导体棒在磁场中的运动问题

1、导体棒在磁场中的运动问题 近十年的高考物理试卷和理科综合试卷中，电磁学 的导体棒问题复现率很高，且多为分值较大的计算 题。为何导体棒问题频繁复现，原因是：导体棒问题 是高中物理电磁学中常用的最典型的模型，常涉及 力学和热学问题，可综合多个物理高考知识点，其 特点是综合性强、类型繁多、物理过程复杂，有利 于考查学生综合运用所学的知识，从多层面、多角 度、全方位分析问题和解决问题的能力 ；导体棒问题 是高考中的重点、难点、热点、焦点问题。导体棒问题在磁场中大致可分为两类：一类是通电导体棒，使之平衡或运动；其二是导体棒运动切割磁 感线生电。运动模型可分为单导体棒和双导体棒。（一）通电导体棒问题tan

2、 空 mg由安培力公式： FB由闭合电路欧姆定律Bid iR r联立并整理可得：B 嘶）喻Ed（2）借助于矢量封闭三角形来讨论，如图3-9-10所示在磁场由竖直向上逐渐变成水平的过程中，安培 力由水平向右变成竖直向上，在此过程中，由图3-9-10看出Fb先减小后增大，最终N 0, Fb mg , 因而磁感应强度B也应先减小后增大 由图3-9-10 可知，时Fb最小，其B最小，而：FbBld I当Fb方向垂直于Fbmg故：sinN的方向联立可得：mg sin通电导体棒题型， 一般为平衡型和运动型， 对于 通电导体棒平衡型，要求考生用所学的平衡条件即B imin（包含合外力为零F 0，合力矩为零M

3、 0 ）mg(R r )sinBd案】mg(R_r)tanEd-来解答，而对于通电导体棒的运动型，则要求考r)sin生用所学的牛顿运动定律、动量定理以及能量守恒定律结合在一起，加以分析、讨论，从而作出准确的解答。【例8】如图3-9-8所示，相距为d的倾角为的光滑平行导轨（电源的电动势 E和内阻r，电阻R均为己知） 处于竖直向上磁感应强度为 B 的匀强磁场中，一质量为 m的 导体棒恰能处于平衡状态，则 该磁场B的大小为_;_当B由竖直向上逐渐变成水平向左的过程中，为保持导体棒始终静止不动，则 B的大小应是 ，上述过程中，B的最小值是。【解析】此题主要用来考查考 生对物体平衡条件的理解情 况，同时

4、考查考生是否能利用 矢量封闭三角形或三角函数 求其极值的能力将图3-9-8 首先改画为从右向左看的侧 面图，如图3-9-9所示，分析图 3-9-9导体棒受力，并建立直角坐标系进行正交分解，也 可采用共点力的合成法来做根据题意F 0，即F 0, F 0，即:后增大mg（RBd点评:该题将物体的平衡条件作为重点，让考生将公式和图象有机地结合在一起，以达到简单快速解题 的目的，其方法是值得提倡和借鉴的。（二）棒生电类棒生电类型是电磁感应中最典型的模型，生电方式 分为平动切割和转动切割， 双导棒。要从静态到动态、其模型可分为单导棒和动态到终态加以分析讨论，其中分析动态是关键。下过程考虑：闭合电路中的磁

5、通量发生变化T导体对于动态分析，可从以棒产生感应电流t导体棒受安培力和其他力作用 t导体加速度变化t速度变化t感应电流变化t 周而复始地循环最后加速度减小至零t速度达到最大T导体做匀速直线运动 我们知道，电磁感应现 象的实质是不同形式能量的转化过程，因此，由功 能观点切入，分清楚电磁感应过程中能量的转化关 系，往往是我们解决电磁感应问题的关键，当然也 是我们处理这类题型的有效途径1.单导棒问题0 Fy F cos mg 0图 3-9-10图 3-9-12FxFbN sin由得L 0.20m，电阻R 1.0,有一导体棒静止地放在轨道上，与两轨道垂直，棒及轨道的电阻皆可忽略不 计，整个装置处于磁感

6、应强度B 0.50T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下.现用一外力F沿轨道方向拉棒，使之作匀加速运动，测得力F与时间t的关系如图3-9-12所示。求棒的质量m和加速度a .【解析】此题主要用来考查学生对基本公式掌握的 情况，是否能熟练将力电关系式综合在一起，再根 据图象得出其加速度 a和棒的质量m的值。从图中 找出有用的隐含条件是解答本题的关键。解法一：导棒在轨道上做匀加速直线运动，用v表示其速度,t表示时间，则有v at导体棒切割磁感线，产生感应电动势：E BLv 闭合电路中产生感应电流：I E R杆所受安培力：Fb Bid 再由牛顿第二定律得：F FB ma2 2联立式得：F ma B-

7、L atR在图线上取两点代入式，可得：2a 10m/ s , m 0.1kg.解法二：从F t图线可建立方程 F 0.1t 1， 导体棒受拉力F和安培力Fb作用，做匀加速直线运 动，其加速度恒定。其合力不随时间t变化，并考虑初始状态Fb 0 ,因而Fb的大小为F 0.1t 再由牛顿第二定律:F FB ma 联立可得：ma 1又因为：Fb BId而： I E E BLv R2 2联立式得：FB BLv R而 v at，故 fb B L at R0.1R0.1 1.02由得：a 2 22210m/sB2L2(0.50)2 (0.20)21再由与式得：m - 0.1kga【答案】m 0.1kg a

8、10m/s2点评：解法一采用了物理思维方法，即用力学的观点，再结合其F t图象将其所求答案一一解出。解法二则采用了数学思维方法，先从F t图象中建立起相应的直线方程，再根据力学等知识一一求得， 此解法不落窠臼，有一定的创新精神。此题不愧为 电磁学中的经典习题，给人太多的启发，的确是一放置在绝缘地面上的金属框架上端接有一电容量 为C的电容器，框架上有一质量为 m，长为L的金 属棒，平行于地面放置，与框架接触良好且无摩擦， 棒离地面的高度为 h，磁感应强度为B的匀强磁场 与框架平面垂直，开始时电容器不带电，将棒由静 止释放，问棒落地时的速度多大 ？落地时间多长？【解析】此题主要用来考查考生对匀变速

9、直线运动 的理解，这种将电容和导棒有机地综合在一起，使 之成为一种新的题型。从另一个侧面来寻找电流的 关系式，更有一种突破常规思维的创新，因而此题 很具有代表性.金属棒在重力作用下下落，下落的 同时产生了感应电动势。由于电容器的存在，在金 属棒上产生充电电流，金属棒将受安培力的作用， 因此，金属棒在重力和安培力 Fb的合力作用下向下 运动，由牛顿第二定律得：mg FB ma Fb BiL由于棒做加速运动，故V、a、E、Fb均为同一时刻的 瞬时值，与此对应电容器上瞬时电量为 Q CE，而E，电容器上电量的增加量为Q,显然：E BL v Q C E再根据电流和加速度的定义式iQ,att联立式得：a

10、mg 2m B2L2CE BLv，设在时间 t内，棒上电动势的变化量为由式可知，a与运动时间无关，且是一个恒量, 故金属棒做初速度为零的匀加速直线运动，其落地 速度为v ,则：v将式代入式得:落地时间t2 22h(m B L C)【答案】2ahv 2mghY mb2l2c1 at2得2mg2mghm B2L2C2h(m B2L2C) mg点评:本题应用了微元法求出Q与v的关系，又利用电流和加速度的定义式， 使电流i和加速度a有机地整合在一起来求解，给人一种耳目一新的感觉，读后使人颇受启示【例11】如图3-9-14所示，倾角为30，宽度为L 1m的足够长的U型平行 光滑金属导轨固定在磁感应强 度

11、B仃，范围充分大的匀强 磁场中，磁场方向垂直导轨平 面斜向上，现用平行导轨，功道选拔优秀人才的好题。【例10】如图3-9-13所示，两根竖直率恒为6W的牵引力F，牵引图3-9-14一根质量m 0.2kg，电阻R 1当ab棒匀速下滑时， 对ab棒有：T Fb 对cd棒有：T FB 由解得：2FBm)g再由可得：2 B L vR故v丄叫攀弊2B L解法二：采用整体法，把ab、(Mm)gcd柔软导线视为一个恒定律得：MgvE。 2E联立可得：【答案】v世2B2L点评:此题为典型的双导体棒在磁场中运动的问题。放在导轨上的导棒ab，由静止沿导轨向上移动（ab 棒始终与导轨接触良好且垂直）。当金属导棒移动

12、S 2.8m时，获得稳定速度，在此过程中金属导棒 产生的热量为Q 5.8J ,（不计导轨电阻及一切摩擦， 取 g 10m/ s2 ）。问：（1）导棒达到稳定速度是多大 ？（2）导棒从静止达到稳定速度所需时间是多少？【解析】此题主要考查考生是否能熟练运用力的平 衡条件和能量守恒定律来巧解此题。当金属导棒匀速沿斜面上升有稳定速度v时，金属体棒受力如图3-9-15所示，由力的平衡条件则有：F FB mgsin 0fb BIL 丨 RPE BLv F 厂 v由可得：P mgs inB Lv 0vR整理得：PR mgvRsi nB2L2v2 0代入有关数据得：v2 v 6 0解得：v 2m/s,v 3m

13、/s（舍去）。1（2）由能量守恒得：Pt mgsin S mv2 Q2代入数据可得：t 1.5s【答案】v 2m/s t 1.5s点评:此题较一般电磁感应类型题更能体现能量转 化和守恒过程，因此，在分析和研究电磁感应中的 导体棒问题时，从能量观点去着手求解，往往更能 触及该问题的本质，当然也是处理此类问题的关键 2.双导体棒问题在电磁感应现象中，除了单导体棒问题外，还存在 较多的双导体棒问题，这类问题的显著特征是：两导 棒在切割磁感线时，相当于电池的串联或并联，组 成闭合回路，而且，求解此类型问题的最佳途径往 往从能量守恒、动量守恒的角度出发，用发展、变 化的眼光，多角度、全方位地发散思维，寻

14、求相关 物理量和公式，挖掘隐含条件，采用“隔离法”或“整体法”（系统法）快捷作出解答。因此，双导体 棒问题更能反映考生的分析问题和解_决问题的能力，特别是方法、技巧、思 路均反映在解题中，是甄别考生层次、；拉大差距的优秀试题.n【例12】如图3-9-16所示，两金属导棒ab和cd长均为L ,电阻均为R ,质 图3_9_16 量分别为M和m, （Mm）。用两根质量和电阻 均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路，并悬挂于水平、光滑、不导电的圆棒两侧， 两金属导体棒都处于水平位置，整个装置处在一与 回路平面相垂直的匀强磁场中，磁感应强度为B ,若金属导体棒ab正好匀速向下运动，求运动的速 度

15、【解析】此题主要用来考查考生对力学中的受力分 析、力的平衡、电磁感应、欧姆定律和安培力公式 的掌握，此题也可用多种方法去解答 解法一：采用隔离法，假设磁场B的方向是垂直纸面向里，ab棒向下匀速运动的速度为 V,则ab棒 切割磁感线产生的感应电动势大小：E1 BLv，方向由a t b,cd棒以速度v向上切割磁感线运动产生感应电动 势，其大小为：E2 BLv，方向由d t c.回路中的 电流方向由a t b t d t c，大小为：| E1 E2 2BLv BLv 2R 2R Rab棒受到的安培力向上，cd棒受到安培力向下，B2 2大小均为：FB BIL vR设棒受到的导线拉力为 T,则mgmg（

16、M2 2整体，因为M m,整体动力为（M m）g , ab棒向 下，cd棒向上，整体所受安培力与整体动力相等时B2 I 2正好做匀速向下运动，则有：（M m）g 2 ,R所以得：v （m 丁严2b2L2解法三：采用能量守恒法，将整个回路视为一个整 体系统，因其速度大小不变，故动能不变。ab棒向 下，cd棒在向上运动的过程中，因 Mg mg，系统 的重力势能减少，将转化为回路的电能，由能量守mgv2RE BLv(M m) gRv一2b2L2m)gR2. 2并且两根棒都切割磁感线产生感应电动势，对整个 回路而言，相当于电池组的串联，整个回路中有电 流流过，两棒都受安培力，在末达到稳定速度前，两棒均

17、做变加速运动，当加速度减为零时，速度为 最大。从以上三种解法来看，解法三更显简便，思 维灵活【例13】如图3-9-17所示，两根足够长的固定的 平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间距为L导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路。两根导体棒的质量皆为m ,I电阻皆为R ,回路中其余部分的B电阻可不计。在整个导轨平面内盹卜都有竖直向上的匀强磁场，磁感 图3-9-17 应强度为B，这两根导体棒可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0，若两导体棒在运动中始终 不接触，求：(1) 在运动中产生的焦耳热最多是多少？3(2) 当ab棒的速度变为初速度的时，cd棒的加

18、速4度是多少？【解析】此题主要用来考查考生对双导体棒运动的 动态分析和终态推理以及两个守恒定律的熟练掌 握情况。此题是一道层次较高的典型水平面双导体 棒试题。ab棒向cd棒运动时，ab棒产生感应电动势，由于 通过导轨和cd棒组成回路，于是回路中便产生感应 电流，ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减 速运动，而cd棒则在安培力作用下作加速运动。在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路中总有感应 电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速，两棒速度 达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化， 即不产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速直线运动.(1) 从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒组成的系统

19、动量守恒，则有：mv02mv 11再根据能量守恒有：mv； (2m)v2 Q 22联立两式得：Q 1 mv24(2) 设ab棒的速度变为初速的 3时，cd棒的速度为43v，则再次由动量守恒定律可知：mv m-v mv4此时回路中的感应电动势和感应电流分别2 2【答案】(1) Q 1mv2(2) a B L %44mR点评:此题将分析双棒的初态、 过渡态、终态以及整 个过程的运动情况，各个物理量的变化情况和动量 守恒、能量守恒仍然联系在一起，确实达到了命题 人综合考查考生分析问题能力和解决问题能力的 目的。充分体现了命题专家以综合见能力的命题意 图，即“着眼综合，立足基础，突出能力”.此题的确是

20、解析,丰富、道经典考题。通过对以上例题的分类处理、 从中发现，电磁学中的导体棒问题内涵的确 灵活、新颖，涉及面广，易于拓展和延伸，的确不愧为电磁学中的精华部 分。【活学巧练】1.两根相距为L的足够长的金 属直角导轨如图 3-9-18 所示 放置，它们各有一边在同一水 平面内，另一边垂直于水平面，严 1图 3-9-18质量均为m的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形 成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为，导轨电阻不计，回路总电阻为2R，整个装置处于磁感应强度大小为B.方向竖直向上的匀强磁场中，当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下以速度v1沿导轨匀速运动时，cd杆也正好以速度 V2向下匀速运动

21、.重力加速度为 g,以下说法正确的是()2 2Z杆所受拉力F的大小为mg 2rB. cd杆所受摩擦力为零C. 回路中的电流为BL(v1 v2)2R2RmgB2L2mD.与v大小的关系为3是:E BL (巳 v0v)4此时cd棒所受安培力2RFbBILcd棒的加速度：a联立得：a甩mB L Vo4mR2.如图3-9-19所示，矩形裸导线框长边的长度为 2l ,短边的长度为丨，在两个短 边上均接有电阻R,其余部分电 阻不计，导线框一长边与x轴重 合，左边的坐标 x 0，线框内 有一垂直于线框平面的磁场，磁 场的磁感应强度满足关系XB B0 sin()，一光滑导体棒 AB与短边平行且与 2l长边接触

22、良好，电阻也是R .开始时导体棒处于x 0处，从t 0时刻起，导体棒 AB在沿X方向的 F作用下做速度为v的匀速运动，求:导体棒AB从 x 0运动到x 2l的过程中F随时间t变化的规 律.V-s21 r图 3-9-19有两条平行导电导轨 MN、PQ，导轨间距离为I , 匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为B,两根金属杆1、2摆在导轨上， 与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为mn m2和由得:mgBU2RR、尺，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦 因数均为 ，己知杆1被外力拖动，以恒定的速度V。 沿导轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿 导轨运动，导轨的电阻可忽略，

23、求此时杆2克服摩擦力做功的功率4. 一个边长为L、质量为m、电阻 f为r的金属丝方框，竖直放置，以初速度v0水平抛出，框在重力场中“X “匕:运动，并且总是位于垂直于框面（即水平方向的磁场中，如图 3-9-21所示，己知磁感应强度的大小随方框图3-9-21下降高度y的变化规律是B Bo ky，式中k为恒定回路中的电流cd杆匀速运动Fb由得:BLv.2Rf2 mgB L v2R2Rmg，所以，A2、2B L wD正确系数，同一水平面上磁感应强度相同，设重力加速 度为g .（1）试分析方框水平方向和竖直方向的运动情况（2）试确定方框的最终运动状态 . 5.如图3-9-22所示，竖直平面内 有一半径

24、为r、内阻为R、粗细均 匀的光滑半圆形金属球，在M、N 处与相距为2r、电阻不计的平行 光滑金属轨道ME、NF相接，EF 之间接有电阻尺，已知R 12R， R24R,在MN上方及 CD下方有水平方向的匀强磁场I和II，磁感 应强度大小均为 B。现有质量为棒虽做匀速运动，其电动势仍是变化的，t时刻AB棒的坐标为X vt感应电动势：EBIvXBoIvsinq )回路总电阻为R 总R1R 1.5R2回路感应电流:IER总【答案】A D2【解析】由于磁感应强度随空间坐标变化，导体棒做匀速运动，F F安BII 2B；I2vsi n2（_联立解得：f213R2 22 X2 Bo I vsin ()【答案】

25、f 2I3R2I(0 t 一)v2I(0 t )vIFR2图 3-9-22m、电阻不计的导体棒 ab，从半圆环的最高点 A处 由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平， 与半圆形金属环及轨道接触良好，平行轨道足够长。已知导体棒ab下落r/2时的速度大小为v，下 落到MN处的速度大小为v2。（1）求导体棒ab从A下落r/2时的加速度大小。（2）若导体棒ab进入磁场II后棒中电流大小始终3.【解析】设杆2的运动速度为v ,由于两杆运动 时，两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变 化，产生感应电动势E Bl（v。v） 感应电流ER1 R2杆2做匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力，即BIIm

26、2g故导体杆2克服摩擦力做功的功率pm2gv ,不变，求磁场I和II之间的距离h和&上的电功率解得：Pm2gvom2g岸(R Ra)B IF2.（3）若将磁场II的CD边界略微下移，导体棒ab刚 进入磁场II时速度大小为 v，要使其在外力F作用 下做匀加速直线运动，加速度大小为 a，求所加外 力F随时间变化的关系式。【参考答案】1.【解析】cd杆的速度方向与磁场方向平行， 只有 ab杆运动时使回路内的磁通量发生变化， 根据法拉 第电磁感应定律。回路中的电动势：E BLv, 根据闭合电路的欧姆定律：I 2Rab杆所受安培力：Fb BIL ab杆匀速运动有：F Fb t 【答案】m2gPm2g% 亩厂(R RJB I达到稳定状态，此时有：B2ILBJLmg回路中的电动势为：EB2LvB丄v回路电流为：1-R由已知条件得：B2 B1ky2 ky1kL4.【解析】（1）方框水平方向的合力为零，做初速 度为vo的匀速直线运动； 竖直方向受重力和安培力 作用，由于安培力是逐渐增大，故竖直方向