (6x 3)e x+ (3x2 3x 3) ex), g (x) = 3x(x 3)ex,当 0x0，当 x3 时，g (x)0，当 x0 时，g (x)0 , g(x)在( a, 0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3,+)上单调递减，所以 g 极小(x)= g(0) = 3, g 极大(x) = g(3) = 15e 3.13. (2014山东省荷泽市期中)已知函数f(x)= ?x2+ aln

21、x.(1)若a= 1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；2若a= 1，求证：在区间1 ,+ )上，函数f(x)的图象在函数g(x) = 3X3的图象的下方.解析(1)由于函数f(x)的定义域为(0,+ a),x+ 1 x 1X1a = 1 时，f (x)= x -=x令 f (x)= 0 得 x= 1 或 x= 1(舍去)，当x (0,1)时，f (x)o，因此函数f(x)在(1 ,+a )上单调递增, 则x= 1是f(x)的极小值点，1所以f(x)在x= 1处取得极小值为f=11 2证明：设 F(x) = f(x) - g(x) = 2X2 + Inx- 3X3,(x)= x+

22、 x-2x22x+2+ 1xx-x- 1 2x2 + x+ 1x当 x1 时，F (x)0,故f(x)在区间1 , + g )上单调递减，1又 F(1) = -60,在区间1 , + g)上, F(x)0恒成立，即f(x)0，右侧f (x)0，右侧f (x)0，那么f(xo)是极大值D .如果在点xo附近的左侧f (x)0，那么f(xo)是极大值答案C解析导数为0的点不一定是极值点，例如f(x) = x3,f (x) = 3x2, f (0)= 0,但x = 0不是f(x) 的极值点，故 A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.1 12. (2013北师大附中高二期中)函数y= 4X4-x3的

23、极值点的个数为()A . 0B . 1C . 2D . 3答案B解析y = x3 x2= x2（x 1）,由 y = 0 得 xi= 0, X2= 1.当x变化时，y、y的变化情况如下表x(m, 0)0(0,1)1(1,+m)/y一0一0+y无极值极小值故选B.3 .函数y= ax3+ bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和*,则（3A . a 2b= 0B . 2a b = 0C. 2a + b= 0D. a+ 2b = 0答案D1解析y = 3ax2 + 2bx由题设0和3是方程3ax2 + 2bx= 0的两根，二a+ 2b= 0.34 .若a0, b0，且函数f（x） = 4x3

24、ax2 2bx+ 2在x= 1处有极值，则ab的最大值等于（）A . 2B . 3C . 6D . 9答案D解析f (x)= 12x2 2ax 2b = 0 的一根为 x= 1,即卩 12 2a 2b= 0.- a+ b = 6,a亠bab ( 2 )2 = 9,当且仅当a= b = 3时=号成立.5 .已知实数a、b、c、d成等比数列，且曲线y= 3x x3的极大值点坐标为（b, c）,则ad等于（）A . 2B . 1C. 1D. 2答案A解析t a、b、c、d成等比数列， ad= bc,又（b, c）为函数y= 3x x3的极大值点， c= 3b b3,且 0 = 3 3b2,b = 1

25、, 或 b = 1, ad = 2.c= 2, c= 2.x6. （2013 宁实验中学期中）函数f（x）= ex（abf(b)B . f(a)f(b)D . f(a), f(b)的大小关系不能确定答案C一 x解析f (x)=(孑)xexe1622x 1当x1时，f (x)0,. f(x)为减函数，/ abf(b).二、填空题7. (2014福建安溪一中、养正中学联考)曲线y = x(3lnx+ 1)在点(1,1)处的切线方程为 .答案4x y 3= 0解析y卜=1 = (3lnx+ 4)|x= 1 = 4,切线方程为 y 1 = 4(x 1)，即 4x y 3= 0.8. (2014河北冀州

26、中学期中)若函数f(x)= x+ asinx在R上递增，则实数a的取值范围为 .答案1,1解析f (x)= 1+ acosx，由条件知f (x) 0在R上恒成立， 1+ acosx0, a= 0时显然成立；a0时，1111.一-w cosx 恒成立，. - 1, . a 1, -0a 1; a0 时，. -cosx 恒成立，1, aaaa a一1，即一1 w a0，综上知一1 w a w 1.9 .设x= 1与x= 2是函数f(x)= alnx+ bx2 + x的两个极值点，则常数a=.2答案2a解析f (x) = x+ 2bx+ ，由题意得2a+2b+1 = 0, |+ 4b + 1 = 0

27、.三、解答题10 .已知 f(x)= ax3 + bx2 + cx(az 0)在 x= 1 时取得极值，且 f(1) = 1.(1) 试求常数a、b、c的值；(2) 试判断x= 1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由.解析(1)由 f ( 1) = f (1) = 0,得 3a+ 2b + c= 0,3a 2b + c= 0.又 f(1) = 1,. a+ b+ c = 1.a= 2，b = 0, c= 2.1 3 3(2) f(x) = x 一 x, f (x) = |x2 3= |(x 1)(x+ 1).当 x1 时，f (x)0;当一1x1 时，f (x)0,函数f(x)在(8, 1)

28、和(1 , + m )上是增函数，在(1,1)上为减函数.当x= 1时，函数取得极大值 f( 1) = 1 ；当x = 1时，函数取得极小值f(1) = 1.点评若函数f(x)在X0处取得极值，则一定有f(X0)= 0,因此我们可根据极值得到两个方程, 再由f(1) =- 1得到一个方程，解上述方程组成的方程组可求出参数.能力拓展提升11.(2014山东省德州市期中之和为()A .e2n 1 e2012 ne2n 1C.en 1 e1006 n1 e2n、选择题)已知函数 f(x) = ex(sinx cosx), x (0,2013 n 则函数 f(x)的极大值en 1 e2012 nB -

29、1 e2nen 1 e1006 nD 1 en答案B解析f (x) = 2exsinx,令 f (x)= 0得 sinx= 0,. x= kn k Z,当 2kn0, f(x)单调递增，当(2k 1) n2kn时，f (x)0, f(x)单调递减，当 x= (2k+ 1) n时，f(x)取到极大值，T x (0,2013 n) / 0(2k+ 1) n 2013卩二 0 k1006 , k Z.eH e?n 10061 e2n1 e2012 n1 e2n,故选B.二 f(x)的 极大值之和为 S = f( n 沪 f(3 n 沪 f(5 n 沪+ f(2011en+ e3n+ e5n+ + e

30、2011 n=27,0427,D. 0,42712 .已知函数f(x)= x 2p q = 0,1 p q = 0, 1 px由 f (x)= 3x2 4x+ 1 = 0 得 x= -或 x= 1, 易得当x= 3时f(x)取极大值27.当x= 1时f(x)取极小值0.13. (2014西川中学高二期中)已知f(x) = x3+ ax2 + (a+ 6)x+ 1有极大值和极小值，则a的取值范围是()A . 1a2B . 3a6C. a6 qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()B. 0, 27答案A解析f (x) = 3x2 2px q, 由 f (1) = 0,

31、 f(1) = 0 得，解得P= 2,q = 1,f(x) = x3 2x2 + x.D. a2答案C解析f (x)= 3X2+ 2ax+ a + 6, f(x)有极大值与极小值， f (x) = 0有两不等实根，= 4a2 12(a+ 6)0, a6.二、填空题14 .已知函数y= x3 + ax2 + bx+ 27在x= 1处有极大值，在x= 3处有极小值，则a =, b =.答案3 9,c2a1 + 3=石,解析3 y = 3x2 + 2ax+ b，方程y = 0有根1及3，由韦达疋理应有3 = b3a= 3,b= 9.经检验a = 3, b= 9符合题意.三、解答题15 . (2013 新课标 I