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1、高二数学期末复习专题一一解三角形复习要点1 正弦定理:asin Asinc=2R或变形： a :b : c =sin A: sin B :sin C .sin C2.余弦定理:L 2a巾2c2=b2=a2=b2+ C2+ C2+ a2-2bccos A-2ac cos B-2ba cosCcos Acos BjcosCb2 +c2 -a22bca2 + c2 -b22acb2 + a2 -c22ab3.( 1)两类正弦定理解三角形的问题:2(2)两类余弦定理解三角形的问题：21、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.1、已知三边求三角. 、已知两边和他

2、们的夹角，求第三边和其他两角.4判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5解题中利用 AABC中A+B+C =兀，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如:sin( A +B) =sinC, cos(A + B) = -cosC, tan(A + B) = tanC,sin MB =cosC,cosXB =sin C,ta=cotC .2 2 2 2 2 2一.正、余弦定理的直接应用:1、A ABC 中,a=1,b= J3, / A=30 ，则/ B 等于A. 60B. 60。或 120C. 30 或 1502、在 ABCD. 120中，角A,B,C

3、对应的边分别是a,b,c，若si nA=l,si n B =2，求a：b：c23、在 ABC1222中，若 Saabc= (a +b c),那么角/ C=.44.若 ABC的周长等于20,面积是1O73, A= 60 贝U BC边的长是( 5.在 ABC 中，C A= n，sinB= 3.(1)求sinA的值；(2)设AC=，求 ABC的面积.AB边上的高为4逅，求角A,B,C6.在 ABC 中，若(a +b + c)(a -b +c) =3ac，且 tan A + tanC =3 + 73 , 的大小与边a,b,c的长二.判断三角形的形状7、在锐角三角形 ABC中，有A. cosAsinB

4、且 cosBsinAB. cosAsinB且 cosBsinB 且 cosBvsinAD. cosAvsinB 且 cosBsinA8、若(a+b+c)(b+c a)=3bc,且 sinA=2sinBcosC,那么 ABC 是A .直角三角形9、钝角10. 已知(1 )若(2 )若B.等边三角形C .等腰三角形D .等腰直角三角形 ABC的三边长分别为 x,x+1,x+2，其最大角不超过 120。则实数x的取值范围是:a、b、c分别是AABC的三个内角A、B、C所对的边v/3MBC 面积 S也Bc =、3，c=2,a=60：求 a、b 的值；a =ccosB，且b =csi nA，试判断iAB

5、C的形状.三.测量问题11.在200 m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为_ 4003_ 2003B. 3 mC. 3 m30 60 则塔高为（）400A.亍mD.20012. 测量一棵树的高度，在地面上选取给与树底共线的45,且13. 如图，AB=60米，则树的高度为多少米?四边形ABCD面积等于A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为 30中，/ B = / C = 120 AB = 4, BC= CD = 2,则该四边形的a/3)B. W3D .77314. 一缉私艇发现在北偏东45方向，距离12 nmile的海面上有一走私船正以 10 nmile/h的速度沿东偏南15方向逃

6、窜.缉私艇的速度为 14 nmile/h,若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东45 + a的方向去追，.求追及所需的时间和 a角的正弦值.B15.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点 A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30方向上8 km处，位于景点 B的正北方向，还位于景点C的北偏西75方向上，已知AB = 5 km.(1)景区管委会准备由景点 D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(2)求景点C和景点D之间的距离.四.正、余弦定理与三角函数，向量的综合应用16、设 A、B、C为三角形的三内角，且方程

7、(sinB sinA)x2+(sinA sinC)x +(sinC sinB)=O有等根，那么三边a,b,c的关系是17.在Rt ABC中，C =90，则sinAsin B的最大值是18 .在 ABC 中，/ C 是钝角，设 x =sinC,y=sinA+sin B,z = cosA + cosB,则 x, y, z 的大小关系是319. ABC中，内角1(I)求tan AA, B, C的对边分别为 a, b, c,已知a, b, c成等比数列，cosB=-41 3+酝的值；4)设BABCW 求 c的值。/322220在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a,b,c,设S为 ABC的面

8、积，满足 S= (a +b -C )。4(I)求角C的大小；(n)求sin A +sin B的最大值。21、设AABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A,B,C所对边长，并且9jTjT9Sin2 A =sin(- + B) sin( -B) + sin2 B。(I )求角 A 的值;(n)若33= 12,3=277，求 b,c (其中 bvc)。22.在锐角 ABC中，已知内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c,向量 m= (2sin(A + C),Q3), n = (cos2B,2coSB1)，且向量m、n共线.(1)求角B的大小；如果b= 1,求 ABC的面积Sa ABC的最大值.数

9、列一、知识梳理数列概念1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2. 通项公式：如果数列 右n的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即 an = f（n）.3. 递推公式：如果已知数列 laj的第一项（或前几项），且任何一项 an与它的前一项an_1 （或前几项）间 的关系可以用一个式子来表示， 即an = f（anJ或an = f（an丄an/），那么这个式子叫做数列可的递推公式. 如数列 g 中，aj =1,an =2an +1，其中an =2an +1是数列的递推公式.4. 数列的前n项和与通项的公式 Sn =印

10、 +a2 +an ；an =产(n =1)iSn - Sn(n 2)5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法 .6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列 递增数列：对于任何n壬N +均有anH an. 递减数列：对于任何n亡N +均有anH an. 摆动数列：例如：1,1,1,1,1，. 常数数列：例如：6,6,6,6,. 有界数列：存在正数M使an M .等差数列每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列， 常数d称为1. 等差数列的概念如果一个数列从第二项起，等差数列的公差.2. 通项公式与前n项和公式通项

11、公式an =a1 +（n - 1）d，耳为首项，d为公差.前 n项和公式 Sn = n（a1；an）或 Sn =na1 n（n- 1）d .3. 等差中项如果a, A,b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项.即：A是a与b的等差中项二2A =a +b= a，A，b成等差数列.4. 等差数列的判定方法定义法：an十-an=d （ n亡N+，d是常数）二a是等差数列; 中项法：2an+=an +an七（n亡N+）u是等差数列.5.等差数列的常用性质数列Gn 是等差数列，则数列 n + P 、pa? （ P是常数）都是等差数列；在等差数列 Qn 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,a

12、nHk,an42k,an43k；为等差数列，公差为kd . an =am +(n m)d ； a. =an + b( a, b是常数)；San +bn( a, b是常数，a hO)若 m+n = p+ q(m, n,p,q亡 NJ，贝y aaa p +aq ；若等差数列an 的前n项和Sn，则j是等差数列;当项数为2n（n，则S偶一 一 nd，p詈；当项数为2n -1（n，贝U爲一$禺=aS奇n等比数列1.等比数列的概念q（q H 0），这个数列叫做等比数如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数 列，常数q称为等比数列的公比.2. 通项公式与前n项和公式通项公式：On =ai

13、qn二,a1为首项，q为公比.前n项和公式：当q =1时,Sn na1当q H1时,Q _a1（1-qn）-1-q ai -anq1q3. 等比中项如果a,G,b成等比数列，那么 G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等差中项 U a, A , b成等差数列=G2 =a -b.4. 等比数列的判定方法定义法： 工 =q （n亡N+, qH0是常数）=2），求数列b、已知关系式8n+ =8n计（n），可利用迭乘法.8n =8 n .8n48n -18n -28n-382ai例、已知数列%满足:anan n 4=(n 2)84=2，求求数列an的通项公式;n +1c、构造新数列1 递推关系形如“

14、 例、已知数列 & 中, 2。递推关系形如例、a =1,an +an44 = Pan a1 =1,a“，两边同除= 2an +3n ,+ q”，利用待定系数法求解n+=2an +3,求数列iaj的通项公式.pn出或待定系数法求解求数列9 的通项公式.3递推已知数列 中，关系形如“ an = P anf + q n ”，利用待定系数法求解例、已知数列a中，印=1,a2 =2,an* =3an卅2an，求数列的通项公式.4递推关系形如an pan=qanan(p,qH0),两边同除以ana.例1、已知数列 仕中，an-an=2anan(n2),a1 =2，求数列 右的通项公式.例2、数列 9 中，

15、a1 =2,an4 = 2an (n亡N彳，求数列a的通项公式.4+and、给出关于Sn和am的关系例仁设数列 的前n项和为Sn，已知a a,a时=& +3n(n忘N+)，设0 = Sn -3n， 求数列tn的通项公式.例2、设Sn是数列的前n项和，a1 =1，S；=an Sn 一! jn 询.求右n 的通项；Sn ，求数列tbn的前n项和Tn.设 bn=2n+1C、证明数列是等差或等比数列1)证明数列等差例1、已知Sn为等差数列右n 的前n项和，bn = 4 n N +).求证：数列 仏是等差数列. n例2、已知数列an的前、 1 1n项和为Sn,且满足 an+2Sn Sn-1=0 （n2）

16、, a1= .求证：2 cSn是等差数列;2) 证明数列等比(1中例1、设an是等差数列,bn= 丿，求证：数列bn是等比数列;例2、设Sn为数列faj的前n项和，已知ban-2n =（b1）&证明：当b=2时，an -n 2n-是等比数列；求taj的通项公式例 3、已知数列a*满足 a1 =1, a = 3,ap = 3an 2an （n 亡 N ）.证明：数列an+-aj是等比数列；求数列（aj的通项公式；若数列心满足4242.42 =（an+1）bn（n亡N*）,证明bn是等差数列.D、求数列的前n项和 基本方法：1 ）公式法，2）拆解求和法.例1、求数列2n +2n -3的前n项和Sn

17、.11 11例2、求数列1_,2 ,3,，(n +),的前n项和Sn.2 4 82n(n+3)例 3、求和：2X 5+3 X 6+4X 7+ +n2）裂项相消法，数列的常见拆项有:例1、求和:例2、求和:S=1+1+21+2+31=丄(丄_) ；= 7n+1vn ；n(n +k) k n n+k Jn+vn+11+1+2+3+n1 1+3）倒序相加法,2例、设f（x），求:_ X1 +x2 f(4) + f(3) + f(M + f 2) + f (3) + f (4)； f (盘)+ f(2009)+ f (M + f (2) + f (2) + + f (2009) + f (2010).

18、4）错位相减法，例、若数列an 的通项an = （2n -1） 3n，求此数列的前n项和& .5）对于数列等差和等比混合数列分组求和2例、已知数列&的前n项和Sn=12n n ,求数列| an|的前n项和Tn.E、数列单调性最值问题例1、数列 伉中，an =2n-49，当数列laj的前n项和&取得最小值时，n =例2已知Sn为等差数列fan 的前n项和，ai =254 =16.当n为何值时，&取得最大值;例3、 数列右n 中，an =3n2-28n+1，求an取最小值时n的值.例4数列& 中，an=n-jn呼2，求数列taj的最大项和最小项.例5、设数列an 的前n项和为Sn .已知ai =a

19、 , a = Sn +3n , n忘N* .(I)设bn=Sn3n，求数列 仏的通项公式；(n)若 a.卅 a. , n亡N *，求a的取值范围.例6、已知Sn为数列右n 的前n项和，ai =3， SnSnj =2an(n 2).求数列右n 的通项公式；数列右n 中是否存在正整数 k,使得不等式aani对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正 整数k，若不存在，说明理由.1例7、非等比数列an中，前n项和Sn = (an T)2 ,4(1) 求数列an的通项公式；1m(2) 设bn = (n b,b c= a c（3）加法法则:ab 吕 a+cb+c ；若 a:b,c:d，贝U a+

20、c:b + d .（若 a Ab,c cd，贝U a c Ab d）,但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减;乘法法则： a：b,c0= acAbc ；a b,c C 0= ac c bcab0,cd 0二 acbd倒数法则:1若 ab 0 , a b ,则一aa（若 a Ab0,0 c c c d ,则一c1则一a1C；若 abc0 , ab , b晋）；d1 -.b乘方法则:a0 =anbn（N*且n1）开方法则:a b 0 =Va yb（n 亡 N * 且n 1）2.不等式大小比较的常用方法 ：作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 作商（常用于分数指数幕的代数

21、式）；分析法；（4）平方法；分子（或分母）有理化；利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ； 图象法：其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.（1）（2）（3）（5）（6）（8）3.利用重要不等式求函数最值 时，你是否注意：“ 一正二定三相等，等号是否能取到，若取到等号，则解法是合理的，若取不到，则必须改用其他方法.”利用基本不等式求最值时定要检验十la2 +b2 a +b ”一 2一4.常用不等式 有：（1） J Uab ,（根据目标不等式左右的运算结构选用 ）；（2） a、b、V 221+1a bcE R, a2+b2 +c2 3ab+bc+ca （当且仅当 a=b=c时，取等号）；（

22、3 ）若ab0, m0，贝U b b（糖水的浓度问题）a a +mk（4）对勾函数 y=x+-,（k0）x（二）一元二次不等式及其解法1. 一元二次不等式ax2 + bx + c A 0和ax2 + bx + c c 0(a工0)及其解法:A =0A 0(a 0)的解集x x22ax +bx+cc0（a0）的解集X % VX VX2注意：一般常用 因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间2. 简单的一元高次不等式的解法 ：标根法：其步骤是：（1 ）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根

23、标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线; 并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f（X）的符号变化规律，写出不等式的解集。3. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。4. 其他常见不等式形式总结： 分式不等式的解法：先移项通分标准化，则眯o（x）g（x）-谓-霭g（汽 指数不等式：转化为代数不等式f(x) ag(X)(0 吒 acl)u f(x)cg(x)af(x)ag(x)(a 1)H f(x)g(x); aa b

24、(a 0,b 0)u f (x) Tga lgb 对数不等式：转化为代数不等式严)0 loga f(x) Jogag(x)(a a1)= g(x) 0lf(x) g(x)f(x)0loga f(x) Jogag(x)(0a0 f(x)0 ,AXo +Eyo +c 0，则点 P(Xn y)在直线 Ax+Ey + C =0的上方.若B 0 ,AXo +Eyo +C cO，则点 P(Xo, yo )在直线 Ax+By + C =0的下方.2 线性规划问题：3 解线性规划实际问题的步骤：(1)将数据列成表格；(2)列出约束条件与目标函数；(3 )根据求最值方法：画：画可行域；移：移与目标函数一致的平行

25、直线;求：求最值点坐标；答；求最值；(4)验证.两类主要的目标函数的几何意义 ：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.= ax+by-直线的截距； z=(x-a)2+(y-b)2-两点的距离或圆的半径;y b=-一-直线的斜率.X -a常见、常用结论：(四)1. 不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法)1) .恒成立问题若不等式f(XA在区间D上恒成立，则等价于在区间 D上f (x)斷A A若不等式f(x)B在区间D上恒成立，则等价于在区间 D上f(x)

26、max A ；若在区间D上存在实数X使不等式f(x):B成立，则等价于在区间 D上的f(x)minA在区间D上恰成立 若不等式f(x) 0 ；b,则等价于不等式,则等价于不等式(2) a、b 异号二f(x):A的解集为D ； f(x)vB的解集为D.aab V 0 或一0;Ua|= -a,a 兰 0|a|0= -b va cb Ua|b,b0= ac-b或ab(5)|a|-|b戶 |abma|+|b|X 0lx04. (1)jx ：au 4a R 或 42laX alx 0”LI丨 X 二 0(2) J x0 或 jI 2la0x 0,a =0,a cO；例1解不等式：ax2+(a+2 X+10二、按判别式i的符号分类，即 i 0 =0上cO ;例2解不等式X2 + ax + 4 0三、按方程ax2 +bx + c = 0的根x1,x2的大小来分类，即 x x2, x x2, x x2 ；例 3 解不等式 X2 (a +)x +1 V0 (a H 0) a运用均值不等式的拼凑方法