拉普拉斯变换

1、第11章线性动态电路的运算分析法11-1求下列各函数的象函数(1) sin(血+0) e-2 Eos)(5) tcoscot)(7) 10(r-2)+2o(M)解根据拉普拉斯变换的性质可得(2) COS(69f+0)(4) e-2 zsm(4r)(6) re-/sin(2r)(f+4)(r)+2c(M)(1) Lsin(o)r+&)=Lsin(m)cos外cos(ef)sin甸=COS0+ sine = 5 sm&+ cos0 厂+ar厂+ar2 2s +orLcos(o/+&) = Lcos(o/)cos&-sm(0/)sinO=s cos0- cosindL 严。S )=MR4 Lt CO

2、S(69Z)J = L tLe2 血(40 =7?(5 + 2)2+42j初+ej切 y_2 12l_(5-j)2 (s + j 劲2s2-ar(2 + /)2先求出(2 + 22)24s10 9L10(r-2)+28(M)= e-5 +2e5L(r+4)s(r)+2e- z(r-4)= -4 + - + 2eA5+1)555 + 111-2用两种不同的方法求/(r)= Accost)的拉普拉斯变换。解法1：利用题11-1中第(5)小题的结论Lg(咧=总可求出LLcos/=(5+iy+ir再利用拉氏变换的导数性质可求出5/(0) G + l)2+l2=$(S + l)2_l(S + l)2+l

3、2 d解法2：将/改写为/W =L 一（re cosh = dr(Leos t)d八 d一 (te ) cosr + /L(一sinr)Ldr J(eL) coslc-( sin/e zcosr - re- fcost -r e-/smr利用题11-1第（5）、小题的结论,可求出L/ (r) = Le_ zcosr-1 e_ lcost-t e_ rsmt_5 + 1_(S + 1)2 _ 12($ +1)_ ($ +1)2 + _ (S +1/ +_ ($ + 址 + =S($ +1)21($ + l)2+l11-3计算图示函数的拉普拉斯变换。题11-3图0rllr2解由图示波形可得出f（t

4、）=-5/+10或写成/W = 5r s(r) -e(r-l) + (5f + 10) s(t-1) -s(t -2)=5t (r) -5t s(r-l)-5r s(r-1) + lOs(r-l) + St s(r-2)-10s(z-2)=St c(r) 10/ s(r-l) + lOs(r-l) + St (r-2)-10e(r-2)=St s(r) -10(r-l)s(r-1) + 5(r-2)e(r-2) 则Lf(01 = L5r e(/)-io(r-l)s(r-1) + 5(r-2)s(r -2)=2吗厂+芈亠或用定义式求出Lf(0=:f(t) esldt = J；5/e ck + j

5、 ：( 5r + 10)e5/dr2-J；5ck +J(-5/ + 10)0-_ S _ S11-4计算图示函数的拉普拉斯变换。10012-10题11-4图解先写出/(f)的时域表达式(10/(/)= I-100/1lr(r)V11-20图(a)所示电路中，已知7?1=7?2=尺3=30, Ci=C2=2F,r-=Us c3= U32 = 6V ,戶0时开关S闭合，开关动作前电路已处于稳态，求和弘。CiV-由题给条件可得出Ci由此得出图(b)所示的运算电路，应用结点法 得(a) 6(b)题11-20图-20.51s 5 + 0.25叱(O_)=3V,叱(0_)=0/II6丁+ + 2spG(s

6、)+，(s)= + 6 心+弓见(可-心)=0 uCi-yM=-5解方程得4.5s + l _ 40.55(5 + 0.25) s 5 + 0.25l5s 5G =s(s + 0.25)仏(f)=L-0G($)=(4 + O.5e3)附v “u (/) = L1 t/u (s)= (-2 + O.5eo25r) (r)V11-21图(a)所示电路中，心0_)=0,求S闭合后的uc(t). i(t)o 解 对图(b)所示的运算电路应用结点法得1 1一 + + S(0 =5(l-e-4/场)V冷)=!?/($)=(0.5_ 1.5严场)八此题为一阶电路，也可以用三要素法求出。11-22求图(a)所

7、示电路中的电流(r)和凶)121H20G+()3/2(5)口20(b)题11-22图-19-由图(b)所示的运算电路可求出325 + 5 | 201.5(s + 20)_ 10.55(5 + 30) S 5 + 3030_ 11s(s + 30)s 5 + 30z；(r) = I?人(s) = (1 + O.5e-3Oz) (r) Ai2(r)=L1z2(5)=(l-e-3O9(0 A911-23 图所示电路中，己知L = 0.2H, R 节G, C = 0.5F, mc(0_)=2V, zL(0_) = 3A, zs(r)= 10cos(5/)e(r)A,求“(r)。解对图(b)所示的运算电

8、路应用弥尔曼定理得105(0.62(/ + 7$2+25s-75)(52+25)(52+ 75 + 10)+ 1$+250.2s751I1220.2j心=呗-j5,=厂 1.313/-23.199。K2 =(sXs + j5Lj5 = 1.313/23.19970K严巩恥+习_2二百=一2414K厂久必+ 5=2u(t) = L_1(5) =2.414e + 2e_5z + 2.626cos(5/ - 23.199) s(t) V-20-11-24 一个已知电路的网络函数是输入为单位阶跃函数。 输入是 6re-2t(r)o(1)由题意，有在下面两种输入情况下，求其输出。(1)(2)解(s) =

9、 Ls(r)=-恥)=H(s)E(s)=s + 3ss +45 + 5)_ 0.6 | 0.316匸161.565。十 0.316匕 161.565。s5 + 2-js + 2 +j也)=L7?($) =0.6 + 0.632 严 cos(f +161.565 ) s(r) 由题意，有E(s)= L6/e_2/s(r)6(s + 2)26(5 + 3)(s + 2)(0(2) 因总系统的网络函数只有两个极点：pi=-l,刃7,均位于s平面的左半平面，故 系统稳定。11-29图示电路中，要求其网络函数为若选定R=1G，求厶和C。按分流、分压关系得U2(s) =S(s)S(s)_6(1)RLCs

10、+ Ls + R1sRC_ iF+s +RC LC将上式与题意要求的网络函数比较得由上式求出RCLCC = = 500LIF,L = = 333.333 H2R6C+ 6s + 2511-30图示电路中，要求其网络函数为 匕黒4($)题11-30图若选定Ri=4G, 7?2=1G，求厶和C。解按分流、分压关系得(凡+也)|47 S(s)Sb(沪乞& +(/?2 +)| 尺2 （尺2 +忆）|令S(s)(/?, +(R +以）忖依2+呦扫(?2 + sL/(J4($)RiR&L2 RRC + L /?. + Rj厂 +$+R、LC R、LC将上式与题意要求的网络函数比较得丄=5&LCRR)C +

11、 厶=6RXLC& + “ = 25R.LC由上式求出Cf = 0.25F, C = 0.2HC = 0.05F , r = lH-31己知网络函数陀）=崔牛誌，定性画出幅频特性和相频特性 不意图。解 由已知可知，H(S)有2个极点：3 + -/5n3 /5p、= 0.382 p. = 2.622个极点均为负实数，其极点分布图，如图11-31题解(a)o 其幅频特性为jC0-pjCD-P其相频特性为曲3)= aig/(jd?) = 0arg(兀y p) + arg(兀y p2)当 co=co时，弘闷=网-矗-划=说石久皿)Pg(网)卜一 + 2)定性的幅频特性和相频特性示意图，如图11-31题解(b)和(c)o11-32如图RLC并联电路，试用网络函数分析H(S) = 的频率响应特性。 厶($)解网络函数H(S) =rk+scS 1 c2RC LC1 sC(S-)(S-)s(S )(S )-27 -由上式可得，H(jco)在血=0处，有一个零点，设极点为一对共轨复数，得Pi2=RCj2c =_土购+ S2矶也称谐振角频率。上式中 = J亦-* %题解11-32 (a)图是H(S)的零点、极点图。 当 co= co时，H(j) = Hq -=Hq0() = argW (丿) = - + 2)7TTT当d?=0时，H(