2019年高考数学压轴题专题11隐圆问题(解析版

1、专题11隐圆问题直线与圆是高中数学的 C级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现.但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题t典例剖析J类型一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆典例1 如果圆（x -2a）2 +（y-a -3）2 =4上总存在两个点到原点的距离为 1,则实数a的取值范围是【解析】到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交求解2 -1 ：二.（0 -2a）2 （0 -a -3）2 3,2整理得（

2、a+1 ） 1,解得a 0.实数a的取值范围为（Q,2A（0,）.PA一类型二 两定点A B,动点P满足 一 =K（九0,九#1）确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） PB典例3 一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30。方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击.已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍.假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行.（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参3 -考数据：sin17 之 ,V33 5,7446 ）6（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总

3、能在领海内成功拦截？并说明理由.【答案】（1）略（2）能【解析】：(1)略以A为原点，正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系 xOy .则B(2, 2J3),设缉私艇在P(x,PAy)处(缉私艇恰好截住走私船的位置)与走私船相遇，则 PA=3PB日口xx +y299 f (9 厂)2 9即 j一 =3, . x 十,y-j3 =一,(x-2)2 (y-2.3)2.4.44因为圆心,9,2 J3 1到领海边界线l： x =3.8的距离为1.55,大于圆半径 34 42所以缉私艇能在领海内截住走私船.藉选名校模拟1.已知 MBC中， AB = AC = J3, MBC所在平面内存在点 P使得P

4、B2 + PC2 = 3PA2 = 3 ,则ABC面积的最大值为.【答案】殳卫16【解析】设|BC =2a,以BC所在直线为x轴、其中垂线 OA所在直线为y轴建立直角坐标系(如图 所示),则 B -a,0 ,C a,0 ,A 0, .,3-a2设 P( ,x ) y,由 PB2+PC 23PA =3(x y2 (x y2 =3( v2、，即y2 -23-a2y 3-a2 =1X X27 -2a2 =2.3-a2y则2,3-a2 -1 y ,3-a2 1则 2 3a2 -2 .3-a2 2.,3-a2y 2 3-a22,3 -a2即 2 3-a2 -23 -a2 -7 -2a2 1 ,若圆C上存

5、在两个不同的点 P,Q ,使得/APB =/AQB =90。则实数a的取值范围为【答案】1 、, 7三a三1 -、, 17【解析】原问题等价于以A,B为圆心的圆与圆C有两个交点,AB中点坐标为（0,0 ）,以A,B为圆心的圆的半径R = Ja2 +（a-2）2 ,且圆C的圆心为（1,2捉）,半径为R2 =1 ,两圆的圆心距为：d = J1+24=5 , 结合a A1可得关于实数a的不等式组:Ja2 +(a-2 j -1 5Ja2 +(a-2 j +1 25求解关于实数a的不等式组可得实数a的取值范围为1 + %aw1+E.x-3 y -4=r4 .在平面直角坐标系 xOy中，已知点A ( _1

6、 , 0), B (1, 0)均在圆C :外，且圆C上存在唯一一点 P满足AP _L BP ,则半径r的值为【解析】根据题意，点A(- 1,0),B(1,0),若点P满足AP _L BP , 则点P在以AB为直径的圆上, 设AB的中点为M,则M的坐标为(0,0) , |AB|=2 ,则圆M的方程为x2 +y2 =1 ,若圆C上存在唯一一点 P满足AP _LBP ,则圆C与圆M只有一个交点，即两圆外切,次?PB=九的点p有两个，则实数则有 r+1=|MC|= J32 +42 =5,解可得 r=4.5 .已知等边AABC的边长为2,点P在线段AC上，若满足等式 九的取值范围是【解析】以AB中点为坐

7、标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(-1,0 jB(1Q)C(0,V3),P(x,y ), AC y = T3x + 岛-1 M x M 0 )点?由=九得x2 一1 +y2、21,九 0),点N为圆M上任意一点.若以 N 为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则 a的最小值为.【答案】3【解析】根据题意，圆M与以N为圆心的圆的位置关系是内切或内含.则dMNc doL 1,即1WdoL 1.所以doN 2恒成立,因为N在圆M上运动,所以doN的最小值为doMi 1,即doiM 12,所以a+ (3 a) 3,解得a3,所以a的最小值为3.110 .已知线段AB的长为2,动点

8、C满足CA-CB=入(入为常数)，且点C总不在以点B为圆心，为半径 的圆内，则实数入的最大值是 .【解析】建立平面直角坐标系，B(0 , 0) , A(2 , 0),设C(x, y),则CACB= x(x 2) + y2=入，则(x1)2 + y2=入+ 1,得、：(x 1) 2+y2 =；入+ 1,点 C的轨迹是以(1 , 0)为圆心.入+ 1为半径的圆且与*2+丫2 =外离或相切.所以入+1W2,入的最大值为一彳.11 .在平面直角坐标系 xOy中，设直线y = x+2与圆x2+y2=r2(r 0)交于A, B两点.若圆上存在一 一 5 一 3 一【解析】OC= j|OA 3OB； =点C

9、,满足OC= 4O七4OB则r的值为.-52 3二 9 -2 25 2 15 2 9 2 -一，+ 2 , wOA，4O阶 16B，即 r =161+ 81cos / AOBF 话，整理化同32, 32,得 cos/AOB=-5,过点。作 AB 的垂线父 AB 于 D,则 cos/A。氏 2cos /AOA 1 =一看，彳导 cos Z AOD1 一 ，=二又圆心到直线的距离为5- 2OD=2，21 oD、2,所以 cos/Ag5=尸=了，所以 r2= 10, r=-j10.12 .已知圆 M (x -1)2+(y -1)2=4,直线l : x + y6=0, A为直线l上一点.若圆M上存在两

10、点 B,C,使彳导/ BAC= 60 ,则点A横坐标的取值范围是 .【答案】1 , 5【解析】圆 M (x 1)2+(y 1)2= 4上存在两点B, C,使彳导/ BAC= 60 ,说明点 A(x , y)到M(1 , 1) 的距离小于等于 4,即(x 1) 2+(y -1)2 16,而y=6-x,得x2-6x+ 50)外一点，圆 M上存在点 T使得/ MAT= 45 ,则 实数a的取值范围是.【答案】.3-1a0)外，得4-4a0,则a1.圆M上存在点T使得/ MAT= 45 ,则南w r =2a,即 AMc 2a, (a-2)2+a20),解得 3 1 w a.综上，实数 a 的取值范围是

11、3-1a1.14 .在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 O,圆Q均与x轴相切且圆心 O, Q与原点O共线，O, Q两点 的横坐标之积为6,设圆。与圆Q相交于P, Q两点，直线l : 2x y 8=0,则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为【答案】85-66k 2 36k + yw121236一，得 2ax a+2aky a-ky + 不一a2= 0,即 2x+ 2y a9= 0.设 P(x, y),则(x 0 a) 2+ (y 0 ka) 2 a=k2a2, 即 x2+y0 = 2axo+2ay。- a?, 又 2xo+2y。一 a= 0, a可得 2ax0+2ay0a?= 6,故 x

12、0+y0=6,即点p的轨迹是以原点为圆心， 半径为寸6的圆，则点p与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为 等【解析】设圆 。的方程为(x -a)2+ (y -ka)【答案】x1=0, 3x-4y+5=0 【解析】由 Saabc= 2X2Xsin /ACB= 1, sin Z ACB= 1, Z ACB= 90 ,则点 C(0, 0)到直线 l 的距离为 1,设直线l的方程为y 2 = k(x 1),利用距离公式可得 k = 4,此时直线l的方程为3x4y + 5=0,当k不存在时，x1 = 0满足题意.16.在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C: x2+(y 1)2=5, A为圆C与x轴负半

13、轴的交点，过 A作圆C 的弦AB,记线段AB的中点为M.若OA= OM则直线AB的斜率为.【答案】2x。一 2 y0 22【解析】设点B(x, y),则M2圆x+(y1) =5与x轴负半轴的交点 A(-2, 0), OA= OM =2 = y(x2J+(y0j，即，2 2)+ g i = 4.又 x0+ (y 0 1) 2= 5,两式相减得 y= 2x0+ 4.而 A( - 2, 0)也满足y0= 2x0+4,即直线 AB的方程为y0=2x0+4,则直线 AB的斜率为2.17.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O: (x + 1)2+(y -6)2=25,圆。：(x 17) 2+(y 30)2

14、= r2.若圆。上存在一点P,使得过点P可作一条射线与圆 C1依次交于点A、B,满足PA= 2AB,则半径r的取值范=k2a2，圆Q的方程为6.B两点， ABC的面积为1,则直线l的方15 .已知直线l过点P(1 , 2)且与圆C: x2+y2=2相交于A,程为围是.【答案】5 , 55【解析】在圆 C2上任取一点P,过点P可作一条射线与圆 C依次交于点 A B,当AB过圆心时，此时PA在该点处最小，AB在该点情况下最大，此时在P点情况下鼠小，当P, A, B三点共线时，如图1, PA PA2, PA为所有位置最小，且 AB是所有位置中最小，所以只要满足AAW 2,即满足题意，错误！5r55.

15、图I图218.直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x 1)2+(y 1)2=9,直线l: y=kx + 3与圆C相交于A、B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆 C总有公共点，则实数k的取值范围为 .3【答案】卜4, +00 j【解析】以M为圆心，2为半径的圆与圆 C总有公共点，则C点到直线l的距离小于1,即d = E翼Lwk +11,解得 kw 3. 419平面直角坐标系 xOy中，已知圆 C： (x a)2+(y a+2)2=1,点A(0, 2),若圆C上存在点 M 满足MA+ MO= 10,则实数a的取值范围是 .【答案】0 , 3【解析】设 M(x, y),由 MA+

16、MO= 10, A(0 , 2),得 x2+(y 1) 2= 4,而(x a)2+(y a+2) 2= 1,它们有公共点，则1a2+(a-3)29,解得实数a的取值范围是0, 3.20.平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x1)2+y2=4, P为圆C上一点.若存在一个定圆 M过P 作圆M的两条切线PA、PB,切点分别为 A、B,当P在圆C上运动时，使得/ APB恒为60 ,则圆M的 方程为.【答案】(x -1)2+y2=1【解析】: 当P在圆C上运动时/ APB恒为60 , 圆M与圆C一定是同心圆，可设圆M的方程为(x 1)2+y2=r2.当点P坐标是(3, 0)时，设直线 AB与x轴的交点为 H,则MF+ HP= 2