§3收敛定理的证明

1、3收敛定理的证明定理15.3 (收敛定理 Dini定理) 设以2兀为周期的函数f在区间-兀，兀上按段光滑，则在 每一点X -兀，兀,f的Fourier级数收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值，即f(X+0) + f(x-0)a。c+ 送 an cos nx +bn sin nx ，证明思路：设f(x)2其中an和bn为f的Fourier系数.+ S an cosnx +bn sin nx.对每个x壬一兀，兀,我们要证明&(X)Tf(X+0) + f(X0).即证明lim !nHP0 ,有一f f (x)dx - 兀 一兀+ Z (a； + b；) n4a事实上，令Sn（x）=巴2n+S (a

2、k coskx +bkSinkx),由 Sn (x) 一致收敛于 f (x),k 4对 VS 0N ,nN 对 V X 亡兀,有 I f(X)-Sn(x) | rf(X) Sn(X)F dx = r f2 (x)dx -兀2-兀一兀2n(ab；).7即当n N时有丄 r f 2(x)dx-名 0的任意性，有jt 2ao打f (x)dx 兰 E送（a；nA+ b2) 综上即得所证证法二由Sn（X）致收敛于f(x),二lim sup I f(X)Sn(x) |=0.2r(f(x)-Sn(x)；dx= rf2(x)dx- |ao-兀兀 712n+ Z (a； +b2)kT因此，0 兰1 r f2 (

3、x)dx -兀T2也）1兰7 ：（SUpl f（X）-Sn（X）用= 2(s up I f(x)-Sn(x)|；T 0, (n T 述).由双逼原理，即得所证等式证法三利用内积的连续性（可参阅一般泛函书 ），有1 JI；11-Jf (x)dx=- f(X), f(x)A = -=JI兀JI-、1 1二烏imSn(x)，Sn(x)xnm 兀njpCr兀 2 J Sn (x)dx =JI单即討+讣02c+ 2 (a； +bn ).nrn1 兀a cOt nParseval等式还可用公式 一f(x)g(x)dx = 0 0 + (a bn)(其中 an、兀 y2n4bn与an、Pn分别是函数f (x

4、)和g(x)的Fourier系数(参阅吉林大学邹承祖等编数学分析习题课讲义上册P427 )证明；也可用所谓卷积函数证明(参阅数学分析 教案 90 312 P335 )*)Parseval等式的意义：设在幺正系亠，攀，学，CO晋，sinnx J2兀J兀J兀V兀F函数f(x)的Fourier系数为An和Bn，可见11兀2 兀A= -= f f (x)dx ，Ao =J2兀v2兀，兀f(x)dx j 丿a：-2Anf (x), cojx X r f (x) cosnxdx =你 anFourier 系数.同理有=沢b2；其中an和bn为函数f (x)的通常于是，Parseval等式即成为ygdx葺+

5、討2+ Bn )nz12f (x)| ,就有*)这是勾股定理的推广，即在坐标系丿中的勾股定理.因此，可称Parseval等式是无穷维注意到 r f2 (x)dx = =jTc2f(x)|+2 (A： +B2 ),n =1空间中的勾股定理 .(与三维空间中的勾股定理做比较).Fourier级数是三2. Fourier级数与三角级数：Fourier级数与三角级数的区别:角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier 级数.若三角级数並2)的必要条件为：一个三角级数是 Fourier级数(即是某个可积函数的 Fourier级数比b+ Z an cos nx + bn sin nx为Fo

6、urier级数,则数项级数送收敛.nz1nz1 n(参阅复旦大学编数学分析下册处 sin nxP116117 ).比如正弦级数艺是收敛的三角n/ In n级数(利用Dirichlet判别法),由级数cz nJ n In n1处 sin nx发散，正弦级数2 不是Fourier级数.n In n例证明:当 0“近时,三角级数送岂匹在R内收敛，但其和函数f (x)在区间兀 n4 n推论1在0, T上绝对可积函数f (x)的Fourier系数上不是(R )可积的.证 由Dirichlet判别法，可得该级数在(_处，+处)内收敛.反设和函数f (x)在区间在-兀，兀上(R )可积，则该三角级数是函数f

7、 (x)的Fourier级数.由于f2(x)也在一兀，兀上(R )可积,则有Bessel不等式即有上式左端的正项级数收敛.但由0 R N(g)时成立J0叫扛(u)du s,其中 W(u) = f(x+u) +f(x-u)-25.Fourier级数收敛的Dini判别法，则f (x)的Fourier级数点点收敛，且1推论2:设f(x)在0, 2兀上除去有限点外存在有界导数I 1ao比I - (f () + f(x), x (0, 2；!)+Z (an cos nx + bn sin nx) = 2 nrn(f (+ 0) +f (2 兀-),x=0 或 2；!121特别地，x(0, 2兀)是 f

8、(x)的连续点时，？(f (x+) + f(X-) = f(X)，即ao处f(x)=+艺(an cosnx+bnSin nx)2 心2推论2的应用：例1设f (X)是以2兀为周期的函数，其在兀，兀上可表示为f(x) J 1,0-x兀，判定f (X)的 10,-兀 x0Fourier级数的收敛性.例2设f(X)是以2兀为周期的函数，其在0,2兀)上等于X,判定f(X)的Fourier级数的收敛性ax例 3； f(x) =e ,(兀 x 兀)(aH0)四Jordan判别法2的结论成立，即设f(x)在0,2兀上单调(或有界交差),则推论a。雄(an cos nx + bn sin nx)2 nT1-

9、(f(x+) + f(x),x-(0, 20(f (+0) + f(2),x=0或2兀l2补充Fourier级数的性质逐项积分定理1 定理设周期为2兀的函数f(x)局部绝对可积且在-兀，兀上f(x)a比比b才中送(an cosnX +bn sin nx)，则送收敛，且逐项积分公式成立:nAx4 f(t)dtx a0罗t0 (an cosnt+bnSinnt)dt.n42 注意：(1)以上是默认在-兀，兀上讨论的，一般的逐项积分公式为:xJ f (t)dt = cI包dt+S Ha n cos nt +bn sin nt)dt， c 2sCn经其中c, x是-兀，兀上任意两点；(2 )逐项积分定理中，并没有要求f (x)的Fourier级数是收敛的，但逐项积分后所得的级数总是收敛的；(3 )并非每个三角技术都能成为局部绝对可积函数的Fourier级数.例 s(x)=5：s5x3 逐项积分定理的应用：求f (x)在0,2兀上的Fourier展开并证