(完整版)初二级竞赛专题：因式分解

1、初二级竞赛专题：因式分解 一、重要公式 1、a2 b2=(a + b)(a b) ； an 1=(a 1)( an-1 + an-2+ an-3 + + a2 + a+ 1) 2、a22abb2=(ab)2； 2 3、x2+ (a+ b)x + ab=(x + a)(x+ b); 4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2); a3b3=(ab)(a2+ab+b2); 二、因式分解的一般方法及考虑顺序 1 、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法； 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。 3、考虑顺序：(1 )提公因式法； (2)十字相乘法； (

2、3 )公式法； (4 )分组分解法； (5 ) 其它常用方法与技巧(简单概括为： 提十公分)。 三、例题 1 、添项拆项 例1 因式分解：( 1 )x 4 + x2 + 1 ；(2)a3+b3+c33abc (1) 分析：x4 + 1若添上2x2可配成完全平方公式 解：x4+ x2 + 1 = x4+ 2x2 + 1 x2=(x 2+ 1)2 x2=(x 2+ 1 + x)(x2+ 1 X) (2) 分析：a3 + b3要配成(a + b) 3应添上两项3a2b + 3ab2 解：a+ b + c? 3abc a+ 3a+ 3ab 2 + b+ c? 3abc 3a 3ab 2 =(a + b

3、)3+ c33ab(a + b+ c) =(a+b+c)(a+b)2(a+b)c+c23ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2abacbc) 例2因式分解：(1) x311x+20；(2) a5+a+1 ( 1 )分析 ：把中项 11x 拆成 16x+5x 分别与 x5,20 组成两组，则有公因式可 提。(注意这里 16 是完全平方数) 解： x311x+20 x316x+5x+20 x(x216)+5(x+4) =x(x + 4)(x 4) + 5(x + 4) =(x +4)(x24x+5) (2)分析：添上a2和a2两项，分别与a5和a + 1组成两组，正好可以用立方 差

4、公式 解： a5+a+1a5 a2+a2+ a+ 1=a 2(a31)+a2+a+1 =a2(a1)( a2+a+1)+a2+a+1=(a2+a+1)(a3a2+1) 2、待定系数法 例3因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20 解：t2x2+ 3xy 9y2=(2x 3y)(x + 3y),故用待定系数法， 可设 2x2+3xy9y2+14x 3y + 20=(2x 3y+a)(x+3y+b)， 其中a,b是待定的系数，比较右边和左边的x和y两项的系数，得 a 2b 14 3a 3b 3 2 2 2x2+ 3xy 9y2+ 14x 3y + 20=(2x 3y + 4)(x + 3y

5、 + 5) 另解原式=2x2+ (3y + 14)x (9y2 + 3y 20)，这是关于x的二次三项式 常数项可分解为(3y 4)(3y + 5),用待定系数法， 可设 2x2+ (3y + 14)x (9y2 + 3y 20)=mx (3y 4)nx + (3y + 5) 比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=1 2 2 - 2x2 + 3xy 9y2 + 14x 3y + 20=(2x 3y + 4)(x + 3y + 5) 四、填空题 1、两个小朋友的年龄分别为 a和b，已知a2+ ab=99，则a=，b=。 2、 计算：(x + 6)2(x 6)2=。 3、 若 x +

6、y=4，x2+ y2=10，则(x y)2=。 4、分解因式：a2 b2 + 4a + 2b + 3=。 5、分解因式：4x3 31x + 15=。 6、分解因式：x4+ 1987x2+ 1986x + 1987= 五、选择题 7、x2y y2z+ z2x x2z+ y2x + z2y 2xyz 因式分解后的结果是()。 (A) (y z)(x + y)(x z)(B) (y z)(x y)(x + z) (C) (y + z)(x y)(x + z)(D) (y + z)(x + y)(x z) &已知724 1可被40至50之间的两个整数整除，则这两个整数是()。 (A) 41，48( B

7、) 45，47(C) 43，48( D) 41，47 9、n为某一自然数，代入代数式n3 n中计算其值时，四个同学算出如下四个结果, 其中正确的结果只能是()。 (A) 388944(B) 388945(C) 388954(D) 388948 六、将下列各式分解因式 10、 x4+ x2y2 + y411、x4+ 4 12、x4 23x2y2 + y413、x3 + 4x29 9+ XLL+X9 +ex ,6l 卜+ XC+JxL 8LJXg+,x ,9L |+3+00+(二+10+%+%,00 19CXI/ e 卜CXI+2xe6exasL CACXI+ 2 Ax +AXC+CX ,9L oe + XL寸 Jx ，寸l 蕊劉A.x. ch(l a)(lx) 灭军宦咽心疤- OH- +A X AX咽心幣，寸CXI 。迺呂 ErKJBB 寸+Ae+ XUJ+Ex寸+AX 星m/ eCXI LCXIXO+XLLCX /CXICXI OL