完整word版数值计算方法试题集及答案资料

1、01数值计算方法复习试题11、填空题:,则A的LU分解为答案:3、f(1)1,11/4014/1512, f115/40156/151，则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为拉格朗日插值多项式为2)L2(x)-(x 2)(x 3)2(x 1)(x 3)-(x 1)(x答案：-1,2丿2、八丿 八)2、八4、近似值X* 0.231关于真值x 0.229有(2 )位有效数字;5、设f(x)可微,求方程x f(x)的牛顿迭代格式是(xn1 xn答案1 f(Xn)&对 f(x)X3 x 1,差商 f0,1,2,3(1),f 0,1,2340)；7、计算方法主要研究( 截断)误差和( 舍入 )误差;8

2、、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为10、已知 f(1) = 2,f(2) = 3,4)= 5.9,则二次 Newton 插值多项式中 x11、解线性方程组2系数为(0.15 )；Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均12、不为零)。为了使计算达式改写为_ y 10(310(44623(x 1) (x 1)的乘除法次数尽量地少，应将该表1x 1_，为了减少舍入误差，应将表达式V200T J1999 改写为72001。13、3用二分法求方程f(x) x x 10在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区间为0.5, 1，进行两步

3、后根的所在区间为0.5, 0.7514、求解方程组3X1 5X2 1xL (1 5x2k)/30.2X1 4X2 0的高斯一塞德尔迭代格式为_ xJx,)/20 _，该迭15、16、1代格式的迭代矩阵的谱半径(M)=12设 f(0)0, f(1)16, f (2)46,则 li(x)插值多项式为求积公式ali(x)x(x 2), f(x)的二次牛顿N2(x)16x 7x(x 1)。bf(x)dxnAkf(xk)k 0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高,7有(2n 1)次代数精度。21、如果用二分法求方程 次。x3x 40在区间1,2内的根精确到三位小数，需对分(10S(x)22、已知a=(3

4、)，23、l0(X),l1(X),nlk(x)k 024、25、区间26、3x扣b=(1)3a(x 1)2 b(x,ln(x)是以整数点)，c=(X0,X1,nXklj(Xk) xk 0(Xj )，当 n1) c 11,Xn为节点的na,b上的三次样条插值函数 S(x)在a,b变函数 f(x) Jx 1 Jx ( x13是三次样条函数，则Lagra nge插值基函数，则(xkxk0上具有直到3)lk(x)(阶的连续导数。1 )的形式，使计算结果忑。27、若用二分法求方程f x 0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。1028写出求解方程组x11.6X210.4x1X2 2 的

5、 Gauss-Seidel 迭代公式k 1X1X2k 1k20.4x1k 111.6x2,k 0,1,1.631、设，则IA32、设矩阵33、若 f（x）34、线性方程组3x42x，迭代矩阵为_0.64，此迭代法是否收敛收敛_。1011211036、设矩阵二、单项选择题:1、2、4、C.5、A.的A LU，则U ，则差商 f 2,4,8,16,321523的最小二乘解为分解为A LU，则UJacobi迭代法解方程组Ax b的必要条件是A . A的各阶顺序主子式不为零c.aii0,i1,2, ,n7，则（A）为（C ).D.C.7求解线性方程组对称阵任意阵舍入误差是只取有限位数(A)|A|110

6、3212Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是（B ）。B.正定矩阵D .各阶顺序主子式均不为零A ）产生的误差。B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D .数学模型准确值与实际值6、3.141580是n的有(B )位有效数字的近似值。7、用1+x近似表示e所产生的误差是( C模型C.截断8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A ) 0A. 控制舍入误差B. 减小方法误差C. 防止计算时溢出x9、用1+3近似表示殳x所产生的误差是(B.观测C.模型10、-324. 7500是舍入得到的近似值，它有()位有效数字。11、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=

7、4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A )oA .-0 . 5D .-212、三点的高斯型求积公式的代数精度为)。13、( D )的3位有效数字是0.236X 102。(A) 0.0023549 X 103(B) 2354.82 X 10-2(C) 235.418 (D) 235.54X 10- 114、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根,把方程f(x)=0表示成x= (x),则f(x)=0的根是(B )o(A) y= (x)与x轴交点的横坐标(B) y=x与y= (x)交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标(D) y=x与y= (x)的交点15、用列主元消去法解线性方程组3x1X1

8、4X1x2 4x312x2 9X303x2 X31，第1次消元，选择主元为(A) - 4(B) 3(C) 4(D) - 916、拉格朗日插值多项式的余项是(B)，牛顿插值多项式的余项是(C ) 0(A) f(x,x0,x1,x2,xnx(x(x x2)(x xn 1)(x xn),1039X00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25）。（4）五次所确定的插值多项式的次数是（1）二次；（2）三次;（3）四次；Rn(x) f(x)(B)Pn(x)占(n 1)!(C) f(x,x0,x1,x2.,xn)X0)(x x1)(x x2)(Xxn 1)(x xn)，n1(X)Rn

9、（X） f （X）（D）18、用牛顿切线法解方程f（x）=0，选初始值x0满足（A），则它的解数列xnn=0,1,2,Pn(X)一定收敛到方程f（x）=0的根。(A)f(X0)f(x) 0(B)f(X0)f(x) 0(C)f(X0)f(x) 0(D) f (x。)f (x) 019、为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（A ）。2X(A)1,迭代公式：Xk 1X 1x(B)丄,迭代公式:xk 1X12Xk3(C)xX2 ,迭代公式:Xk 1(12,1/3Xk)3x(D)X2,迭代公式：Xk 1x22XkXk21、解

10、方程组（1）（A）23、有下列数表Ax1b的简单迭代格式（B） 1,x（k 1）Bx(k)(A)g收敛的充要条件是（1,（B） 125、取虫1.732计算x（虫 1，下列方法中哪种最好？（16)16(D)血 1)4。Xi11.522.533.5f(Xi)-10.52.55.08.011.5(B) (43 ；(D) 2。(B)4 ；(C)亦的(C) (4 273)2 ；)（A） 281/3 ；27、由下列数表进行 Newt on插值，所确定的插值多项式的最高次数是（(A)5 ；29、计算Xk 1(A)XkNewton迭代格式为（3XkXk 1Xk ； (B)2)32Xk；(C)Xk ； (D)X

11、k 1Xk 33 Xk。30、用二分法求方程X* 3 4x2100在区间1,2内的实根，要求误差限为次数至少为（）（A）10 ；（B）12 ；，则对分(C)8;(D)9。32、设 li（x）是以 Xk k（k（A） x ；（ B）35、已知方程X 2x0,1丄，9）为节点的Lagrange插值基函数，则（C）i ；（ D）1。0在X 2附近有根，下列迭代格式中在Jkli(k)k 0Xo2不收敛的是（2X：3x2)52OX01234f(x)1243-55.(B)Xk 1Xk(D)（A）Xk1 V2xk 5 ；36、由下列数据223Xk ；(C) Xk 1 xk xk确定的唯一插值多项式的次数为（

12、）（A） 4；（B）2 ；（C）1 ；（D）3。三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）1、已知观察值（Xi，yi） （i 012， ，m）,用最小二乘法求n次拟合多项式Pn（x）时,Pn（x）的次数n可以任意取。2X2、用1- 2近似表示cos产生舍入误差。5、矩阵A=1、用高斯-塞德尔方法解方程组求按五位有效数字计算）。4x12X2X311X14X22X3182x1X25X322，取X(0)（OO”，迭代四次（要(XXo )( XX2 )#答案：迭代格式x(k 1)x1-(1142x2k)xV)(k 1)X21 (184X1(k 1)2x3k)x3k 1)(222x1(k 1)x2

13、k 1)kX1(k)x2k)X3k)000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.7019)2、已知Xi1345f (Xi)2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f（X）的三次插值多项式P3（x），并求f（2）的近似值（保留四位小数）。L2(x3)(x4)(x56(x1)(x4)(x5)答案： (13)(14)(15)(31)(34)(35)5(x1)(x3)(x5)4(x1)(x3)(x4)(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表为Xiyi一阶均差二阶均差三阶均差

14、1236245-1-154-10141P3(x)N3(x) 2 2(x 1) (X 1)(x 3) -(X 1)(x 3)(x 4)5、已知f(2)P3(2) 5.5Xi-2 -1f(Xi)求f（x）的二次拟合曲线P2（x），并求f （0）的近似值。答案：解:正规方程组为P2(X)103一 一x71011 2一x145ao10a21510a1310ao34a241a。10 =，a13P2(X)31011,a2 14f (0)P 2(0)11 一x7310iXiVi2Xi3Xi4 XiXi Vi2Xi Vi0-244-816-8161-121-11-22201000003131113342548

15、16102001510034341156、已知sinx区间0.4，0.8的函数表xi0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值,如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解： 应选三个节点，使误差|R2(x)|Ms| 3(x)|尽量小，即应使丨彳仪尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5,0.6,0.7最好，实际计算结果sinO .63891 0.596274,Sin0.638910.596274(0.638910.5)(0.6389190.6)(0.638910.7

16、)0.55032 10x7、构造求解方程e10x 2 0的根的迭代格式xn 1(Xn), n O,1,2,，讨论其收敛性，并将根求出来,|Xn 1 xn I10 4o答案：解：令f(x)10x2,f(0)20,f (1)10 e 0且 f (x) ex 10f(x)0在(0,1)内有唯一实根.将方程f(x) 0变形为律2ex)则当x (0,1)时(x)1110(2x)| (x)|x e10故迭代格式xn1 宀收敛。取x0 O.5，计算结果列表如下:n0123xn0.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567xn0.090 595 9930.090

17、 517 3400.090 525 9500.090 525 008且满足 |X7 x6 | 0.000 000 95 10 6 所以 x*0.090525 0088、利用矩阵的LUX12X23X3142x15X22X3183x1X25X3202314124LU分解法解方程组12答案：解:令 Ly b 得 y (14, 10, 72)tUx(1,2,3)T3x110X19、对方程组2X12X2 10x34X2X310X2 4X31558(1)试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由;(2)取初值x(0)(OQoT ,利用(1 )中建立的迭代公式求解，要求|x(k 1) x(k)|10 3

18、解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优10x14X2X352x110X24X383x12X210X315故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛.迭代格式为x1k1)(kx21)x3k1)10(丄(2x1(k 1)101-(3x1(k 1)1014x2“2x2k 1)x3k) 5)4x3k) 8)15)取x(0)(OOOF,经7步迭代可得:10、已知下列实验数据X* x(7)(0.999 991 459, 0.999 950 326,1.000 010)tXi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当0VXV1时,f（X）

19、eX,则f（X） e1，且 0eXdX有一位整数.要求近似值有5位有效数字，只须误差R1(n)(f)10 4R1(n)(f)(b a)312n2，只要R1(n)(eX)e12n2e12n210 4即可,10267.30877所以n 68，因此至少需将0,1 68 等份。11、用列主元素消元法求解方程组X1X2X341211解:41211r1r212411211 -1 55431254312r20128r2301317925555553_1013179012855555551 2 135431230131795555501313回代得X31,X26, X13012、取节点X00,X10.5, X

20、21 ,求函数f(X)X e在区间0,1上的二次插值多项式R（x），并估计误差。取X0=1.7,列表如下:n123Xn1.732351.732051.73205解:B(x) e(X 0.5)(x 1)e 0.5e(0 0.5)(0 1)(X 0)(x 1)_1)(0.5 0)(0.5(x 0)( x0.5)(1 0)(1 0.5)0.5)(X 1) 4e 0.5x(x 1)15、又 f(x) e故截断误差X,f2(x(x) eX，M3max I f(x)| 1|R2(x)| |e x R(x)| glxd 0.5)( X用牛顿(切线)法求JW的近似值。取X0=1.7,计算三次,解：73是 f(

21、x) X23 *0的正根,Xn 1 Xnxn 32Xn12e x(x 0.5)1)l保留五位小数。f(X)2x，牛顿迭代公式为Xn 1Xn2 2I- (n O12)16、已知f (-1)=2, f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1, 5)的近似值, 取五位小数。解:L2(x) 2(X 1)(X 2)(1 1)( 1 2)3(X 1)(x 2) 4(X 1)(x 1)(1 1)(1 2) (2 1)(21)|(x 1)(x 2)334-(X 1)(x 2) -(X 1)(x23丄24f(1.5)L2(1.5)0.041671)X1X2x3系数矩阵x(0)=(

22、0,0,0)T,20、解:严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.kx(k)X1x2k)x3k)11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.526列表计算如下：Xi19253038yi19.032.349.073.3（8分）用最小二乘法求形如y a bx?的经验公式拟合以下数据:sp an1, x21111192252312382解方程组 AtAC ATyat19.032.3 49.0 73.3其中ata433913391 3529603ATy173.6179980.7C解得：0.92555770.0501025 所以0.92555

23、77， b 0.0501025322、（ 15分）方程x1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式(1)x vx 1对应迭代格式Xn 13迭代格式Xn 1 Xn 精确到小数点后第三位。J1 -Xn 1Y x对应迭代格式。判断迭代格式在Xo 1.5的收敛性，选一种收敛格式计算 X 1.5附近的根,咎Xn1 ； (2)x1*YXn ；( 3)X X31对应1）（W 0.181，故收敛;1(x)23(3)(X)(1.5)0.171,故收敛;3x2选择(1): Xo1.5(1.53 1.52Xi 1.3572 x21，故发散。1.3309 X31.3259X41.3249x51.32476x61.3

24、247223、( 8分)已知方程组 AX43，其中243024(1)(2)Gauss-Seidel迭代法的分量形式。列出Jacobi迭代法和求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。1)(24 3x2k)42(30 3X1 x3k)41)x2k 1)x3k解：Jacobi迭代法:1(24 宀0,1,23Gauss-Seidel 迭代法:BjD 1(L U)X1(kx2k 1)x3k1)-(24 3x2)4(30 3x1(k1)x3k)41)(24 x2k1)40,1,23(Bj)4)0.79056931、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算山15的近似值,并利用余项估计误差。用N

25、ewton插值方法：差分表:1001012111144120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555x 3x58115 100 115 121 115 144 3!1 35100 37、（ 15分）已知方程组 Ax （1）写出该方程组的 Jacobi 15 6 29 0.00163 682933、（10 分）用Gauss列主元消去法解方程组:xi 4X22X324343x1 x22x1 6x2X3273.00001.0000 5.000034.00000.00003.6667 0.333312.66670.00005.3333 -2.33334.33333.00001.0000 5.000034.00000.00005.3333 -2.33334.33330.0 0000 1.9375 9.6875X 2.0000,3.0000,5.0000 TX1X2的最小二乘解。34、（8分）求方程组X11.3333AT A X ATb 614X2202.0000若用Householder变换,则:1.732053.464104.61880A,b0.366031.520731.366032.520731.732053.464104.