二项式定理.版块七.二项式定理的应用4其他.学生版

1、其他4 -1二项式定理二项式定理a b “ C0an Cnan 1b C：an 2b2 . C；bn n N这个公式表示的定理叫做二项式定理.二项式系数、二项式的通项C：an C；an1b C：an2b2 . C：bn叫做a b n的二项展开式，其中的系数 C： r 0,1,2,，n叫做二项 式系数，式中的C；an rb叫做二项展开式的通项， 用Tr i表示，即通项为展开式的第r 1项：了 i C；an rbr .二项式展开式的各项幕指数二项式a b n的展开式项数为n 1项，各项的幕指数状况是 各项的次数都等于二项式的幕指数n . 字母a的按降幕排列，从第一项开始，次数由 n逐项减1直到零，

2、字母b按升幕排列，从第一项起，次 数由零逐项增1直到n.几点注意 通项Tr 1 Cnan rbr是a b的展开式的第r 1叽这里r 0,1,2,., n . 二项式a b的r 1项和b a的展开式的第r 1项C；b ar是有区别的，应用二项式定理时，其中 的a和b是不能随便交换的. 注意二项式系数（c）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负. 通项公式是 a b n这个标准形式下而言的，如a b n的二项展开式的通项公式是 ！1 rC；an rbr（只须把 b看成b代入二项式定理）这与 Tr 1 C；an rbr是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的r都

3、是Cn，但项的系数一个是1 Cnr，一个是C：,可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念.设a 1,b x，则得公式:C；xCn2X 通项是 Tr 1 C：an rbr r 0, 1, 2, ., n 中含有 Tr 1, a, b, n, r 五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素. 当n不是很大，x比较小时可以用展开式的前几项求(1 x)n的近似值.2二项式系数的性质杨辉三角形：对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉 三角计算.杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1.其余各数都等于它肩上两个数字的和.”二项式系数的性质：a b

4、 n展开式的二项式系数是：C,cn,Cn ,., C；，从函数的角度看 C；可以看成是r为自变量的函数f r，其定义域是：0, 1, 2, 3,，n .当n 6时，f r的图象为下图:这样我们利用“杨辉三角”和n 6时f r的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式 cm C m得到.增减性与最大值如果二项式的幕指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幕指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大. 由于展开式各项的二项式系数顺次是C 1, C1 n, Cn“ “ 1 ,1 1 23 n n 1 n 2

5、Cn1 2 3k1 nnln 2 . n k 2 k nnln 2 . n k 2n k 1C n, C n, ,1 2 3 . k 11 2 3. k 1 kCn其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如n, n 1, n 2,.）,分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3,）.因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k依次取1, 2, 3,等值时，C；的值转化为不递增而递减了又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间.当n是偶数时，n 1是奇数，展开式共有

6、n 1项，所以展开式有中间一项， 并且这一项的二项式系数最大,n最大为cf 当n是奇数时，n 1是偶数，展开式共有 n 1项，所以有中间两项.n 1n 1这两项的二项式系数相等并且最大，最大为cp cF 二项式系数的和为2n，即C0 C； C2 . cn . C； 2n 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即2n常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题.典例分析【例1】对于二项式（n N ），四位同学作出了四种判断:【例2】存在n N对任意n 中正确的是（A.，展开式中有常数项；对任意，展开式中没有）B .x的一次项;由等式x4 ai x32a2xa3xa4n N ，展开式中没有常数项；展开式中有x的一次项上述判断存在 nD .432x 1 b x 1ba x 1bh x 1b4，定义映射 f : (a1, a2, a3,a4)(b1.b2.b3.b4)，则 f 4, 3, 2, 1 等于(A 1, 2, 3, 4B 0, 3, 4, 0 C.1, 0, 2,2D.0,3, 4,1【例3】求证：(U)2 (C1)2 L(cn)2 5 -m【例4】证明：cn mcn