小学奥数7 5 2组合的基本应用二专项练习及答案解析

1、7-5-2.组合的基本应用（二）7-5-2.组合的基本应用（二）.题库教师版Page of 10帥血巨教学目标1. 使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2. 了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3. 掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4. 会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些 组合技巧，如排除法、插板法等.知识要点、组合问题日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人

2、参加某项活动等等.这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少 种分组方法的问题.一般地，从n个不同元素中取出m个（mn）元素组成一组不计较组内各元素的次序,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关如果两个组合中的元 素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才 是不同的组合.从n个不同元素中取出 m个元素（mcc2 =2x9 =30 （条）射线;2x1 从共线的6点与不共线的6点中各取一个点可以确定 6x6x2 =72（条）射线. 根据加法原理，可以

3、确定 10+30+72 =112（条）射线.【答案】200112【巩固】如图，问： 图1中，共有多少条线段？【解析】A C1 C2C3C4C5 B图1【考点】组合之基本运用【难度】1星 在线段AB上共有7个点（包括端点 A、B ）.只要在这七个点中选出两个点，就有而 C2表示从7个点中取两个不一条以这两个点为端点的线段，所以，这是一个组合问题,c2条线段.同点的所有取法，每种取法可以确定一条线段，所以共有2 由组合数公式知，共有 C；=二 =匸竺=21（条）不同的线段；F222 X1 从0点出发的射线一共有11条，它们是OA， OF，OF2，OP3，OF9，0B .注意到每两条射线可以形成一个

4、角，所以，只要看从11条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角.显然，是组合问题，共有c：种不同的取法，所以，可组成 g2个角.2P22X12 C11 =55【答案】C2 =21由组合数公式知，共有 c；个）不同的角.模块二、组合之应用题【例3】【解析】6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？【考点】组合之基本运用【难度】1星这与课前挑战的情景是类似的.因为两个人握手是相互的，只与握手的两个人的选取有关而与两个人的顺序无关，所以这是个组合问题.由组合数公式知， c6=15（次）.所以一共握手15次.2X1【题型】解答6个朋友每两人握手一次，握手次数【答案】15【巩固】【解析】某班毕业

5、生中有20名同学相见了，他们互相都握了一次手, 【考点】组合之基本运用【难度】1星C0 =2=190（次）.2X1【答案】C；。=190问这次聚会大家一共握了多少次手? 【题型】解答【例4】【解析】学校开设6门任意选修课，要求每个学生从中选学【考点】组合之基本运用【难度】2星被选中的3门排列顺序不予考虑，所以这是个组合问题.3门，共有多少种不同的选法? 【题型】解答【例5】由组合数公式知，C；=空竺4 =20 (种).3x2x1所以共有20种不同的选法.【答案】Ce =201个，只用砝码和一架已经调节平衡了的天平，能称出3星【题型】填空5题有2克，5克,20克的砝码各不同的质量。【考点】组合之

6、基本运用【难度】【关键词】希望杯，五年级，一试，第【解析】7+6=13 (种)不同的质量。第一大类：砝码只放一边。共有 c1 + c3 =3 +3 +1=7或者23 _1 =7 (种)；第二大类：两 边都放砝码。再分类：两边各放一个，共有 C|种；一边放两个一边放一个有 C1或者C32种。所以这一大 类共有C3 + Cf =3 +3 =6 (种)。根据加法原理，共能称出【答案】13种【例6】工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这一共有多少种不同的抽法？抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？【难度】3星10件产品中任意抽出 3件进行检查，问:

7、【解析】【例7】【解析】【例8】【解析】(1)(2)(3)【考点】组合之基本运用【题型】解答(1)从10件产品中抽出3件，抽法总数为G。错误！未找到引用源。=120 (种)(2) 3件中恰好一件次品，那么还有两件正常品.抽法总数为 错误！未找到引用源。X错误！未找到引用源。 =56 (种)(3) 与“至少有一件是次品”互补的事件是“全都不是次品”全都不是次品的抽法总数为 C3错误！未找到引用源。=56 (种) 所以至少有一件次品的抽法总数为120-56=64 (种).【答案】(1) 120(2) 56( 3) 64200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取 4件，按下列条件，各有多少种不同的抽

8、法 (只 要求列式)？都不是次品；至少有1件次品；不都是次品.【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答第题：与顺序无关；都不是次品，即全部都是正品，正品有195件.第题：与顺序无关；至少有1件次品，即有1件次品、2件次品、3件次品、4件次品等四类情况，次品共 5件.可用直接法 解答，也可用间接法解答.第题：与顺序无关；不都是次品，即至少有1件是正品.都不是次品，即全部为正品.C195 种.1件次品，包括1件、2件、3件、4件次品的情况.(G395C5 +G295C； +C1195C； +C54)种(或(C；00 C1495)种).1件正品.共有抽法至少有共有抽法不都是次品，即至少有共有抽

9、法(G95C5 +C195C5 +C195C5 +C195)种(或(C200 C5)种).【答案】C195(C20 C195)44（C200 -Cs）某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，站成一排，有多少种站法？ 【考点】组合之基本运用【难度】3星要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与三名同学被选出 的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有C：2种不同的选法.要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有P42种不同的站法.问共有多少种选法？如果在 42人中选3人【题型】解答

10、#7-5-2.组合的基本应用(二).题库教师版Page of1O【例16】【解析】【例10】【解析】【例11】【解析】由组合数公式，共有cph42需2=11480（种）不同的选法;由排列数公式，共有 卩4； =4241x40=68880（种）不同的站法.【答案】P4| =68880将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排，要求三盘红花互不相邻，共有 种不同的方法.【考点】组合之基本运用【关键词】希望杯，1试【难度】1星【题型】解答因为三盘红花不能相邻，所以可以先将四盘黄花摆好，红花只能摆在黄花之间或者黄花的两边.这样共有5个空，每个空最多只能放一盘红花，相当于从5个元素中取出3个，所以共有c

11、3=聖竺=101X 2咒3种不同的放法.【答案】c3 =10在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排 4个人，且前后对齐.而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住.一共有多少种不同的排队方法？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答因为所有人的身高两两不同，所以只要确定了位于同一列的两个人是谁，也就确定了他们的前后关系.所以排队方法总数为：Cs=28X15X6 =2520 （种）.【答案】2520在一次考试的选做题部分，要求在第一题的4个小题中选做3个小题，在第二题的3个小题中选做2个小题，在第三题的 2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法？【考点】

12、组合之基本运用【难度】1星【题型】解答由于选做的题目只与选取的题目有关，而与题目的顺序无关， 所以在三道题中选题都是组合问题.d夕空=4（种）选法；3X2X1=空=3（种）选法；2X12X1 =2（种）选法.1第一题中,第二题中,第三题中,4个小题中选做3个小题中选做2个小题中选做3个，有2个，有1个，有C；根据乘法原理，一共有 4X3X2 =24（种）不同的选法.【答案】24【例12】【解析】某年级6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法 有多少种？【考点】组合之基本运用分三步进行：【难度】3星【题型】解答第一步，取两个班分配给甲，与先后顺序无关，是组合问题

13、，有第二步，从余下的4个班中选取两个班给乙，有C4c6=-=15（种）选法;2X1=_ =6 （种）选法；2X111-5-2.组合的基本应用（二）.题库教师版Page of 10第三步，剩余的两个班给丙，有1种选法.根据乘法原理，一共有15X6X1=90（种）不同的分配方法.【答案】90【例13】将19枚棋子放入5咒5的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为奇数个，那么共有 种不同的放法.【解析】【例14】【考点】组合之基本运用【关键词】迎春杯，高年级，初赛5咒5的方格网共有25个方格，放入19枚棋子，说明还有 6个空格.由于棋子的数目较多， 直 接考虑棋子比较困难，可以

14、反过来考虑6个空格由于每行每列的棋子个数均为奇数个，而每行每列都有5个方格，说明每行每列的空格数都是偶数个.那么每行每列的空格数可能为0, 2或4.如果有某一行或某一列的空格数为 4个，为保证每行每列的空格数都是偶数个，那么这4个空格所在的列或行都至少还有另外1枚棋子，这样至少有 8个空格，与题意不符，所以每行每列的空格数不能为4个，只能为0个或2个则肯定是某3行和某3列中每行每列各有 2个空格，如下： O0口。口其中表示空格，O表示有棋子的方格，其它的方格则全部有棋子.选择有空格的3行3列有C； xc； =10X10=100种选法，在这3行3列中选择6个空格(也相当于每行每 列选择1【答案】

15、【难度】2星【题型】解答枚棋子)有3x2x1 =6种选法，所以总共有100x6=600种不同的放法.600是黄气球甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型的气球，共3串，有一串是红气球 3个，有一串2个，有一串是绿气球 4个，而且每次射击必须射最下面的气球，问有多少种不同的射法？红 黄 绿【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】9个物根据射击规则，任意一种打法都对应三个红色气球，二个黄色气球，四个绿色气球，即体的排列，当然有 9X8X7X 6X5X4 X3X2X1种排列方法.但是，其中三个红色气球是不能随意排列的，应该是固定由下到上的，而上面却包括了它的随意排列的 情况，所以应该除

16、以 3X2X1，其他黄色气球、绿色气球依此类推.所以共有射击方法：(9 X8X7X6X5X4X3X2X1)* (3X2X1)*(2X1)- (4X3X 2x1)= (9X8X7X6X5X4) -(2 X 1) + (4 X3X2X1)=1260(币申).本题也可以这样想：任意一种打法都对应9个物体的排列，从中先选出3个位置给红色气球，有 Cg种选法；这3个红色气球的顺序是固定的，所以它们之间只有一种排列顺序；再从剩下的6个位置中选出2个给黄色气球，有C；种选法；它们之间也只有一种排列顺序；剩下的4个位置给绿色气球， 它们之间也只有一种排列顺序.所以，根据乘法原理，共有=1260种不同的射法.【

17、答案】1260【例15】【解析】某池塘中有 A B、C三只游船，A船可乘坐3人，B船可乘坐2人，C船可乘坐1人，今有3 个成人和2个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他 们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答由于有儿童乘坐的游船上必须至少有 1个成人陪同，所以儿童不能乘坐若这5人都不乘坐C船，则恰好坐满A B两船，若两个儿童在同一条船上， 船上还必须有1个成人，有c3=3种方法；若两个儿童不在同一条船上， 船上有 法.故C船.只能在A船上，此时A 即分别在A、B两船上，则B 1个儿童和1个成人，

18、1个儿童有c2=2种选择，1个成人有c3=3种选择，所以有2咒3 = 6种方 5人都不乘坐C船有3 +6 =9种安全方法；若这5人中有1人乘坐C船，这个人必定是个成人，有 c3 =3种选择.其余的2个成人与2个儿童， 若两个儿童在同一条船上，只能在 A船上，此时A船上还必须有1个成人，有C； =2种方法，所以此时有3咒2=6种方法；若两个儿童不在同一条船上， 那么B船上有1个儿童和1个成人，此时1个儿童和1 个成人均有C2 =2种选择，所以此种情况下有 3x2x2=12种方法；故5人中有1人乘坐C船有6 +12=18 种安全方法.所以，共有9+18=27种安全乘法.【答案】27【解析】有蓝色旗

19、3面，黄色旗2面，红色旗1面.这些旗的模样、大小都相同.现在把这些旗挂在一 个旗杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示多少种不同信号?【考点】组合之基本运用按挂旗的面数来分类考虑.第一类：挂一面旗.从蓝、第二类：挂两面旗.按颜色分成：红【难度】2星【题型】解答黄、红中分别取一面，可以表示3种不同信号；+黄（P； =2种）；红+蓝（P22 =2种）；黄+蓝（P22 =2种）；黄+黄（1种）；蓝+蓝（1种）；共8种；第三类：挂三面旗.按颜色分类：红+蓝+蓝（C3 =3种）；红+黄+黄（c3=3种）；红+黄+蓝（P33 =6 种）；黄+黄+蓝（C3 =3

20、种）；黄+蓝+蓝（C3 =3种）；蓝+蓝+蓝（1种）；共19种； 第四类：挂四面旗.按颜色分类：红+黄+黄+蓝（c2x2=12或卩44子2=12种）；红+黄+蓝+蓝（C：c2 =12或P：+2=12种）；红+蓝+蓝+蓝（C； =4种）；黄+黄+蓝+蓝（=6种）；黄+蓝 +蓝+蓝（C4 =4种）,共38种；第五类：挂五面旗按颜色分类：红+黄+黄+蓝+蓝（=30种）；红+黄+蓝+蓝+蓝332（C5 X2X1 =20 种）；黄+黄 +蓝+蓝+蓝（C5 XC2 =10 种）,共 60种；第六类：挂六面旗.红 +黄+黄+蓝+蓝+蓝（Cxcfxc1 =60种）.根据加法原理，共可以表示 3+8+19 +

21、38+60+60 =188种不同的信号.【答案】188【例17】从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛.在下列条件下，分别有多少种选法？ 恰有3名女生入选；至少有两名女生入选；某两名女生，某两名男生必须入选； 某两名女生，某两名男生不能同时入选；某两名女生，某两名男生最多入选两人.【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】恰有3名女生入选，说明男生有 5人入选，应为c3C1o =14112种；要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求运用包含与 排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：C188 C180 C170 xc8 =437

22、58 ；4人必须入选，则从剩下的 14人中再选出另外4人，有C144 =1001种；从所有的选法C：8种中减去这4个人同时入选的C；种：G；=43758 1001 =42757 .分三类情况：4人无人入选；4人仅有1人入选；4人中有2人入选，共：C18 +CC14 +C2 a =34749 .【答案】C? XC150 =14112种； C188 G8。一G0 XC8 =43758 ； G； =1001 种； C188 -C14 =43758 1001 =42757 .（5） C： + C4 XC： +C2 咒 C： =34749 .【例18】从4名男生，3名女生中选出3名代表. 不同的选法共有

23、多少种？【解析】【巩固】【解析】“至少有一名女生”的不同选法共有多少种？“代表中男、女生都要有”的不同选法共有多少种？ 【考点】组合之基本运用【难度】3星 相当于从7名学生中任意选3名，不同的选法有 方法一：可以分成三类:选1名女生，选2名男生.由乘法原理，有C3C42选2名女生,选3名女生, 根据加法原理,选1名男生.由乘法原理，有1种选法.c4男生不选，有“至少有一名女生”的不同选法有【题型】解答雳=空仝2=35（种）.3X 2x1=3x竺3 =18（种）选法; 2x1= X4=12（种）选法;2x118+12+1=31（种）.=7咒5 =35（种）选法；考3X 2 咒 1虑一个女生都不选

24、的情况，则 3名代表全产生于男生中，有 C： =4心2=4 （种）选法，所以， 3x2x1至少选一名女生的选法有 35-4=31种，这种“去杂法”做起来也比较简单.方法二：先不考虑对女生的特殊要求，从从7名学生中任意选3名，有c3“代表中男、女生都要有”1名男生,2名男生,2名女生，由乘法原理，有1名女生，由乘法原理，有根据加法原理，“代表中男、女生都要有”，可以分成两类：d。；=竺2咒4=12（种）选法; 2X1c3 ci =3X竺3=18（种）选法.2咒1的不同选法共有【小结】选择问题是组合问题中的一类常见问题，法”.【答案】C； =3512+18=30（种）.可根据具体情况从正面考虑或逆

25、向求解，采用“去杂3130在6名内科医生和 4名外科医生中, 医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？ 内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送有3名内科医生和2名外科医生; 既有内科医生，又有外科医生； 至少有一名主任参加；既有主任，又有外科医生.【考点】组合之基本运用【难度】【题型】解答c24星二6空U=20种选法；再从4名外科医生中选2名，共有 3X2X1= 烂 =6种选法根据乘法原理，一共有选派方法20X6 =120种.2X1 先从6名内科医生中选3名，有c3用“去杂法”较方便，先考虑从10名医生中任意选派5人，有CoJOf 8天7心=252种选派方5X4X3X2X1 4人，所

26、以不可能只派外科医=c6 =6种选派方法所以，一共有252-6=246种既有内科医生又法；再考虑只有外科医生或只有内科医生的情况.由于外科医生只有 生.如果只派内科医生，有 有外科医生的选派方法.8名医生要选4人，有2XC4 =2x8X7X6X5 =140种选派方法；如果4X3X2X1选2名主任，则不是主任的8名医生要选3人，有1咒& =仔8咒7X6=56种选派方法.根据加法原理,3X2X1如果选1名主任，则不是主任的一共有140 +56 =196种选派方法.分两类讨论：若选外科主任，则其余 4人可任意选取，有 C4 =9咒8乂7咒6=126种选取方法;4X3X2X1【例19】196191若不

27、选外科主任，则必选内科主任，且剩余4人不能全选内科医生，用“去杂法”有C84 _C亠叱空5 _匕空=65种选取法.4x3x2x14x3x2x1根据加法原理，一共有 126+65=191种选派方法.【解析】【例20】【解析】有 3人会安装音响设备，其余 2人既会安装电脑，又会 组内安装电脑要 3人，安装音响设备要 3人，共有多少在10名学生中，有5人会装电脑，安装音响设备，今选派由 6人组成的安装小组， 种不同的选人方案？【考点】组合之基本运用 按具有双项技术的学生分类：两人都不选派，有 C53 =5如3 =10 （种）选派方法；3x2x1两人中选派1人，有2种选法而针对此人的任务又分两类：【难

28、度】【题型】解答若此人要安装电脑，则还需 2人安装电脑，有c；-5竺=10（种）选法，而另外会安装音响设备的 3人全2X1选派上，只有1种选法.由乘法原理，有 101=10（种）选法；有&=竺2=3（种）选法，需从5人中选32X1若此人安装音响设备， 则还需从3人中选2人安装音响设备，人安装电脑，有 c3 =5X4X3 =10（种）选法.由乘法原理，有3X2X1根据加法原理，有10+30 =40（种）选法； 综上所述，一共有 2x40=80（种）选派方法. 两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下：两人全安装电脑，则还需要从5人中选1人安装电脑，另外会安装音响设备的3人全选上安装音响设备，有51

29、 =5（种）选派方案；3咒10=30（种）选法.两人一个安装电脑，一个安装音响设备，有c2 xcf=60（种）选派方案;2X12X13XC3 =3X竺竺3 =30（种）选派方案.3X2 咒 1根据加法原理，共有 5 +60 + 30=95（种）选派方案.综合以上所述，符合条件的方案一共有10+80+95=185（种）.【答案】1080185两人全安装音响设备，有有11名外语翻译人员，其中 5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外两名英语、日语都 精通从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作问这样的分配名单共可以开出多少张？【考点】组合之基本运

30、用【难度】4星【题型】解答针对两名英语、日语都精通人员 （以下称多面手）的参考情况分成三类：多面手不参加，贝y需从5名英语翻译员中选出 4人，有C4 =C5 =5种选择，需从4名日语翻译员中选 出4人，有1种选择.由乘法原理，有 5天1=5种选择.多面手中有一人入选，有 2种选择，而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能：如果参加英文翻译， 则需从5名英语翻译员中再选出 3人，有c3 =5*3 =10种选择，需从4名日语翻3X2X1译员中选出4人，有1种选择.由乘法原理，有 2X10X1=20种选择；如果参加日文翻译，则需从 5名英语翻译员中选出 4人，有C： =C5 =5种选择，需从4名日语翻译员中 再选出3名，有C； =C； =4种选择由乘法原理，有 2X5X4=40种选择根据加法原理，多面手中有 一人入选，有 20 +40=60种选择. 多面手中两人均入选，对应一种选择，但此时又分三种情况： 两人都译英文；两人都译日文；两人各译一个语种.【答案】120246情况中，还需从5名英语翻译员中选出 2人，有