数值分析课后习题部分参考答案

1、数值分析课后习题部分参考答案Cha pter 1(P10)5.求的近似值X*，使其相对误差不超过0.1%。解：72=1.4。设x*有n位有效数字，则|e(x*) I兰0.5x10x10。从而，|er(X*) I兰0.5咒10。故，若0.5X1014。 x =1.414 。(P10)7.正方形的边长约100cm，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过 1 cm2。解：设边长为a，则a sz 100 cm。设测量边长时的绝对误差为 e，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计：俺2x100xe。按测量要求，I 2x100xe匡1解得，|e|E0.5x102。Cha pt

2、er 2(P47)5.用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵-111-1P 丫 L分别求如下线性方程组:1 Act =0，aP =1，A =09丿O解：设=(a先求A的LU分解(利用分解的紧凑格式)1(1)1(1)1(1)1)(2)2(1) -1(0)2q00*11-T即，L =210,U =0-121X2b00-31(1)1(1)2(0)37o经直接三角分解法的回代程,*0、Ly -0和Ua = y，得，a =00丿-b分别求解方程组,0Ly1和uP=y，得,Ly所以,f00和uY=y，得，；(P47)A-16.分别用平方根法和改进平方根法求解方程组:10141平方根法: 先求系数矩阵 A的Chol

3、esky分解（利用分解的紧凑格式）(1)11000、(2)2(5)1，即，L =2100(1)1(0)-2(14)31-23(2-3(巧)1(1)2(15)11I-312b经平方根法的回代程,分别求解方程组，其中，A = LxLt o1 r12T一1和 L X = y，得，X =16161Ly =O改进平方根法:先求系数矩阵A的形如A = L DLT的分解，其中L = (Ij)44为单位下三角矩阵，D =diagd1,d2,d3,d4为对角矩阵。利用计算公式，得d1t21=2,121 =2,d2 =1;t31= 32二1, = 2, d3 =9；t41=3,t42 =1,t43 =6,l41

4、h3,l42 =1,l43 =2,d4 =1 o3分别求解方程组,5、I2和 DLtx = y，得，X =116161Ly =oXi(P48)12.已知方程组P9%2 二1 的解为 X1 = 100, x -100 o10.99x1 +0.98x2 =1(1)计算系数矩阵的条件数;取 X1 = (1,0)T , X2 = (100.5-99.5)T，分别计算残量 ri = b Axi (i = 1,2) o本题的计算结果说明了什么?解：(1)设A =r 10.99、10.99 0.98丿,求得，A498009900、I 9900-10000丿从而，Co ncKAh =39601。(2)计算得，

5、1 =(O,O.O1)T , k4 =0.01；2 =(-O.995,-O.985)T，| r1这说明，系数矩阵的条件数很大时，残量的大小不能反映近似解精度的高低。= 1.98 。Cha pter 3(P72) 3.用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代求解方程组X1 + 2 X2 2 x 1 X1 + X2 + X3 = 12X4 + 2x2 + X3 = 1取初值x(O) =(O,O,O)T，迭代4次，并比较它们的计算结果。解：由方程组得,Xi = 2x2 +2X3 +1X2 = -Xi - X3 +1X3 = -2石-2x2 +1从而，Jacobi迭代格式为：X1(k2x2k)

6、 X(k 十)、”(k)x(k 十) x3=_X1=-2x1(k)+ 2x3k) +1x3k)+1 ，k= 0,1,2,.-2x2k) +1Gauss-Seidel迭代格式为：x(k 十)X1X(kPX2x(1)-X3-+ 2x3k) +1-X1-x3k) +1 ，k= 0,1,2,.-2x1(f -2x2 +1整理得,Jacobi 迭代:x(0) = (O,O,O)T T x(1)=-2x2k)-严X1(宀一2x2k) +2x x2k*2x2k)- x3申=2x3k)3k)+13x3k)，k= 0,1,2,.-1= (1,1,1)T T X(2)=(1,-1,-3)Tt x(3) = (-3

7、,3,1)Tt x(4)=(-3,3,1)tGauss-Seidel 迭代:x(O) =(O,O,O)T T x(1)= (1,0,1)Tt X=(1,3,3)Tt X=(11,15,7)T Tx(4) = (43,51,15)TJacobi迭代中X已经是方程组的精确解，而从Gauss-Seidel迭代的计算结果，可以预见它 是发散的。(P73) 9.设有方程组X +ax2 +ax3 =04axx =b2axi +X3 =b3（1）分别写出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的计算公式，（2）用迭代收敛的充要条件给出这两种迭代法都收敛的a的取值范围。解：由方程组得，xi = ax

8、? axs + bX2 = -4ax1 + b?X3 = axi + bs从而，Jacobi迭代格式为:,(k)2=-4axi(k)+ b2=-ax1(k) +b3(k+)(k)(k)丄.x,= -ax2 -ax3 +bix2k-4ax1(kb2，k =0,1,2,.x(5x3迭代矩阵为：B =-4a-a0v-a设|川-B|=0，求得,入,=0,入2 = 45 | a |,几3 = -J5 | a |，故 P(B) =| a |。另由Jacobi迭代格式，得Gauss-Seidel迭代格式为：X严一 axy) ax3k) +ax2f =4a2x2k)+4a2x3k)- dab, +b2，k =

9、0,1,2，. x(k 十)x3= a2x2k)+ a2x3k)-ab, +b3迭代矩阵为：G =-a4a22a-a、4a22a丿设 | aI G | = 0，求得，fy1 = 0,几2 = 0,為=5a2，故 P(G) = 5a2。另外，应保证方程组的系数矩阵非奇异，解得,aH。由迭代收敛的充要条件得,54545Jacobi迭代收敛- ； Gauss-Seidel迭代收敛卄F -。故，使得两种迭代法都收敛的a的取值范围是相同的：口出。5(P74) 12.证明对称矩阵 A =a、当-a 21时为正定矩阵，且只有当|a|0,a1aa 1aa11 0,0 ,1解之得，1解得，P(B)=2|a|。由收敛的充要条件，Jacobi迭代收敛当且仅当|a|v丄。2Cha pter 5(P140)7 设X0,X1,，Xn为n+1个互异节点，lj(x)(j =0,1,n)为这组节点上的Lagrange插值基函数，试证:(1)nZ xk|j(x)=xk,k=0,1,n ；j=0n(2) Zj =0(Xj -x)klj(x)三 0,k =0,1； n。n证：(1)对于固定的k気1,2，n，设P(x) =5： x：lj(x)，则P(x)为次数不超过jrnn的多项式，且P(XXik, i =0,1，n而对于多项式函数 xk当然也满足如上的等式