常微分方程讲义三

1、常微分方程讲义（三） 常微分方程的初等积分解法:1、可分离变量方程dy12=g(x)h(y& Jh7dy7g(x)dx2、齐次方程（一般含有例:例:例:例:例:愛(xy)，令y=ux，可消去右边的x则xdx yxy-y = xtg xdy 2x3y-y4+u = f (x,ux) = f (u)dx - 2xy3dy 2xyX2 +y2dxdydx 占,ygX% = y + Jx2 -y2dx3、一阶线性非齐次方程= a(x)y +b(x)二dydx常数变易法y=Ja(x)dxJb(x)eJa(x川dx+C例:例:例:X 吐+y-ex dx(x+1)业 dx,1 -xyy =21 -x=0,

2、y(1) =eX / 亠八n中 -ny =e (x +1)例：时sin2仔曲厂严4、贝努利方程dx=a(x)y+b(x)yn令z-y1，则空=(1_n)y巴，代入得:dxdx=(1 +n )a(x)z + (1 +n )b(x)y =a(x)y1 +b(x)= 竺dxdx可将伯努力方程化成一阶线性非齐次例:型=xy(1+x2y2)dx例:dydx x2 sin y -xy例:例:例:业Ty_y2dx X +1当b(x)为常数时，可直接运用常数变易法，该贝努利方程已变为一种一xdy 一y +xy3(1 +ln x)dx =0COSxdy -(y sin x + y4)dx =0阶线性非齐次的特例

3、5、全微分方程M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0第一种情况：若cMcNcyex贝y u(x,y) = M C,y0)d巴 + f N(x)d，0y0或 u(x,y) = M G, y)dE + r N(x0)dA0y。方程解为u(x,y)=C，其中(xoy。)在定义域内任取例：ydx + xdy = 0、xdx ydy = 0例：xdy-ydx =0x2 +y2例:xx(1+ ey)dx +e(1-为dy = 0y例:*dx+Fdy+xdx=0例:(X -y)dx +(X + y)dy = (x2 + y2)dx例:(y - x5y4)dx + (x-x4y5)dy = 0

4、例:(2x2y +2y +5)dx +(2x3 +2x)dy =0第二种情况：若廻cy ex则找积分因子1、只存在与x有关的积分因子的充要条件是丄(到，积N cyex例:例:例:分因子(x) =x)dx2、只存在与y有关的积分因子的充要条件是积分因子卩(y)=e旳dy4x2y2dx +(2x3y -1)dy =0(x4 + y4)dx -xy3dy = 0(4xy+3y4)dx+(2x2 +5xy3)dy =0*微分方程解法的不确定性与灵活性:dydx x丄(一-型日(y),Mrc“/excy可分离变量方程“分”的思路：*齐次方程一阶线性非齐次方程贝努力方程“凑”的思路：全微分 方程6、可降阶

5、的二阶微分方程第一类：器)例：(1+x2)y=1,y(0) =1,y(0) =1第二类:，令驚。，则 $-dpdx例:xyJyIn y-x例:(1+ x2)y+(y)2 +1=0例:I I I x y -y = e=P乎dy第三类：叹= f(y理)，令-P,则写dxdxdxdx例：yY2y =0,y(0) =0,y(0) =1例：yyey =0,y(0) =0,y (0) =2例：求方程(y)2 +2yy=0的在点(1,1)与直线y = x相切的积分曲线可降阶微分方程解法的灵活性:例：y+y+(y)0，令直十,则与十亚dxdx dy例: y+j1-(y)2 =0，令翌二 p,则今dxdx dx

6、微分方程的近似解：Picca序列给定微分方程話f(x,y)，贝y有y lx 孑 yo在(xoy。)处的第 1 次近似：yi =yo + r f (x,yo)dxxo在(xo, yo)处的第 2 次近似：y2 =yo + L f (x,yi)dx 在(xo, y。)处的第 n 次近似：yn = y。+ f f (x, y,)dxxo例：求微分方程丿加三，当x=2时，y= ？y(1) =1精确方法Picca近似:精度与误差例：求微分方程吐=In (sin y)的Picca逼近数列rdx兀微分方程的初值问题解的存在唯一性:忙 f(x,y)yx0 = y。定理1：设函数f(x,y)在矩形区域R:(x,y):|x-Xo| a,|y-yo|b上连续；且对R上任意两点(x,yi),(x, y2)，满足Lipschitz条件: 其中 L 是 Lipschitz 常数，令 h =min(a,上),M =maxMf (x,yi) - f(X, y2) L yi y2。a,f(x, y)，则在区间X Xo h上，原方程的解存在且唯一。定理2:设函数f(x,y)在G上连续，且在G内满足局部的Lipschitz条件，则对G内任意一点，存在一个小区间X-Xo a，原方程