完整版勾股定理知识点及典型例题

1、实用标准文案八下第18章勾股定理勾股定理知识点导航一、勾股定理:a， b，斜边长为C，那么1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a2+ b2= C2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2 + b2 = c2,那么这个三角形是直角三角形。2.勾股数：满足 a2+ b2 = C2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a， b，c、为勾股数，那么 ka，kb，kc同样也是勾股数组。）* 附：常见勾股数：3,4,5 ; 6,8,10 ; 9,12,15 ; 5,12,1

2、33.判断直角三角形:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90的三角形是直角三角形。(2)有两个角互余的三角形是直角三角形。文档用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是:（1）确定最大边（不妨设为 C）； （2）若c2 = 3 +孑，则 ABC是以/ C为直角的三角形;c为最大边）；C为最大边）若a2+ b2 C2,则此三角形为锐角三角形（其中4. 注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（3 ）在直角三

3、角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。5.勾股定理的作用:（1）已知直角三角形的两边求第三边。（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关系的问题。（4）利用勾股定理，作出长为jn的线段6、2、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法ba7、错误的描述方法：“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形勾股定理:(一)结合三角形:1.已知ABC的三边 a、b、c满足(a b)2 (b c)20，则 abc为三角形2.在ABC中，若 a = ( b+c)( b- c)，则 ABC是三角形，且903.在4、已知

4、卜12|x y 25 与 z210z25互为相反数，试判断以 x、y、z为三边的三角形的ABC中，AB=13 AC=15,高 AD=12 贝U BC的长为形状。5、.已知：在 ABC中，三条边长分别为a = n 1， b=2 n，c = n 1 ( n 1)试说明：C=90。6.若 ABC的三边a、b、c满足条件a2 b233810a24b 26c，试判断 abc 的形状。7.已知 Ja 62|b 8 (c 10)20,则以b、c为边的三角形是(二)、实际应用:1.梯子滑动问题:(1) 一架长2.5 m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7 m (如图)，如果梯子的顶端沿墙下滑0.

5、4 m，那么梯子底端将向左滑动 米第3题图(2)下滑8米，如果梯子的顶端如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为，“等于”，或“小于”)A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB1米，那么，梯子底端的滑动距离1 米，(填“大于”如图，梯子 AB斜靠在墙面上，AC1 BC, AC=BC当梯子的顶端(3)方向滑动y米，则x与y的大小关系是(A. X+y B. xy C. x y D.不能确定(4) 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为米1 m,当他把绳子的下端拉开5米2.直角边与斜边和斜边上的高的关系:直角

6、三角形两直角边长为a，b，斜边上的高为h则下列式子总能成立的是(. , ,2 2 . 2A. ab b B. a,2 2b 2h C.111D.abh1a21h2变：如图,在 Rt ABC中，/ACB=90 ,求证:(1)(2)12aa1b cb， h， c h(3)为三边的三角形是直角三角形试一试：(1)只需证明h21a2古)1，从左边推到到右边(2)(3)h22c h ，注意面积关系ab ch的应用3.爬行距离最短问题:1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm,得到C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙(盒壁的忽略不计)(1)假设昆虫甲在顶点Ci处静止不动，如图a，在盒子的内部

7、我们先取棱 BBi的中点E,再连结AE、ECi，昆虫乙如果沿途径 A EC1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理,并在图b中画一条路径，使昆虫乙从顶点 A沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。(2)如图b，假设昆虫甲从点C1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿 C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点 A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？试一试：对于(2)，当昆虫甲从顶点沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行,利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间niA1A1Ub2. 如图，一块砖宽

8、 AN=5cm，长 ND=10cm，CD上的点 F距地面的高 FD=8cm，地面上 吃食，要爬行的最短路线是3. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2 dm，a和b是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到 B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到 B点的最短路程是分米？4. 如图，一只蚂蚁沿边长为 a的正方体表面从点 A爬到点B,则它走过的路程最短为(A处的一只蚂蚁到 B处cmA.罷 a B.142 aC.3aD.J5a5、如图，壁虎在一座底面半径为它发现在自己的正上方油罐上边B缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是

9、绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击.结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫 ？（n取3）6、如图为一棱长为 3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬Z/Z行2cm,则它从下地面 A点沿表面爬行至右侧面的 B点，最少要花几秒钟?7葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，它还有一手绝招,就是它绕树盘升的路线，总是沿着短路线一盘旋前进的。难道植物也懂得数学吗?如果阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗?如果树的周长为3 cm绕一圈升高4cm则它爬行路程是多少厘

10、米?如果树的周长为8 cm绕一圈爬行10cm,则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米?8如图，A、B是笔直公路I同侧的两个村庄,且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m，两村庄之间的距离为 d（已知d2=400000m），现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。冋最小是多少?4、实际问题1.小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了 500米，看到了一棵红叶树， 这棵红叶树离地面的高度是米。2.如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4J3米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。3. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固

11、定，两个固定点之间的距离是。4. 如图，欲测量松花江的宽度， 沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点 A,使AC垂直江岸，测得BC= 50米,/ B= 60，则江面的宽度为 。5、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80 米,假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少?5、求边长:1.如图所示，在四边形 ABCD中，/ BAD=900，/ DBC=9C0，AD=3 AB=4, BC=1

12、2 求 CD6、方向问题:1. 有一次，小明坐着轮船由 A点出发沿正东方向 AN航行，在A点望湖中小岛 M测得/ MAN= 30,当他 到B点时，测得/ MBN= 45, AB= 100米，你能算出 AM的长吗？2. 一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米.此时轮船离开出发点多少 km?若轮船每航行1km,需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升7、折叠问题:DE的长是1.如图，矩形纸片 ABCD的长AD=9cm,宽多少？2.如图，在长方形 ABCD中，将 ABC沿AC对折至 AEC位置，CE与AD交于点F。（1）试说明：AF=FC（ 2）如

13、果AB=3, BC=4,求AF的长3.如图，在长方形 ABCD中, DC=5在DC边上存在一点 E,沿直线AE把ABC折叠，使点D恰好在BC边上, 设此点为尸，若 ABF的面积为30,求折叠的 AED的面积D4.如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边 现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边 你能求出CD的长吗？5.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6 BC=8将 ABC折叠，使点 B与点A重合，折痕为DE则CD等于（）A.425 B.丝 C. 7d. 5436、如图,矩形纸片形纸片沿AE折叠,DABCD的边 AB=10cm BC=6cm E 为 BC上一点，将矩点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.DCiE/ ” AS8利用勾股定理测量长度如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池AD的深度AC.9、旋转问题1、如图，P是等边三角形 ABC内一点，P A=2 ,P B=2j3, PC=4,求 ABC的边长。2、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD长为8cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板 PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上