完整版一元二次方程归纳总结

1、元二次方程归纳总结21、一元二次方程的一般式：ax bX c0 (a0)，a为二次项系数，b为一次项系数,c为常数项。2、一元二次方程的解法(1)直接开平方法2Xa(a0)解为：X(Xa)2b(b0)解为：Xa(axb)2c(c0)解为：axb(axb)2(cx2d) (a c)解为:axb(cx(也可以使用因式分解法)(2)因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法d)(3)公式法:一元二次方程2ax2 bX c 0 (a 0)，用配方法将其变形为:(X2a)2b2 4ac4a2当4ac当b24ac当b24ac0时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实根:0时，右端是零.因此，方

2、程有两个相等的实根:0时，右端是负数.因此，方程没有实根。Xl,2vb4ac2a2a()2xiX2注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 备注：公式法解方程的步骤：把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式:2ax bx c 0 ( a 0)，并确定出 a、b、求出2b 4ac，并判断方程解的情况。2a代公式：X,2一b一4ac (要注意符号) 3、一元二次方程的根与系数的关系0)的两个根为:2法1 :一元二次方程 ax bX c 0 (aXib 后4ac,X22a所以：Xi X22ab 4ac2ab 4ac b2ab 4b4ac b Jb2

3、4ac ( b)22a(2a)22a4ac4a22定理：如果一元二次方程 axbx c 0 (a 0)定的两个根为X1, X2，那么:法2:如果一元二次方程2axXibx2axbx c 0a(xXi)(XX2X2法3:如果一元二次方程ax2bcX2-, X1X2-aac 0 (a 0)定的两个根为Xi,X2；那么X2) 0两边同时除于a，展开后可得:(Xi X2)X XigX20X1X2b c-；X1 ?X2abX0 (a0)定的两个根为X1,X2 ;那么ax-,2 bx1 c ax22 bx2 c0L常用变形:2X12X2(X10L|X1X2 |得：X, x2(余下略)X2)22xiX2，X

4、2(X1X2)2(X1X2)2 4X1X2，XiX2XX2a/CxX2p4X1X2，2X1X2x12x2 x1 x2(x1X2)，X2X1X1X22 2/ 2X1X2(X1X2)4x1x2练习:【练习112(1) X1【练习21X1X2X1X2若X1, X2是方程X22X2 ；1X1已知关于X的方程x2xX22 (k20071)X0的两个根，试求下列各式的值:(X15)(X25)；|X1k210，根据下列条件，分别求出 k的值.4(1)方程两实根的积为5 ；(2)方程的两实根X1, X2满足| X1 |X2 .2【练习31已知X1, X2是一元二次方程4kx 4kx k0的两个实数根.(1)是

5、否存在实数k，使(2为x2)(x-i 2x2 )成立？若存在，求出 k的值；若不存在,请您说明理由.(2)求使生 生 2的值为整数的实数 k的整数值.X2 X1(1)平均增长率的问题：a(1 x)n b 其中：a为基数,X为增长率，n表示连续增长的次数,4、应用题b表示增长后的数量。(2)面积问题：注意平移思想的使用23 4x y 40 ，则 4x+y的值为5、换元法2 2 2例: (x x) 5(x x) 60解：令y2x 则原方程可化为：y 5y 60 解得：y12y2当x22时，求得:Xi1,X22当x23时，求得:X3,41 y (原方程共有4个解)练习:2x2一元二次方程的解法方法：

6、直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次典型例题:类型一、直接开方法:x2Jm对于 xax m 2 bx等形式均适用直接开方法例1、解方程:1 2x20；2 25 16x2=0；90;例2、解关于x的方程:ax2例3、若9 x2116 x的值为针对练习：下列方程无解的是(A. x23 2x21B.C. 2xD.x29类型二、因式分解法:xx1 xx2Xi,或 xX20 ”, 2方程形式：女如ax mbx方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“- 22 ax a典型例题:例1、 2x x5x3的根为(X152,x2例2、若4x y例3、方程x260的解为(A. X13，X22

7、 B. X13,X22 C. X13,X2D. Xi2，x 2例4、解方程：X22J31 X2Q340X 12 22ab2 4ac4a2例 5、已知 2x 3xy 2y 0I2类型三、配方法 ax bx c 0 a 0在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。典型例题:o例1、试用配方法说明X 2x3的值恒大于0。例2、已知X、y为实数，求代数式X22x 4y 7的最小值2例3、已知Xy2 4x 6y130,X、y为实数，求xy的值。例4、分解因式:4x212x 3类型四、公式法I条件：0,且 b2 4acI公式：b vb2 4ac2a0,且b4ac典型例题:

8、例1、选择适当方法解下列方程: 31 X 26.8.X24x 12 3x 4x 10 3 X 1 3x2x说明：解一元二次方程时, 法；一般不选择配方法。首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式0说明：对于二次三项式 ax求代数式的值;解二元二次方程组。bx c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令ax2 bx c=0,求出两根，再写成ax2 bx c = a(x x1)(x x2).分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去类型五、“降次思想”的应用典型例题:2X 1 3 X21例1、已知 X 3x 2 0，求代数式 的值

9、。例2、如果x2 x 10,那么代数式x3 2x2 7的值。2例3、已知a是一元二次方程 x3x1 0的-根，求a3 2a22 5a 1的值。a21例4、用两种不同的方法解方程组(1)2x y 6,2 2x 5xy 6y 0.2考点四、根的判别式 b2 4ac根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它典型例题:例1、若关于x的方程x22Jkx 10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是例2、关于x的方程mx22mxm0有实数根，则m的取值范围是（）A. mB. mC. m 1D.2例3、已知关于x的方程x2k 0（1）求证：无论k取何值时，若等腰 ABC的一边长为方程总有实数根;

10、1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。2例4、已知二次三项式9x(m6)xm 2是一个完全平方式，试求m的值.例5、m为何值时，方程组x22y2mx6,有两个不同的实数解？有两个相同的实数解?3.考点五、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题;“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题:1、 五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席?2、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少 1，第三年比第二31年减少一，该产品第一年收入资金约400万兀，

11、公司计划二年内不仅要将投入的总资2金全部收回，还要盈利 1，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结3果精确到0.1，J133.61）3、 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出 500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1 ）当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？4、 将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等 于1

12、7cm 2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？ （ 2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3 ）两个正方形的面积之和最小为多少?考点七、根与系数的关系前提：对于axbxc 0而言，当满足a 0、0时,才能用韦达定理。I主要内容：x1X2b-,X1X2a应用：整体代入求值。典型例题：I例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2 8x 70的两根，则这个直角三角形的斜边是（AB.3C.6例2、解方程组:x(1)xyy24;10,y2 10, y 2.2 2例3、已知关于x的方程k x2k 1 x 10有两个不相等的实数根x1, x2

13、，（1 ）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k的值；若不 存在，请说明理由。1 ）时，小明因看错-9和-1。你知道而得到解为例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 常数项，而得到解为 8和2，小红因看错了一次项系数， 原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？2例5、已知a b，a2a 10，b2 2b 1例6、已知是方程2x x 10的两个根，那么一元二次方程的应用题10场，问共有多少个队报名参1、学校举行拔河友谊赛，采用单循环赛形式（即每两个队要比赛一场），计算下来共要比赛 赛？2、为了美化环境，某市加大对绿化的投资.20

14、07年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率.设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为（2A、20x25B、20(1 X) 25C、20(1 x)225220(1 x) 20(1 x)2253、2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机。受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价 a%后售价为148元，下面所列方程正确的是2A 200(1a%)1482B 200(1 a%)148C 200(1 2a%)148D 200(1 a2%)1484、某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全

15、球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元.从2006年到2008年,如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？ （ 2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元?5、中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情，某养鸡场中、一只带病毒的小鸡经过两天的传染后、 患病，在每一天的传染中平均一只鸡传染了几只小鸡？鸡场共有169只小鸡遭感染6、在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80 %，求所截去小正方形的边长。7、要在长32m，宽20m的长方形绿地上修建宽度相同的3条道路，剩下

16、六块绿地面积共 570，问道路宽应为&如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪 ABCD求该矩形草坪BC边的长.9、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出 8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决 定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出 4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？一元二次方程解法复习练习题一元二次方程解法归纳:（3）提取因式法；（4）公式法；（5）因式分解法;（1）直接开方和配方法；（2）求根公

17、式法法；1、(x 2)2252.、2x2 4x 5023、(x 2)210(x2)25024、2x 7x 305、x22(血 1)x 3 2 应6、(x-1)+2x(x-1)=07、2x2-4x-5=08、一 3x2-4x + 4=09、2 ( x - 3) 2+ x2=92 . _10、x12x211、(5x1)3(5x 1)12、 X6x 3013、2x( x 4)214、(x 4)5(x4)15、(x 1)24x216、x 3x 417、3x2+5(2x+1)=018、7x 5x 26 5x1、关于X的方程ax2(3a1)x2(a1)2、A.3、4、(1的值是A. 1 B. 1关于x的一

18、元二次方程B. 8若一元二次方程式A. 2B.已知关于X的方程一元二次方程专题练习题0有两个不相等的实根X1 X2，且有 X1X1X2x21 a，则 aA. 1C. 1已知关于4)6、已知关于X的值.c.X21或一1(m 2)xD.10有两个相等的实数根，则 m的值是(D. 0 或 8ax(x+1)+ (x+1)(x + 2) + bx (x + 2)=2 的两根为 0、2,则X的方程3a + 4b之值为何?C. 72+ bx+ a=0有一个根是一a( a工0)，贝U a b的值为B. 0匚2的值。a的方程X2 222(a1)x a 7a 40的两根为x,、x2，且满足x1x23为3x220.

19、求(k 1) x+k2=0有两个实数根X1，X2. (1)求k的取值范围;(2)若X1X2X1X21，求 k57、先化简，再求值：5，其中X 3.411、2008年10月29日，央行宣布，从10月30日起下调金融机构人民币存款基准利率3.87%下调至3.60%.11月26日，央行宣布，从11月27日,一年期存款基准利率由现行的 连续两次降息.设平均每次存款基准利率下调的百分率为X ,根据以上信息可列方程.其中一年期存款基准利率由现行的3.60%下调至2.52%.短短一个月，A. 3.87% 2.52% 2xB.23.87 1 x2.52c.3.87% 1 x%21.52% D. 2.52% 1

20、 x23.87%升空的骄傲，中央电视台在神七发射期间与“问问”网站联合举办“神七我问问”的活动，网 解答问题，对问题的解答发表评论。小红提了一个问题，几天后她发现有73人次，&为了让国人分享“神七”友可以自由地提出问题，一个解答又恰好有 x人次作出评论，已知包括小红在内，参与该问题讨论的共有x人次作出解答，每9、新年里，一个有若干人的小组，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺年卡共x=72次，此小组的人数是(A) 7( B) 8( C) 9( D) 1010、某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场 赛？设有x个队参赛，则列方程为.赛程计划安排7天，每天安排4场比赛,共有多少个队参211、对于一元二次方程ax bx c 0,下列说话：若a bc,那么方程没有实数根；若b a C,则方程必有一根为-1 :若方程有两个不等的实数根，则方程x2 bxC 0也有两个不等的实数根.其中正确的是A. B. C. D.12、已知一元二次方程 x2+bx+c=0的一根为X1=1,另一根为1 X2V 2,给出下列结论:1 c