对二次函数在给定区间上最值问题的探讨

1、 对二次函数在给定区间上最值问题的探讨【摘要】函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础，尤其是二次函数，更是重中之重，本文将对二次函数在给定区间上求最值的问题进行探讨，并在此基础上提出了简易的解决这一类问题的有效方法.【关键词】二次函数；区间；最值1引言函数是整个高中数学的灵魂，又是学习高等数学的基础，在高考数学试题中占有重要的地位.而函数最值是它非常重要的性质，既是教学重点，又是难点，在解题中有着广泛的运用，尤其是二次函数的最值问题.但是学生对最值问题理解得不透彻，运用也不灵活，为此，我对二次函数在给定区间上的最值问题进行了一些必要的探索，针对不同类型的题目给出

2、了简单有效地解题方法，避免了通常求最值的单调性方法，从而可有效的提高解题速度.2相关定义定义1（二次函数）一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a0）的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.定义2（二次函数在给定区间上的最值）设二次函数f(x)的定义域为i，区间di，如果存在实数m（m）同时满足如下两个条件：（1）对于任意的xd，都有f(x)m（f(x)m）；（2）存在x0d，使得f(x0)=m（f(x0)=m），那么，我们称m（m）为函数f(x)在给定区间d上的最大值（最小值）.3二次函数在给定区间上的最值问题二次函数

3、的最值是二次函数非常重要的性质，既是教学重点，又是难点.本文将对二次函数在给定区间d上的最值问题进行分析探讨，针对不同的类型的题目采用不同的方法进行求解，达到能用最节省的时间做出正确答案的目的（为方便起见，以下二次函数f(x)的定义域均为i，区间di）.二次函数在给定区间d上的最值问题，如果按照区间d来划分，一般有如下四种情况：（1）求二次函数f(x)在区间d=a,b上的最值；（2）求二次函数f(x)在区间d=(a,b)（a可取-，b可取+）上的最值；（3）求二次函数f(x)在区间d=a,b)（b可取+）上的最值；（4）求二次函数f(x)在区间d=(a,b（a可取-）上的最值.假设二次函数的二

4、次项系数a0（当a0类似），对于以上四种情况，下面分别给出求解的简便有效方法.对于第一种情况，我们采用如下方法：（1）计算二次函数f(x)所对应图像的对称轴方程：x=-b2a；（2）分别计算f-b2a,f(a)和f(b)的值；（3）比较上述（2）中三个函数值的大小关系，三个中最大值和最小值分别为该函数在该区间上的最大值和最小值，可分别记作：maxf-b2a,f(a),f(b)和minf-b2a,f(a),f(b).对于第二种情况，我们采用如下方法：（1）计算二次函数f(x)所对应图像的对称轴方程：x=-b2a；（2）若-b2ad，则函数f(x)在区间d上的最小值是f-b2a，无最大值；若-b2

5、ad，则函数f(x)在区间d上既无最小值也无最大值.对于第三种情况，我们采用如下方法：（1）计算二次函数f(x)所对应图像的对称轴方程：x=-b2a；（2）若-b2ad,计算da=a-b2a和db=b-b2a（当b=+时，记da对于第四种情况，我们采用如下方法：（1）计算二次函数f(x)所对应图像的对称轴方程：x=-b2a；（2）若-b2ad，计算da=a-b2a和db=b-b2a（当a=-时，记dadb），则函数f(x)在区间d上的最小值为f-b2a，最大值为：f(b),当dbda；无最大值,当dbb时,无最大值，最小值为f(b);当-b2aa时,无最小值,最大值为f(b).4二次函数最值问

6、题的应用举例例1已知函数f(x)=x2+2ax+2,x-5,5，当a=-1时，求函数f(x)的最大值和最小值.（2009年-山东模拟）分析此题等价于求f(x)=x2-2x+2在区间d=-5,5上的最大值和最小值，属于本文3中的第一种情况.解f(x)=x2+2ax+2,且a=-1,f(x)=x2-2x+2，f(x)所对应函数图像的对称轴为x=1，f(-5)=37,f(5)=17,f(1)=1，f(x)在区间-5,5上的最大值为maxf(-5),f(5),f(1)=37，最小值为minf(-5),f(5),f(1)=1.例2求函数f(x)=2x2-x-1在区间d=(-1,1)上的最值.分析本题属于

7、本文3中的第二种情况.解f(x)=2x2-x-1,函数f(x）所对应图像的对称轴方程为x=-b2a=-122=14，14d.f(x)在区间d=(-1,1)上的最小值为f14=-98,无最大值.例3求函数f(x)=x2-x-2在区间d=-2，1）上的最值.分析本题属于本文3中的第三种情况.解f(x)=x2-x-2,函数f(x)所对应图像的对称轴方程为x=-b2a=-121=12，12d.f(x)在区间d=-2,1)上的最小值为f12=-94.又-2-121-12.f(x)在区间d=-2，1）上的最大值为f(-2)=4.例4求函数f(x)=3x2-6x-1在区间d=(-2,3上的最值.分析本题属于

8、本文3中的第四种情况.解f(x)=3x2-6x-1,函数f(x)所对应图像的对称轴方程为x=-b2a=-623=1.1d.f(x)在区间d=(-2,3)上的最小值为f(1)=-4.又|-2-1|3-1|，f(x)在区间d=(-2,3上无最大值.5总结本文对二次函数在给定区间上的最值问题进行了探讨，针对不同的情况下的题型给出了简便有效的解决方法，此方法既不需要讨论函数在给定区间上的单调性，也不需要对二次函数进行作图，只需要判断对称轴在给点区间上的位置，然后进行必要的函数值比较.最后还给出了不同情况下的实例解析.【参考文献】1课程教材研究所编著.数学(九年级下册)m.北京：人民教育出版社，2006

9、.2课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书数学(必修1)m.北京：人民教育出版社,2007.3王江.浅谈函数性质j.数学教学，2008（4）.（上接112页）误区二利用单调性求函数的最值我们都做过这样的题目：“求函数f(x)=xx2+1的值域.”分类法当x0时，f(x)=1x+1x12；当x=0时，f(x)=0；由奇函数的性质知：f(x)-12，12.判别式法由y=xx2+1yx2-x+y=0，当y=0时，x=0，合题意；当y0时，因为xr，故方程一定有解，01-4y20-12y12，且y0，因而有f(x)-12，12.分类法有点难想，判别式法超纲，所以学生

10、用求导数法来做：f(x)=1-x2(x2+1)20-1x1,故f(x)在（-1，1）上递增，在（-，-1），（1，+）上递减，因而画出图形（图2），发现得到函数的值域为（-，+）与以上结论不一样了，问题出在哪儿呢？细想一下，不难发现，单调性只给出在区间a，b上的趋势是上升的，或下降的，但到底怎样上升怎样下降，它没有界定，比如对函数f(x)在区间（a，+）上是递增的，是如图4的样子：无限向上递增，函数值趋向于正无穷大，还是如图5的样子：无限向上递增，但函数值趋向于一个定值b呢？解决方法是无限趋向法.对本题而言，当x+时，f(x)0；当x-时，f(x)0.函数f(x)=xx2+1的图像与x轴无交点（当x0时）.故图3不对.两侧图像不穿过x轴.请自己画图再求值.图2图3图4图5同行们掌握了吗？再如：“用导数画函数f(x)=2x+1x-1的图像.”f(x)=-3(x-1)20，又因函数的定义域为x|x1,故f(x)在（-，1）上递减，在（1，+）上递减.当x1(比1略大）时，f(x)+；x+时，f(x)2；当x1(比1略小