全等三角形问题中常见的辅助线的作法7页

1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种:1)遇到三角形的 中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”2)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.3)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一 ”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”.4)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质

2、定理或逆定理.5)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的精品文档“平移”或“翻转折叠”特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连 接起来，利用三角形面积的知识解答.倍长中线（线段）造全等例1.已知：如图3所示，AD为 ABC的中线,求证：AB+AO2AD 。AB+AC+分析：要证AB+AO2AD ,由图形想至U： AB+BDAD,AC+CDAD ，所以有:BD+CD AD +AD=2AD但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题,而由2AD想到要构造2AD，即yE图-J3加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中

3、去。证明：延长 AD至E，使DE=AD，连接BE, CE。例3、如图， ABC中，BD=DC=AP E是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.因为 BD=DC=AC，所以 AC=1/2BC因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2AC / ACE= / BCA，所以 BCAACE 所以/ ABC= / CAE因为 DC=AC，所以/ ADC= / DAC/ ADC= / ABC+ / BAD所以/ ABC+ / BAD= / DAE+ / CAE 所以/ BAD= / DAE即AD平分/ BAE应用: 二、截长补短例1.已知：如图1所示,AD 为 ABC 的中线，且/ 1= / 2,/

4、3= / 4。求证：BE+CFEF。分析：要证BE+CFEF，可利用三角形三边关系定理证明，须把 BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知/1= / 2, / 3= / 4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN , FN , EF移到同个三角形中。证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF。FD 至U G ,使 DG=FD,MBC 中，AB=2AC再连结EG,BGAD平分 N BAC，且 AD=BD 求证：CD! AC延长1、如图， 证明： 取AB中点E，连接DE AD=BD DE丄AB，即/ AED=90o【等腰三角形三线合一】 AB=2AC AE=AC又/

5、EAD= / CAD【AD 平分/ BAC 】AD=AD/ AED 6 ACD (SAS )/ C= / AED=90oC CD 丄 AC2、如图，AC/ BD, EA,EB分别平分/ CAB,/ DBA CD过点 E,求证；AB = AC+BD在AB上取点N ,使得AN=AC/ CAE= / EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN 所以/ ANE= / ACE 又AC平行BD 所以/ ACE+ / BDE=180 而/ ANE+ / ENB=180 所以/ ENB= / BDE/ NBE= / EBNBE为公共边，所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以 AB=A

6、N+BN=AC+BD并且AP,ABC CA上,BQ位C3、如图，已知在LABC内，/BAC =60 , NC =40 , P, Q分别在BQ分别是N BAC , ZABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP证明：做辅助线PMI BQ,与QC相交与M。（首先算清各角的度数）/ APB=180 / BAP / ABP=180 30 80 =70且/APM=180 /APB /MPC=18D 70 / QBC （同 角相等）=180 70 40 =70/ APB= / APM又TAP是BAC的角平分线，/ BAP= / MAPAP是公共边 ABP AMP（角边角） AB=AM , BP=MP在M

7、PC 中，/ MCP= / MPC=4t） MP=MC AB+B P=AM+MP=AM+MC=AC在 QBC中/ QBC=QCB=40BQ=QCBQ+AQ=AQ+QC=ACBQ+AQ=AB+BP精品文档3如图，在四边形 ABCD中，BC BA,AD= CD, BD平分必ABC ,C4、角平分线求证：NA+NC=1800延长BA,作DF丄BA的延长线，作 DE丄BC/ 仁/2 DE=DF （角分线上的点到角的两边距离相等）在 Rt DFA 与 Rt DEC 中AD=DC,DF=DE Rt DFA 也Rt DEC （HL） / 3=/ C因为/ 4+ / 3=180 / 4+/ C=180即/ A

8、+ / C=180 ?精品文档5ACD5、如图在 ABC中，AB AC, / 1 = / 2, P 为 AD上任意一点，求证;AB-AC PB-PC延长AC至E，使AE=AB，连结PE。然后证明一下 ABP也AEP得到PB=PE备用（角边角证很容易吧） PCE 中, ECPE-PC EC=AE-AC , AE=AB EC=AB-AC又 PB=PE PE-PC=PB-PC AB-AC PB-PC三、平移变换例1 AD为厶ABC的角平分线，直线 MNL AD于A.E为MN上一点， ABC周长记为 PA , EBC周长记为Pb .求证Pb Pa.例2如图，在 ABC的边上取两点 D E,且BD=CE

9、求证：AB+AOAD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图，已知在 ABC中，/ B=60,A ABC的角平分线 AD,CE相交于点 0,求证：0E=0D在AC上取点F，使AF=AE AD是角A的平分线/ EA0 = / FAE A0=A0三角形AE0与AF0全等（两边夹角相等） E0=F0 , / A0E = /A0FV CE是/C的平分线/ DC0 = / FC0V/ B = 60/A+ / C = 180 60 = 120/ C0D= / CA0 + / 0CA = / A/2 + / C/2 = 60 度/ 0CF = 180 /A0F- / C0D = 180 60 60 = 60/

10、 OCF = / COD OC=OC三角形OCD与CFO全等(两边夹角相等) CF=CD AC=AF+CF = AE+CD即：AE+CD=AC2、如图， ABC 中，AD 平分/ BAC DGL BC 且平分 BC, DEI AB 于 E, DF 丄 AC于 F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a , AC=b，求AE、BE的长.证明：连接BD,CDDG丄BC于G且平分BC所以GD为BC垂直平分线 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等BD=CD角平分线上的点到角两边距离相等,AD平分/ BAC , DE丄AB于E, DF丄AC的延长 于F所以DE=DF在 RT BED,RT CFD

11、 中DE=DFBD=CDRT BED 也 RT CFD(HL)BE=CFF应用： 五、旋转例1正方形ABCD中, E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF求/ EAF的度数.将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG 贝U GE=GB+BE=DF+BE=EF 又 AE=AE , AF=AG , 所以三角形AEF全等于AEG所以/ EAF= / GAE= / BAE+ / GAB= / BAE+ / DAF又/ EAF+ / BAE+ / DAF=90 所以/ EAF=45度例2 D为等腰RUABC斜边AB的中点，DML DN,DM,DN分别交 当ZMDN绕点D转动时，求证 DE=DF若AB=2,求四边形DECF的面积。 垂足为P，做DQ丄AC，垂足为QBC,CA于点 E,F。(1)(2)做DP丄BC ,V D为中点，且 ABC为等腰RT ABC DP=DQ=?BC=?AC精品文档A6N又 V/ FDQ= / PDE(旋转)/ DQF= / DPE=90 DQF DPE S DQF=S DPE又 S四边形DECF=S四边形DFCP+S DPE S 四边形 DECF=S 四边形 DFCP+S DQF=