应用统计大工期末复习综合1

1、v1.0可编辑可修改随机试验具有以下三个特点的试验称为随机试验：(1) 重复性：试验可以在相同的条件下重复进行(2) 明确性：每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可以明确试验的全部可能结果(3) 随机性：试验之前不能准确预言该次试验将出现哪一种结果样本点与样本空间随机试验E的每一个不可再分的结果，称为一个样本点； 样本点的全体所组成的集合 Q,称为E的样本空间。随机事件一次试验中可能出现也可能不出现的事件称为随机事件。试验中所有可能出现的基本结果， 即最简单的随机事件，称之为基本事 件。样本空间Q称为必然事件空集称为不可能事件概率的定义与性质概率的定义统计定义：在相同的条件下重复进行

2、n次试验，如果当n增大时，事件A出现的频率un(A)稳定地在某 常数p附近摆动；且 般说来，n越大，扌去动幅度越小，则 称常数p为事件A的概率。这样定义的概率称为统计概率。P(A)=lim un(A)=lim丄也nnn公理化定义：设E是随机试验，Q是它的样本空间，对于试验 E的每一个事件A 赋予一个实数，记为P(A)，若它满足如下三个条件：(1) 对任何事件，都有0 P(A) 1(2) 对于必然事件，P( Q )=1(3) 对于任意互不相容事件 A,A2, An，有P( A)P(A)，则称P(A)为事件Aii的概率。概率的性质(1) P()=0(2) 对于任意互不相容事件 P( Ai)P(A)

3、，P(A+B)=P(A)+P(B)ii(3) P(AJ=1,P( A)=1-P(A)i(4) 如果 B A,有 P(B-A)=P(B)-P(A)(5) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)2、典型例题解析题型：基本概念、公式与简单运算例1、计算题：写出下列随机试验的样本空间及下列事件所包含的样本点：掷一颗 骰子，出现奇数点。解：掷一颗骰子，其结果有6种可能：出现1点，2点，3点，,6点，可以记样本空间Q =1，2，3，4，5，6，那么“出现奇数点”的事件为1，3, 5。例2、计算题：口袋里装有若干个黑球与若干个白球，每次任取一个球，共抽取两 次，设事件A表示第一次取到黑球，事件B表示第

4、二次取到黑球，用A,B的运算表示下 列事件：(1) 第一次取到白球且第二次取到黑球(2) 两次都取到白球(3) 两次取到球的颜色不一致(4) 两次取到球的颜色一致解：(1)第一次取到白球且第二次取到黑球， 意味着第一次不取到黑球且第二次取 到黑球，即事件a不发生且事件b发生，可用积事件Ab表示(2) 两次都取到白球，意味着第一次取到白球且第二次也取到白球，即事件 A与 b同时不发生，可用积事件 AB表示(3) 两次取到球的颜色不一致，意味着第一次取到黑球且第二次取到白球，或者 第一次取到白球且第二次取到黑球，即积事件 Ab发生或积事件aB发生，可用和事件A B + A B表示(4) 两次取到球

5、的颜色一致，意味着两次都取到黑球，或者两次都取到白球，即积事件AB发生或积事件AB发生，可用和事件AB+AB表示例 3、填空题：设 P(A) 0.3, P(A B) 0.6。(1) 若A和B互不相容，则P(B)=(2) 若 A B，则 P(B)=(3) 若 P(AB)=，则 P(B)=解题思路：根据概率的性质P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=，(1) 若A和B互不相容，则 AB=O，P(AB)=0，因此 P(B)=P(A+B)-P(A)=。(2) 若 A B，则 P(AB)=P(A)，因此 P(B)=P(A+B)-P(A)+P(A)=。(3) 若 P(AB)=，则 P(B)=P(A

6、+B)-P(A)+P(AB)=。答案：(1); (2); (3)。附：知识拓展一概率的历史第一个系统地推算概率的人是16世纪的卡尔达诺。记载在他的著作viber de Ludo Aleae中。卡尔达诺的数学著作中有很多给赌徒的建议。这些建议都写成短文。例如： 谁， 在什么时候，应该赌博、为什么亚里斯多德谴责赌博、那些教别人赌博的人是否也 擅长赌博呢等。然而，首次提出系统研究概率的是在帕斯卡和费马来往的一系列信件中，他们用不同的组合方法给出了这类问题的正确答案。1655年，荷兰数学家惠更斯访问巴黎时了解 到帕斯卡与费马的通信研究，对这类问题产生兴趣并著论赌博中的计算，探讨概率问题的原理。讨论的情

7、况与结果被惠更斯总结成关于赌博中的推断(1657年)一书,这是公认的有关或然数学的奠基之作。概率模型古典概型具有下列两个特点的概率模型称为古典概型(或等可能概型)(1) 有限性：样本空间只包含有限个基本事件(2) 等可能性：每个基本事件发生的可能性相同设事件A是由全部n个基本事件中的某m个基本事件构成(称 m为有利于A的基本事件数)，则古典概率为P(A)=包含的基本事件数-n基本事件总数概率的定义条件概率：对于两个事件A与B,如果P(A)0,称P(B|A) P(AB)为事件A发 P(A)生条件下，事件B发生的条件概率。事件的独立性：两个事件A与B,如果其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件

8、发生与否的影响，则称事件A与B是相互独立的，即P(AB)=P(A)P(B)概率的计算公式加法公式P(A+B)=P(A)+(B)-P(AB)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)特别地，若事件Ai,A2, An互不相容，则P(Al A2An) = P( Ai) + P( A2)+ P(An)减法公式若A,B为任意两个事件，则P(B-A)=P(B)-P(AB)若 A B,则 P(B-A)=P(B)-P(A)乘法公式若 P(A)0,P(B)0,则 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)全概率公式如果事件几,A2,An构成一个完

9、备事件组，且P(Ai)0,i=l,2,n,则对于任何一个事件B,有nP(B)P(A)P(B|AJi 1贝叶斯公式如果事件A1,A2, An构成一个完备事件组，且P(Ai)0,i=1,2,n,则对于任何一个事件B,若P(B) 0,有P(制 B)P(Am)P(BAm) m=1,2,nP(AJP(B|Ai)i 1掷一颗骰子，其结果有6种可能：出现1点，2点，3点，,6点，可以记样 本空间Q =1，2, 3, 4, 5, 6，那么“出现奇数点”的事件为1，3, 5。例2、口袋里装有若干个黑球与若干个白球，每次任取一个球，共抽取两次，设事件A表示第一次取到黑球，事件 B表示第二次取到黑球，用 A,B的运

10、算表示下列事件： (题型1)(1) 第一次取到白球且第二次取到黑球(2) 两次都取到白球(3) 两次取到球的颜色不一致(4) 两次取到球的颜色一致解：(1)第一次取到白球且第二次取到黑球， 意味着第一次不取到黑球且第二次取 到黑球，即事件a不发生且事件b发生，可用积事件Ab表示(2) 两次都取到白球，意味着第一次取到白球且第二次也取到白球，即事件A与 b同时不发生，可用积事件 AB表示(3) 两次取到球的颜色不一致，意味着第一次取到黑球且第二次取到白球，或者 第一次取到白球且第二次取到黑球，即积事件 Ab发生或积事件aB发生，可用和事件 A B + A B表示(4) 两次取到球的颜色一致，意味

11、着两次都取到黑球，或者两次都取到白球，即积事件AB发生或积事件AB发生，可用和事件AB+AB表示例3、罐中有12粒围棋子，其中8粒白子，4粒黑子，从中任取3粒，求(题型2)(1) 取到的都是白子的概率(2) 取到两粒白子，一粒黑子的概率(3) 至少取到一粒黑子的概率(4) 取到的3粒棋子颜色相同的概率解：设A表示“取到的都是白子” ，B表示“取到两粒白子，一粒黑子” ，C表示“至少取到一粒黑子” ，D表示“取到的3粒棋子颜色相同” 基本事件总数n =c；2 (1)因为3粒棋子都从8粒白棋中取得，A包含的基本事件数为c3，则3P(A)= C8 =上355C22 1B包含的基本事件数为 C：C：，

12、则P(B)=CC=28C1255(3)因为3粒棋子中至少有一粒黑子，那么这二粒棋子的颜色有二种可能：一种是一粒黑子，两粒白子；一种是两粒黑子，一粒白子；一种是三粒都是黑子，故C包含的12213基本事件数为c4c2+c2c8+c4，则p(c)= 皿 皆 4=詈C1233孑C8+C4种取(题型3)或者由于各事件的关系可看出，际,所以p(c)=p(A)=1-p(A)=1-川晋(4) 取到的3粒棋子颜色相同，要么全是白的，要么全是黑的，共有33法，故P(D)= C8 4二生二色355 11C12例4、甲、乙二人独立地各向同一目标射击一次，其命中率分别为和(1)求目标被命中的概率(2)若已知目标被命中，

13、求它是甲射中的概率解：设Ai表示“甲命中目标”，A2表示“乙命中目标”，B表示“目标被命中”，所 求概率为P(B)和P( A|B)已知P( Ai )=，P( A2)=，因Ai与A2相互独立，利用事件之间的运算，B=A+A2 (或 写成B=AiA2)表示事件Ai与A2至少有一个发生。又利用加法公式，P(B)=P( Ai)+( A2)-P( Ai A2)，则(1) P(B)=P( Ai)+( A2)-P( AiA2)=P(A)+( A2)-P( Ai)P(A2)=+又因Ai B，贝U(2) p(Ai|b)=PAB)=PA2=!5P(B) P(B) 0.88 22例5、设工厂A和工厂B的产品的次品率

14、分别是i唏口 2%现在从由A和B的产品 分别是60呀口 40%勺产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于 A生产的概率是 多少(题型4)解：该次品可能是A生产的也可能是B生产的，工厂A和工厂B的产品的次品率都 已知。产品可能是A生产的也可能是B生产的，构成样本空间的一个划分。随机抽取一 件，发现是次品，求该次品属A生产的概率实际是由结果来求原因发生的概率， 用贝叶 斯公式。设事件C为“产品是次品”，事件A为“产品属A生产”，事件B为“产品属B生产”，因为 P(A) 0.6, P(B) 0.4, P(C | A) 0.0i, P(C | B) 0.02由全概率公式，有 P(C) P(A) P(C | A) P(B) P(C| B) 0.0i41第8页共8页又由贝叶斯公式，有P(