第四章微分中值定理及导数的应用

1、第四章 微分中值定理及导数的应用1.选择题 已知函数f(x)在0,内可导，且f (X)0 ,又有 f (0) C 0，则 f(X)= 0 在0,畑)内().A.有惟一根B.有一个根 C. 没有根(2)罗尔微分中值定理的条件是结论成立的A.充分条件B. 必要条件 C.D.不能确定有无根().充分必要条件D.以上均不对 已知f(0)=护(0)，且当x0时，有f(x)A(x)，则当A. f(x)=(x)B.f (x)与护(x)不能比较大小C. f(x)(x)x0时，必有().B.D. 设函数 f(X)=(x-1)(x-2)(x-3)，则方程 f(x)=0 有().A. 一个实根B.二个实根C.三个实

2、根D. 若函数f(x) 阶可导，且f(0)=0, |imf( = -1，则 7 X是f(x)的极大值不一定是f (X)的极值无实根f (0)=0().A.是f (X)的极小值C.一定不是f(x)的极值 D.若(a,b)内，B.f(x)0, f(x) 1若f(冷)=0 ,则().A. f(X0)是f(x)的极大值B. f(X0)是f(x)的极小值 c.(X0,f(x0)是曲线y=f(x)的拐点D.f(X0)不是f (X)的极值，(X0,f(X0)也不是曲线y=f(x)的拐点(10)设在区间0,1上 f”(x)0，则(0)、f(1)、f(1)f(0)或 f(0)-f(1)大小 顺序关系是().f(

3、1)Af(1)-f(0)f(0)B.A. f f (0) A f (1)- f(0)C. f(1)-f(0) f(1) f(0)D.f(1) f(0)-f(1)f(0)2.填空题则 f(X)g(x)=(1) 若 f (X)=g (x) , X亡(a,b),(2) 函数y=lnx在1,2上满足拉格朗日定理的条件，则定理中的1 1四 xeX12设函数f(x)具有一阶、二阶导数，且f(0) =0， f (0) =1， f (0) =2，则lim f(x)xx2(5)设曲线y = fx1) 的水平渐近线为X2 +2x+43.设f(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，不求导数f(x)，试说

4、明f(x)=o有几个实根和它们所在的区间.提示：用罗尔定理4.证明：不论b为何值，方程x3-3x+b=0在-1,1内最多只有一个实根.5.利用拉格朗日定理，证明下列各不等式:(2) arctgb -arctga b-a ；(3) pyP丄(x-y) xP - yP 1).6.设 f (x)与 g(x)在a, b上连续，在(a,b)内可导，f (a) = f (b) = 0且 g(x) H 0,x Ja,b，那么在(a,b)内至少有一点c，使(cjg =g(c)f (c).7.用洛必达法则求下列各极限:(1)Xe -cosx limT sin Xlim 兽；T X3X -arcsin x lim

5、 3XT sin xaX-bxlim-(a A0,b 0)；(6)lim (tgx)cosx ；I旷/ arcsinx、； ；lim (cosx)尸；X期(10)xm心 T怜；lim XT2 1x sin8. limx与lim X sin x是不是未定式？极限值是否存在？等于什么？能否用洛T sinx 2x+cosx必达法则来求？为什么？9. 确定下列函数的单调区间，并求出它们的极值：3(1) y=x(1-x)；x八 1+X22xy =.ln x1 2丄（3）y=xe210.用薄钢板做一体积为 V的有盖圆柱形桶.问桶底直径与桶高应有怎样的比例，才能使所用 的材料最省？如果要做的圆柱形桶是无盖的

6、，那么要使所用的材料最省，桶高与桶底直径又该有怎样的比例？11.设有一边长为L的正方形，试证：在内接于它的所有正方形中，以边长为為的一个面积为最小.12. 已知球的半径为R.试在它的内接圆柱体中，求出具有最大侧面积的圆柱体的底半径与高13. 设有由电动势E ,内阻r与外阻R所构成的闭合电路（见图）.问当E与r已知时， 于多少才能使电功率最大？提示：电流I =ER + rH电功率P = I 2R.14.确定下列各函数的凹凸性与拐点:3(1) y=x(1X)；X（3）y ；1 +x15. 作出上题中各函数的图形.16. 求下列各曲线在指定点处的曲率:3.1=x ,x =1,x = -；2(1)(2)JI= sin X, X = ,x =0 .2xy =ach- (a 0),最低点;aIX =acost bsint，（a，0）；（0，b）.RAAAA第11题2xy =；ln x12 1 y =- X e22317.求曲线y =2x上点（2,4）处的曲率半径.2Ci18. P为抛物线y = ax +bx上的x=1点.如果P点处的切