E不等式理科2015年Word版含答案

1、E单元不等式E1不等式的概念与性质2 2X y10.H6 E1设双曲线云一p= 1(a0, b0)的右焦点为F,右顶点为 A过F作AF的垂线与双曲线交于 B, C两点，过B, C分别作AC AB的垂线，两垂线交于点 D.若D到直线BC的距离小于a+寸则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.(1 , 0) U (0 , 1)B.(汽一1) U (1 ,+s)C.(-述,0) U (0,苗D.(汽U(边，+s)b2-a由双曲线的对称性知D在X轴BC, Ha.2.2bb-0-aa-0)，由 bdlac得c X a c = 1,解得 c xo= _2 z c，由题可知 cc X0 a ca ( c

2、a)L2b4 222 b2bxo= a + Qa2+ b2 = a+c,所以一c a = b? 1? 01.因为双曲线渐近线的a (c a)YaaaK斜率为 -所以渐近线斜率的取值范围是(1 , 0) U (0 , 1).a10. A上，设C(X0,b4由题意得A(a, 0)，不妨取b422. D322解:E1、E7 在数列an中，a1= 3, a+1an+ 入 an+1+ 卩 an= 0( n N+).=0, 1 = 2，求数列an的通项公式;1 1 1=k；(k0 N, kZ)， 1,证明：2+ 冇ak0+ 10,归纳可得3= a1a2-anan+ 丄O.2、an因为 an+ 1= 1 =

3、1an+ 厂an+jkOkOan k?+ k21 11=an点+k? ka+7，所以akO+ 1 = ai+ （a2 a” + +（akO + 1 akO）=丄丄 一 一 a1kOko+ kokoa1+ 1+ koa2 +11 i.+12+丄.+.+ _kOkOakO + 1kO 3kO+ 1 3kO + 13际+1个=2 +13kO +1.另一方面，由上已证的不等式知aia2 akOakO + 12，得, , 1 1akO+ 1 = a1 kO k；+ k；1 1 1+*+ 2 + kOa1 + 1 + k0a2 + 1 + koakO + 1 2 + k。1 1 +* 2kO+ 1 + 2

4、kO+ 1 +1人1+ 2k；+1kO = 2+ 2k；+?.1综上，2 +akO+ 12+ 2kO+ 1.E2绝对值不等式的解法A2、E2、E3 设 x R,|x 2|O” 的（4.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.A 由 | x 2|1，解得 1xO,解得 x1 或 x 2.由 1x1或x 2,反之，不成立，所以“I x 2|O ”的充分不必要条件.故 选A.E3 一元二次不等式的解法7. E3不等式2x2 x4的解集为7. x| 1x2（或（一1, 2） 因为 2x2 x4= 22,所以 x2 x2,解得一1x2，故不等式的解集为（一1, 2

5、）.4. 2A2、E2、E3 设 x R,|x 2|O” 的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件出x1或x 2,反之，不成立，所以“I x 2|1” 是“4. A 由 | X 2|1，解得 1x0,解得 x1 或 x 2.由 1x0 ”的充分不必要条件.故 选A.E4简单的一元高次不等式的解法E5简单的线性规划问题6.E5若变量X，y满足约束条件4x + 5y 8, f1w x 0, tx0, y0.目标函数 z = lOOOx + 1200y.C(6,0)12 H 图当 W 12时，表示的平面区域如图，三个顶点分别为 A(0 , 0) , B(2.4

6、 , 4.8) , C(6 ,0) 5 Z将 Z = 1000X + 1200y 变形为 y=+ 00,5 Z当X = 2.4 , y = 4.8时，直线I : y=+订;二在y轴上的截距最大,6 1200最大获利 Z= Zmax= 2.4 X 1000+ 4.8 X 1200= 8160.当W= 15时，表示的平面区域如图(2)，三个顶点分别为A(0 , 0) , B(3 , 6) , C(7.5 ,0) 5 z将 z = 1000x + 1200y 变形为 y= x + 帀，当x = 3, y = 6时，直线I : y=- |x +在y轴上的截距最大,最大获利 Z= zmax= 3X 10

7、00+ 6X 1200= 10 200.当W=18时，表示的平面区域如图(3)，四个顶点分别为A(0, 0) ,B(3, 6),C(6, 4)，Q9，0) 将 z = 1000x + 1200y 变形为 y=-|x + 磊,6 12005 z当x = 6, y = 4时，直线I : y=- |x +右石在y轴上的截距最大,6 1200最大获利 Z= Zmax= 6X 1000+ 4X 1200= 10 800.故最大获利Z的分布列为Z816010 20010 800P0.30.50.2因此，E(Z) = 8160X 0.3 + 10 200 X 0.5 + 10 800 X 0.2 =9708

8、. 由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率 P= R Z10 000) = 0.5 + 0.2 = 0.7 ,由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为33P= 1-(1 - P1) = 1 -0.3 = 0.973.jx - y+ 1 0,14. E5若x, y满足约束条件彳X-2y0,则z = x+ y的最大值为x + 2y - 2 0,15. E5若x, y满足约束条件fx-yw0,则y的最大值为xlx + y4W 0,15. 3 X的几何意义为点（X, y）与坐标原点连线的斜率.X画出可行域，如图中阴影部分所示.得 C(1 , 3),由题易知可行域上的C点

9、与坐标原点连线的斜率最大，且最大值为3.2.X - yw 0,E5若X, y满足iX + yw 1,则z = x+ 2y的最大值为()x 0,A.30 B . 1 C. 2 D . 22.D 画出可行域，如图中阴影部分所示.目标函数z= X+ 2y可变为y =歹+子,当函数y = - 1x + 1z过点C（0, 1）时，z取得最大值2.$+ 2y 0,5.E5若变量X, y满足约束条件fx yw 0, 则z= 2x y的最小值等于（）x- 2y + 20,A.C.5.可行域如图所示，当直线 y= 2x z过点A（ 1, 2寸，z取得最小值，且 Zmin4.A.C.jx+ y1,E5若变量X,

10、y满足约束条件i2x y 0,*：x+y w2,若z = ax+ y的最大值为4，则a=()0.A.3 B . 2 C . - 2 D . - 36.B 可行域如图所示,当a0时，直线y= ax+z的斜率为负，目标函数在点A(1 , 1)或B(2 , 0)处取得最大一 1 一 a0,一 a 一 1,值.当在A处取得最大值时，*不等式组无解；当在B处取得最大值时，ja+ 1 = 4,2a = 4,解得a= 2.当a0时，目标函数只能在点A(1 , 1)处取得最大值4，此时a= 3(舍去).故a的值为2.10. E5某企业生产甲、乙两种产品均需用 A B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天

11、原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4x,万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A吨)3212巳吨)128A.12万元B . 16万元C. 17万元D . 18万元10. D 设该企业每天生产甲种产品x吨、乙种产品 y吨，则X, y需满足约束条件3x + 2y w 12,x + 2y 0,2. E5设变量X, y满足约束条件ix-y + 30,则目标函数 z= x + 6y的最大值为 Il2x + y 3W 0,1 1y = 6X+-Z.当直线C. 18 D . 402. C画出约束条件表示的可行域如图所示，目标函数可变形为1 1y= 6X+ gZ

12、经过点 A(0 , 3)时，z 取得最大值，Zmax= 0 + 6X 3= 18./zL8-2-1014. E5若实数x, y满足X2+ y20.由 22? 5x 8x+ 3 = 0X + y = 13一? x =二或x= 1,直线2x+ y 2 = 0把单位圆分成如图所示的两部分.5当(X, y)在阴影部分内时，2x+ y 20,则原式=2x+ y 2+ 6-x 3y= x 2y+ 4,2x y +2+ 6x 3y= 3x 3.综上，原式的最小值为3.E6基本不等式jaba +b9. B7、E6 设 f(x) = Inx, 0ab,若 p= f(7ab), q=fa+ b 1,r = -(f

13、(a) + f(b)，则下列关系式中正确的是（A. q= rp B . p= r p D . p= rq11 a+ b 9. Br = 2(f(a) + f ( b)=尹(ab) = In 0!)= p.因为 ba0,所以一吋Ob,又函数f(x)在(0 ,+s)上单调递增，所以qp= r,故选B.14. J3, E6若x2 + bf的展开式中x3项的系数为20,则a2+ b2的最小9. B12, E6 如果函数 f(x) = 2(m 2)x2 + (n 8)x + 1(m0, n0)在区间 ,递减，那么mn的最大值为()A. 16 B . 18 C . 25 D. 8129. B (1)当 m

14、 2 时，f(x) = (n 8) x + 1,则 0w n8,所以 0w mr2时，抛物线的对称轴为x=-.n 8根据题意得-2，即2m+ n12,所以mnc 18(当且仅当m 3, n=6时取等号). 当mv 2时，由题意得一 m 2，即2n+ mic 18,所以2mv n 厂8),所以 mrr (18 2n) nv (18 2X 8) x 8= 16.综上所述，mn的最大值为18.14. F4、E6在等腰梯形ABCD中，已知 AB/ DC AA 2, BC= 1,/ AB(= 60 .动点E和F分别在线段BC和DC上,且BE= A BC, DFTDC,则AE- AF啲最小值为9 A291

15、4.18 根据题意，可知 1DC= 1, AEAF= (AE+ BE ( AD DF = (AB+ 入 BC ( ADtty9 AEC =屆AD9TAB-血A葩AD1葩 张1+9A+T-存1 +彳9-存磊当且仅当入=3时，等号成立.E7不等式的证明方法22. B3、M3 E7已知数列an的各项均为正数，bn= n(1 +冷* n N+) , e为自然对数 的底数.(1)求函数f (x) = 1 + x ex的单调区间，并比较 (1 + n)与e的大小;b1 b1b2 b1b2b3bb bn计算a?猛 云，由此推测计算 An的公式，并给出证明;令Cn = (aan)-,数列an , 6的前n项和

16、分别记为 S, Tn,证明：Tn0，即 x0 时,f (X)单调递增;当 f (x)0 时,f(x)单调递减.故f(x)的单调递增区间为(S, 0)，单调递减区间为(0 ,+s).当 x0时，f(x)f(0) = 0,即 1 + xex.令 x = n 得 1 + 1e1，即 6 + n Ta2 ak0ak0 + i2，得=(k + 2)k+1bb bkbk+1 bb bk bk+1 k f 1 半 + 1a1a2akak+1a1a2akak+1=(k+1) (k +1) (1 + k+1 J所以当n= k + 1时，也成立.，可知对一切正整数 n都成立. 证明：由6的定义，算术-几何平均不等

17、式,bn的定义及得(blb2bn)n+ 1b1b1+ b2 b1+ b2+ b3卜+1X 2 + 2X 3 +3 X 4bi + b2+ bnn (n+ 1)I? 11=b1 1X?+|X3+n (n+ 1)+ b2衣 +13X4 + +n ( n+1) J卜+ br n (n+ 1)T1= C1 + C2 + C3 + Cn1 1 1 1=(a1)彳 + (a1a2 + (a1a2a3 + (a1a2 an)-123n1 1 1 )1) 1(b1b2) 2( b1b2b3)-厂 +3+f 1 、=b屮-市丿+吨市丿+0 1、b1 b2bn 1Y 1 f 1Tbnfe市卢 1+2+ n = V

18、+1 丿a1 +11+2丿a2+ C+n丿 anea1 +ea2+ ean = eS,即 Tn2 时，Ma, b) 2；当a, b满足Ma, b) 2,得!一a! 1,故 f(x)在上单调，所以 Ma, b) = max|f(1)| , |f( 1)|.I 2 I当 a2 时，由 f(1) f ( 1) = 2a4,得 maxf(1) , - f( 1) 2,即 Ma, b) 2.当 a4,得 maxf( i), f (i) 2,1 卩 Ma, b) 2.综上，当 |a| 2 时，Ma, b) 2.(2)由 Ma, b) W2 得,|1 +a+ b| = |f(1)| w2, |1 a+ b|

19、 = |f( 1)| 0,由|a| + |b| = J, ,0 ,得| a b| , ab2)，1 = i，证明：2+3k0+iak0+ i0,归纳可得3= aia2 anan+1 -0.2j2 .ank0因为 an+1=1 =1an+厂an+厂k0k02 1 ian门+门“ko ko11=an 厂+厂. ，彳 k0k0koan +11，所以ak0+ i = ai+ (a2 ai) + +(ak0 + i ak0)=1 1 1aik0 匸+ k0 ka+7+s+11 1 111 1+ + 2 + + 比0k0ak0 + 1k0 3k0 + 13k0 + 13际+1个=2 +13k0 + 1ak

20、0+ 1 = a1 k0 - 1 + kk0 k01- +1 + 丄_2 + 丄- 1 , + - 1 , + koai + 1koa2 + 1koak 0+ 1ko2ko+ 12ko + 11人+k0 = 2+ 2k0+ 11综上，2 +3ko+ 1ak0+ 10( ab)的解集为a2+ b2x a，则步的最小值是A.b/2C.D.由一元二次不等式ax2 + 2x + b0的解集为(X |xM - ,得I I aF = 4 4ab= 0 且 a0,所以ab= 1且a0.又已知ab,所以 .a b2 2 2a + b(a b)+ 2ab= (aa bb） + a2寸2,当且仅当a2+ b2a b=a务时取等号.所以 二b的最小值是1 13.设a, b是实数，则“ a1”是“ a +尹+ ”的（）A.充分