辅助圆(解题精讲

1、第二十五讲辅助圆在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决.而我们需要的圆并不存在 （有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并 不是我们需要用的圆），这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出 来，添补辅助圆的常见方法1利用圆的定义添补辅助圆；2作三角形的外接圆；3 运用四点共圆的判定方法：（1）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆.（2）同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆.（3）若四边形ABCD的对角线相交于 P,且PAPC=PB PD,则它的四个顶点共圆.若四边形 ABCD的一组对边 AB、DC的延长线相交于 P,且PA PB=

2、 PC PD,则它 的四个顶点共圆.【例题求解】一利用圆的定义添加辅助圆【例1】 如图，若 PA=PB，/ APB=2 / ACB , AC与PB交于点 P,且PB=4 , PD=3，则 AD DC 等于（）A 6 B 7 C. 12 D 16思路点拨 作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件.注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法.变式练习：如图，已知 OA=OB=OC，且/ AOB= k / BOC，则/ ACB是/ BAC的（）A .倍 B .是k倍 C . 2k2作三角形的外接圆【例2】如图，在厶ABC中，AB=AC ,任

3、意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ ,求证： ABC的外心O与A, P, Q四点共圆.思路点拨 先作出 ABC的外心O,连PO、OQ，将问题转化为证明角相等.变式练习：5.如图，在等腰梯形ABCD 中,AB / CD , AB=998 ,AD上，满足条件的/A . 0B . 1BPC=90。的点P的个数为（）C . 21D.不小于3的整数（全国初中数学联赛题）三四点共圆1 若有一个四边形对角互补，则四边形的四个顶点四点共圆。【例3】如图；已知 H是厶ABC三条高的交点，连结 DF , 内心.的变式练习：如图，直线 AB和AC与O O分别相切于 B、C, P为圆上一点，P到AB、AC

4、的距离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为（全国初中数学联赛题）思路点拨 连DF , EF，寻找PD、PE、PF之间的关系，证明 PDFPFE,而发现P、D、 B、F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题的关键.注：圆具有丰富的性质：（1）圆的对称性；（2）等圆或同圆中不同名称量的转化；（3）与圆相关的角；（4）圆中比例线段.适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”A2同底同侧有相等顶角的三角形，则各顶点四点共圆（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）【例4】如图，在 ABC中，高 BE、C

5、F相交于 H，且/ BHC=135 , G ABC内的一 点，且 GB=GC，/ BGC = 3/ A，连结 HG，求证：HG 平分/ BHF .思路点拨 经计算可得/ A=45 , ABE , BFH皆为等腰直角三角形，只需证/GHB=/ GHF=22.5 .由/ BGC=3 / A=135 =Z GHC，得B、G、H、C四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点 证明.注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解.变式练习：已知等腰三角形ABC , AB=AC , AD垂直BC于D , DE垂直AC于E , F是DE中点，求证： AF垂直于BE。3把被证共圆的四点两

6、两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线 段之积相等，即可肯定这四点共圆；【例5】如图，P是O O外一点，PA和PB是O O的切线，A , B为切点，P O与AB交于点 M，过M任作O O的弦CD .求证：/ CPO= / DPO.4把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆.【例6】如图，P是O O外一点，PA切O O于A , PBC是O O的割线，AD丄PO于D .求证:PB PCPD CD思路点拨因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定明.PA2=PD PO=PB

7、 PC, B、C、0、D 共圆，这样连 此达到证明的目的.PBD与厶PCD相似证0B，就得多对相似三角形，以注：四点共圆既是一类问题， 又是平面几何中一个重要的证明方法， 它和证明三角形全等和 相似三角形有着同等重要的地位， 这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中 或转移，而且可直接运用圆的性质为解题服务.5五点共圆（7456）【例 7】如图，已知在凸四边形ABCDE 中，/ BAE=3 , BC=CD=DE，且/ BCD= /CDE= 1802 求证：/ BAC= / CAD= / DAK ,（全国初中数学联赛题）课外训练A组1.如图，正方形ABCD的中心为0,面积为1989cm

8、2, P为正方形内一点， 且/ OPB=45 ,PA: PB=5 : 14,贝U PB 的长为 .2 .如图，在 ABC 中，AB=AC=2 , BC 边上有 100个不同的点 Pi、P2，P100，记mi APi2 BPi PiC （i=1 , 2,100）,则 mi m2 m100 =.3.设 ABC三边上的高分别为 AD、BE、CF,且其垂心H不与任一顶点重合，则由点 A、B、C、D、E、F、H中某四点可以确定的圆共有（）A . 3个 B . 4个 C. 5个 D . 6个（2000年太原市竞赛题）（费3趙）6. 如图，AD、BE是锐角三角形的两条高,12A. 3B . -C.33S a

9、bc= 18 , S dec=2，则 COSC 等于(&如图，已知 ABC中，AH是高，AT是角平分线，且求证:/ AHD= / AHE ; (2)BHBDCHCETD 丄 AB , TE 丄 AC .1在凸四边形 ABCD的BC边上取两点E,F, E 比 F 离 B 更近，如果/ BAE=CDF / EAF= /FDE 证明：/ FAC= / EDB2如图在 ABC中，AB=AC , D是BC边上任意C点G是C点关于直线AD的对称点，C*与AD交与P试问当D在BC （除BC中点外）上运动时， AD AP的值有何变化？请加以 证明。3等边1ABC中，D, E分别是BC,CA边上的点，且 BD=

10、CE= ? CD.连接BE , CD交于P,证明：CP垂直AD。4如图,NS是？ O的直径，弦 AB垂直NS于M , P为弧ANB上异于N的一点，PS交AB 与R, PM的延长线交？ O与Q,求证：RSMQSC组1如图，已知点 P是O O外一点，PS、PT是O O的两条切线，过点 P作O O的割线PAB,交O O A、B两点，与ST交于点C.求证：丄 (_!)PC 2 PA PBABC的两条高，求证:(国家理科实验班招生试题)2. 已知BE,CF是锐角EF的中垂线相交于一点。3已知三角形ABC中,ABC ACB , BD,CE是角平分线，求证： CEBD4 ABC中，M为AC的中点，BH AC

11、于H , AP,CQ垂直于 B的平分线，垂足为 P,Q 求证：M,H,P,Q四点共圆。2# 1 DFfcfBlPCrEF，ZDPF + ZB=ZFPErZC HOt,/DFF=/FPE.PDF-/PBF=ZfA tPfQ 凹点其BL7 F川士 FD，PO=PBPG VB.C.O.DVS 点共曲.A CDs心巾已 穩語土器X APOWAPRD 曙器嚅 由加 豁喘w$ V ZAIBOZ-BHC-HS ZfiGC=VAl35ZA2JW=45,:、乩G+CH 四点共*.腸ZBG；m/GNBm牛竺=22.y*XZBWF-45& HG 平分HF.【単力INK)L 421 1003- D .显见井取应有卞列

12、四点共ihAFHE,BFHD疋DHE.AFDGBFEUfDFA4. D S- C轉何16萍址为直螳AB写以C?D为直径的徒豐莖秦6, B7, 井駅由 BDHF,CDHE0,4MllZfSH-/FDfl = ZFCH-ZFD/f,D；/ZFDEf (lJDE*HL!Ar A直轻的HlZAHD=ZATD*ZlHE=-ZATE!jlZATD=ZATE,Z4WD=ZAHri(2)AAWB与陀丁册松井壯乩稈AAH胁皿/出匸聽=常啊小冃弘MEC,得器=等 由于论耐谒噁乳 IS ED宓由 BC=CD=DE1ZBCD=ZCDE：=lWd-2flTZCBD=ZrDB=ZBCZ*FCQ,(|BCDiC)Ef ；*

13、 ZKT=(lfi0,-2ir)-tf=180t-3fl+ilSZBA=3a+A A/QE共囲.同理可证乩艮口E 共此裁乩乩GD*E 其圍弘 SCM,aAlPAMM=MB,XB10Pt .(1M MP=AM1. X MC MD-MA * MB-A.W1, MD JKO MO-MF.Z.O.D,PX0ASt5ia=OD. A CPODPQ,1L試。点泰佃丄AB于刚卩4里尹.由切割镇定瀬曲訂川肝虔os氏试防好于LMP丄贰 由相加彥可证:PWPD盹又P-PA* PB，MZCDOZCW=W ；.EQD四底胡0C为輕删 上止咱F阻PDPO.if PAPP PE=阻化朋訐去靑十挣参考答案例1 B 练习1

14、D例2Jipjfi進细卫准DOCF号AQAQ中狀IM.由已知阳BQ ACP=AQ. XV OABC 的外心二/OCF=/OAGT孙宴三矗於的外右心在卩丽的平労孩上*；/CAO/OM),从而000出3.| OCPOAQ,于4ZCFO-ZAQO 敲 O,A,PtQ 园虑共练习2 C例3肚卵DHKCWffid财鉅F册咋FDH叱氓IMDHMFDE平繼练习32 旅 1 DF.fBiPClEFZDPF+ZB-ZFPE+ZC-UO*JSzDPF=ZFPEPlzPDf = ZPf=ZPCE = /EFP/ADPFsFPE 禺 PF PD * P.例47 Z A= 1B0* - Z BHC-135* ZBGC=

15、3ZA= 135*tZABH = +5h 民SGH 四点ZgCGZgHB- 2 U22. 5XZBWF-451#ZGHB-yZBHF(故 HG 平ZBHR练习49.it明 取關中点乩连則有ZOZAdZ底所口 WD 皿,畴器抚fiF=般则器二器MsWEtt ZAFE = ZAVD,.4MD*四点共虬从而有ZMM = 9ff .ffi MF/瓯所以 AFlBE.例5-崖结 OAJJOA丄PAAJtfMB*AB丄OP, AOM* =4-,2 MC * M0=U4 励壬砒匸 MAMOM(MP,.；AO,D.P.Cffl 点共 ILXQCQD, : ZCPO-ZDPO.7 PAPD- fO=f- PC*

16、 曽BCthD四岂共BKA APClSiPO乩 冷岳需耳器 XX X3咖 啜=需 由的器=需例7iSBD.er*J3CCD=DFPZBCD-CDr=l801-RZCilD=ZC)B=ZDC=ZDEr=criBCDi2ACDE( : ZBC-a8CJ-2ff)-a10flF-3flhii6ZfiAE-3o,A A，BX.ME.同厘町IE丄艮0上其僵点儿EC氐课外练习A组：6.DL 42 妊第(M花出AQPEg点井II南厶4阳王/肌出1 4003. D .显见什幕应有下网四点典Jh沖FHABFHDfDHEMFDGBFEGCDFAB组：I (DD.E,H(EUAr ARfMHB*心丁创亦粉的HAAH

17、M丁隔喘冃常同理上AH饷乙妝隔欝器由于1IM7在凸四边形AACD的BC边上取関点EFE比FJ(屈臭近 tjlZ-ZCAfiZV-Z 证明;ZC = Z?B.证明 冈上4F = /Ff码故四点共圖(如图口- Sh WZ4O + ZATO* 18ff 又Z/WD-Z/J + ZMP, Z DCS ADFE - Z CPA歷/酗E = ZCD八故ZR4*/?U初F+呵知 儿乩C 期虑 j2 兆関断肛ZWWZC-ZDC = Z*1C-ZJMFZfiC.M-JI M* r? |- A uAl ru r j*T a=Z4C = ZPrtf 得 WDsWH 进丽有羽 M 器，即AOAPAB2 值人3工证明S

18、A4B61的边长为九测G) = 2s(? = 4作耐丄M俺足匚 RZOCE = 6(Pt 故_ce = CDcosSF = atE与再合AW-2BC,可知= 故 CE P四点共肚有ZMSZ仍伽9(E佩证明 如阿连结松交朋于G连结旳. CS因笹丄检有驭又NS为直径.有 四点共虬CS为苴径、CS MQ( MQ不能为直径h且百上CQM = ZCS*f.yZNQP 二Z必巴故Z CW二Z血匕Rii(3f5空4 RB対他有 CS=ftS.所以 RSMQ1 S! B T T_ = = F 1MM r ST 9T 0HT - PF-II! J*亍丽4日QEIMI猶遊,E.y.Fa產真J贏.一卜也、” HO虫惟OE丄肿 TEtll PE-色产三由切胡红定用臥PS* = M，PflTjftOSTOP.aiOP JtST 于DOPST, 由相ft弗可谨，尸冒冃円PD,R戶孑平PH,而zCDO-gCEDr駅汽 仇tE/XD阳月枉tlOC为直餐的抑 上匸PC* PEHMiJP八阳=RPE少尹 PC.叶再畚需十