勾股定理拓展与拔高

1、知识结构勾股定理拓展与拔尖定理：a2 b2勾股定理直角三角形的性质：勾股定理应用:主要用于计算直角三角形的判别方法:若三角形的三边满足a2 b2 c2则它是一个直角三角形知识点回顾1、 勾股定理的应用：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之 一，其主要应用有：(1) 已知直角三角形的两边求第三边(2) 已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边(3) 利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、如何判定一个三角形是直角三角形(1) 先确定最大边(如c)(2) 验证c2与a2 b2是否具有相等关系(3) 若c2 = a2 b2，则 ABC是以/ C为直角的直

2、角三角形；若c2工a2 b2 则厶ABC不是直角三角形。3、勾股数： 满足a2 b2 = c2的三个正整数，称为勾股数女口( 1)3,4，5;(2) 5，12，13;(3)6，8，10;(4)8，15，17(5)7,24，25(6)9, 40, 41三.典型题剖析：针对训练、延伸训练考点一 证明三角形是直角三角形1、 在正方形 ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且 EC= 4 BC，求证：EFA=90 .针对训练：1、已知：在厶ABC中，/ A、/ B、/ C的对边分别是 a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断厶ABC的形状.考点二运用勾股定理的逆定

3、理进行计算例、如图，等腰 ABC中，底边 BC = 20, D为AB上一点，CD = 16, BD = 12 , 求厶ABC的周长。针对训练：1、已知：如图，四边形 ABCD , AD / BC, AB=4 , BC=6 , CD=5 , AD=3.求：四边形ABCD的面积考点三勾股定理的折叠问题例、如图，在矩形 ABCD中, AB=3 BC=5在CD上任取一点 E,连接BE,A BCE沿 BE折叠，使点 E恰好落在 AD 边上的点F处，贝U CE的长为针对训练：1、如图，在矩形ABCD中，BC=6 , CD=3，将ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长

4、为（）Cr1515A. 3B.4C. 5D.2例、某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD为长方形，上部是以AB为直径的半圆，其中AD = 2.3 m ,AB = 2 m，现有一辆装满货物的大卡车，高 2.5 m，宽1.6 m，试猜想这辆大卡车能否通过厂门？请说考点五勾股定理的探究和应用问题例、如图所示，有一块塑料模板 ABCD，长为10 cm,宽为4 cm,将你手中足够大的直角三角板 PHF的直 角顶点P落在AD边上（不与A、D重合）并在AD上平行移动： 能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由. 再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移

5、动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2 cm?若能，请你求出这时 AP的长；若不能，请说 明理由.针对训练：1观察下列图形，回答问题：问题（1）:若图中的 DEF为直角三角形，正方形 P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为。问题（2）:如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是；（用图中字母表示）冋题（3）:如图，如果直角二角形两直角边的长分别为3和4，以直角二角形的二边为直径作半圆,请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积.考点六 勾股定理的设计问题例、国家电力总公司为了改善农村

6、用电费用过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某村六组有四个村庄A，B，C，D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们 设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.针对训练：1如图所示，铁路上有 A、B两点（看做直线上两点）相距 40千米，C、D为两村庄（看做两个点），AD丄AB，BC垂直AB，垂足分别为A、B，AD=24千米，BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？考点七勾股定理的最短路径问题例、在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A

7、至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm （结果保留n）针对训练：1如图，是一块长、宽、高分别是4cm , 2cm和1cm的长方体木块、一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是B. 5.4cmC. 6.1cmD. 7 cmA. 5cm考点八勾股定理的勾股数问题常见的勾股数及几种通式有:(3，4，5),(6，8，10)3n,4n,5n (n是正整数)(5, 12, 13),(7，24, 25),(9 , 40, 41)(8，15, 17), (12 ，35, 37)m2 n2,2mn,m2+ n2 （m、n均

8、是正整数，mn）简单列出一些:课堂小测试（8分钟）1. 一个直角三角形，有两边长分别为6和8,下列说法中正确的是（）A.第三边一定为10 B.三角形的周长为24C.三角形的面积为24D.第三边有可能为102已知一个Rt的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7 或 253下列各组数中，以a, b, c为边的三角形不是Rt的是（）A、a=1.5, b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25 C、a=6,b=8, c=10 D、a=3,b=4,c=53三角形的三边长为（a+b） 2=c2+2ab,则这个三角形是（）A.等边三角形；B. 钝角三角形；C.直角三角形；

9、D.锐角三角形4、 一个三角形的三边的长分别是 3, 4, 5,则这个三角形最长边上的高是（）A. 4B . 10C.5D . 123255. 已知 Rt ABC中，/ C=90，若 a+b=14cm c=10cm 贝U Rt ABC的面积是（）2 2 2 2A、24cmB、36cmC、48cmD、60cm&直角三角形中，斜边长为5cm,周长为12cm,则它的面积为（）。2 2 2 2A. 12cmB. 6cmC. 8 cmD. 9cm7. 等腰三角形底边上的高为6,周长为36,则三角形的面积为（）A、56B、48C、40D、328. Rt一直角边的长为9,另两边为连续自然数，则 Rt的周长为

10、（）A、121B、120C、90D、不能确定9. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口 A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口 A出发向东南方向航行，离开港口 2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里10. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）。A、600米 B 、800米 C 、1000米 D、不能确定勾股定理独立作业（20分钟）1 下列各组数据中，可以构成直角三角形的是（A. 13、16、19B .

11、17、21、23 C . 18、24、36 D . 12、35、372.有长度为9cm数为（）12cm 15cm 36cm39cm的五根木棒，可搭成（首尾连接）直角三角形的个A. 1个3.在厶 ABC中, AB=12cm BC=16crp AC=20crp 则2C. 160 cm2A . 96cmB . 120 cm2 34.若线段a、b、c能组成直角三角形,SABC%(D.200 cm2则它们的比可以是（A . 1 : 2 : 4 B . 1 : 3 : 5 C.5 ： 12 ： 135.若直角三角形的两直角边的长分别是10cm 24cm,则斜边上的高为（17cm240C .13 cm D1

12、2013 cm6.有下面的判断:2 2厶 ABC中, a b则厶ABC不是直角三角形厶ABC是直角三角形，/2 2 2C=90，贝U a b c 02 2 2 若 ABC中, a b c ,则厶ABC是直角三角形7 . Rt ABC勺两边长分别是 积是（）3和4,若一个正方形的边长是厶ABC的第三边,则这个正方形的面A. 25 B . 7 C.12 D . 25 或 78.个三角形的三边之比是A. 20 ： 15 ： 12 B . 3 :4 : 5 C . 5 : 4 : 3D . 10 : 8 : 29 .在 ABC中，女口 AB=2BC 且/ B=2/ 人，则厶 ABC(D .不能确定A.锐角三角形 B .直角三角形C .钝角三角形10.如图是一个边长为60cm的立方体 它要爬到顶点D,需要爬行的最近距离是（ABCEFGH 只甲虫在菱 EF上且距F点10cm的P处,）11.D.不确定若厶ABC中, Z A=2/ B=3/ C,则此三角形的形状为（）A.锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角