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文档简介
1、教学目标2-3-2.加乘原理之数字问题(一).题库教师版Page of 61. 复习乘法原理和加法原理;2. 培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力.3. 让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题,掌握常见的计数方法,会使用这些方法解决问题. 在分类讨论中结合分步分析,在分步分析中结合分类讨论;教师应该明确并强调哪些是分类,哪些是分步.并了解与加、乘原理相关的常见题型:数论类问题、染色问题、图形组合.知识要点一、加乘原理概念生活中常有这样的情况:在做一件事时,有几类不同的方法,在具体做的时候,只要采用其中某一 类中的一种方法就可以完成,并且这几类方法是互不影响的.那么考虑完成这件事所有可能的
2、做法,就 要用到加法原理来解决.还有这样的一种情况:就是在做一件事时,要分几步才能完成,而在完成每一步时,又有几种不同 的方法.要知道完成这件事情共有多少种方法,就要用到乘法原理来解决.二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点:加法原理是把完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和.乘法原理是把一件事分几步完成,这几步缺一不可,所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积.在很多题目中,加法原理和乘法原理都不是单独出现的,这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理,综合分析,正确作出分类和分步.加法原理运用的范围:完成一件
3、事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样 的问题可以使用加法原理解决我们可以简记为:“加法分类,类类独立”.例题精讲乘法原理运用的范围: 这件事要分几个彼此互不影响.的独立步骤 来完成,这几步是完成这件任务缺. 一不可的,这样的问题可以使用乘法原理解决.我们可以简记为:“乘法分步,步步相关”.2, 3可以组成多少个没有重复数字的数?【考点】加乘原理之综合运用【难度】2星【题型】解答【解析】因为有1, 2, 3共3个数字,因此组成的数有 3类:组成一位数;组成二位数;组成三位数.它们的和就是问题所求.组成一位数:有 3个;3种方法;第二组成二位数:由于数字可以重复使用,组成二位
4、数分两步完成;第一步排十位数,有 步排个位数也有3种方法,因此由乘法原理,有 3咒2 =6个;组成三位数:与组成二位数道理相同,有3X2=6个三位数;所以,根据加法原理,一共可组成 3 + 6+6=15个数.【答案】15【例2】【解析】用数字1, 2,3可以组成6个没有重复数字的三位数,这 【考点】加乘原理之综合运用【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,1试(1+2+3) X 2X 111=1332.【答案】13326个数的和是【巩固】【解析】由数字0, 3, 6组成的所有三位数的和是 _【考点】加乘原理之综合运用【难度】2星【关键词】希望杯,四年级,二试,第6题由数字0, 3,
5、6组成的所有三位数有 306, 360, 603,306 +360 +603 +630 =1899。1899O【题型】填空630,它们的和为:【答案】【例3】【考点】【解析】第一类,第二类,第三类,第四类,由数字0,1,3,9可以组成多少个无重复数字的自然数? 加乘原理之综合运用满足条件的数可以分为 4类:一位、 组成0和一位数, 组成二位数,有 组成三位数,有 组成四位数,有由加法原理,一共可以组成【答案】49【难度】2星二位、三位、四位数.有 4个(0不是一位数,最小的一位数是3x3=9 个; 3x3x2 =18 个;3X3X2X1 =18 个.4+9+18+18=49 个数.【题型】解答
6、1);【例4】【解析】用数字0,1, 2,3, 4可以组成多少个小于 1000的自然数?【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答小于1000的自然数有三类.第一类是0和一位数,有5个;第二类是两位数,有4咒5=20个; 第三类是三位数,有 4X5X5=100个,共有5+20+100=125个.【答案】125【例5】【解析】用数码0,1, 2,3, 4,可以组成多少个小于 1000的没有重复数字的自然数?【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答分为三类,一位数时,0和一位数共有5个;二位数时,为4咒4=16个,三位数时,为:4X4X3=48 个,由加法原理,一共可以组成5+1
7、6+48=69个小于1000的没有重复数字的自然数.【答案】69【例6】【解析】用09这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数.【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件:千位上不能排 能排19这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同,下面分别介绍三种解法 两步完成:第一步:从19这九个数中任选一个占据千位,有9种方法;第二步:从余下的 9个数(包括数字 0)中任选3个占据百位、十位、个位, 位有8种,个位有7种方法; 由乘法原理,共有满足条件的四位数 9X 9 X 8 X 7=4536个.(方法二)组成的四位数分为两类: 第一
8、类:不含 0的四位数有9X 8X 7X 6=3024个; 第二类:含0的四位数的组成分为两步:第一步让0占一个位有3种占法,(让0占位只能在百、十、个位上,所以有3种)第二步让其余9个数占位有9X 8X 7种占法.所以含0的四位数有3X 9X 8X 7=1512 个.由加法原理,共有满足条件的四位数3024+1512=4536个.【答案】45360,或说千位上只.(方法一)分百位有 9种.十【巩固】【解析】用0, 1 , 2, 3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数?【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答分为两类:个位数字为 0的有3x2=6个,个位数字为2的有2x2=4个
9、,由加法原理,一共 有:6+4 =10个没有重复数字的四位偶数.【答案】10【例7】在2000到2999这1000个自然数中,有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相【解析】【例8】【解析】【例9】【解析】【例10】【解析】【例11】同的数?【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答若相同的数是2,则另一个2可以出现在个、十、百位中的任一个位置上,剩下的两个位置分 别有9个和8个数可选,有3 X 9 X 8=216 (个);若相同的数是1,有3 X 8= 24 (个);同理,相同的数 是0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9时,各有24个,所以,符合题意的数共有216 +
10、9 X 24=432 (个).【答案】【考点】432在1000至1999这些自然数中个位数大于百位数的有多少个?加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答(方法一)解决计数问题常用分类讨论的方法.设在1000至1999这些自然数中满足条件的数(其中C :a) ; (1)当a=0时,c可取19中的任一个数字,b可取09中的任一个数字,为 1abc于是一 字,于是,30 , 20, 10个符合条件的自然数.所以,符合条件的自然数有(方法二)1000至1999这1000个自然数中,每10个中有一个个位数等于百位数,共有100个;剩余的数中,根据对称性,个位数大于百位数的和百位数大于个位数的一样多,所
11、以总数为 (1 0 00 1 00) =2 个5【答案】450共有910=90个.(2)当a=1时,C可取29中的任一个数字,b仍可取09中的任一个数共有8x10=80个.(3)类似地,当a依次取2, 3, 4, 5, 6, 7, 8时分别有70, 60, 50, 40,90 + 80 + 70 +川 +20 +10 = 450 个.某人忘记了自己的密码数字,只记得是由四个非 打开保险柜至少要试多少次?【考点】加乘原理之综合运用0数码组成,且四个数码之和是9.为确保【难度】3星【题型】解答四个非0数码之和等于2, 4; 1, 2, 3, 3; 2, 2, 2, 第一种中,只要考虑 第二种中,先
12、考虑放 种选择,同理,第三、 其余位置放2,共有9 的组合有 1,1,1, 6; 1,1,2,5; 1,3六种.6可以随意选择四个位置,其余位置方1,共有1, 3, 4; 1, 2,4种选择.1,共有 4X 3=126的位置即可,2,有4种选择,再考虑5的位置,有3种选择,剩下的位置放第四、第五种都有12种选择,最后一种与第一种相似,3的位置有四种选择,4种选择.由加法原理,一共可以组成 4+12+12+12+12+4=56个不同的四位数,即为确保打开保险柜至少要试 56次.【答案】561234567891011 333435,将1到35这35个自然数连续地写在一起,够成了一个大数:则这个大数
13、的位数是 。【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,1试这个数的位数与数码的总共个数有关系,从1到9都是一位数,则共有 9个数码,从10到35全市两位数,则共有 26X2 =52 (个)数码,那么位数就共有9+ 52=61 (位)。【答案】61如图,希望杯数学能力培训教程(四年级)一书有 共出现了 次。160页,在它的页码中,数字“ 2”【题型】填空【解析】【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【关键词】希望杯,4年级,1试十位上是2的有20个(含有22和122),个位上是2的有14个(除了 22和122),所以共有34个数。【答案】34个47-3-2.加乘
14、原理之数字问题(一).题库教师版Page of 6【例12】按照中国篮球职业联赛组委会的规定,各队队员的号码可以选择的范围是 两位数的号码时,每位数字均不能超过(A) 34 (B) 35 (【考点】加乘原理之综合运用 【关键词】华杯赛,初赛,第5.C 40 (【难度】3题那么,可供每支球队选择的号码共(D) 563星【题型】选择055号,但选择个.【解析】根据题意,可供选择的号码可以分为一位数和两位数两大类,其中一位数可以为 种选择;两位数的十位可以为 15,个位可以为05,根据乘法原理,两位数号码有 所以可供选择的号码共有 10+30=40种。【答案】C种09,有 10 5 X 6=30种选
15、择。【例13】【解析】从1到100的所有自然数中,不含有数字4的自然数有多少个?【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答从1到100的所有自然数可分为三大类,即一位数,两位数,三位数.一位数中,不含4的有8个,它们是1、2、3、5、6、7、& 9;两位数中,不含 4的可以这样考虑:十位上,不含 4的有1、2、3、5、6、7、8、9这八种情况个位 上,不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况,要确定一个两位数,可以先取十位数,再取 个位数,应用乘法原理,这时共有 8X9=72个数不含4.三位数只有100.所以一共有8+8x9+1=81个不含4的自然数.【答案】81【巩固】
16、【解析】从1到500的所有自然数中,不含有数字4的自然数有多少个?【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答从1到500的所有自然数可分为三大类,即一位数,两位数,三位数.一位数中,不含4的有8个,它们是1、2、3、5、6、7、& 9;两位数中,不含 4的可以这样考虑:十位上,不含 4的有1、2、3、5、6、7、8、9这八种情况个位 上,不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况,要确定一个两位数,可以先取十位数,再取 个位数,应用乘法原理,这时共有8X 9=72个数不含4.三位数中,小于500并且不含数字4的可以这样考虑:百位上,不含 4的有1、2、3、这三种情况.十位上
17、,不含 4的有0、1、2、3、5、6、7、& 9这九种情况,个位上,不含4的也有九种情况.要确定一个三位数,可以先取百位数,再取十位数,最后取个位数,应用乘法原理,这时共有3x9x9=243个三位数.由于500也是一个不含4的三位数.所以,1500中,不含4的三位数共有3咒9咒9+1=244个.【巩固】【解析】【例14】【解析】【例15】【解析】【例16】【解析】【巩固】【解析】【例17】所以一共有8 +8x9 +3x9x9 +1 =324个不含4的自然数.【答案】324从1到300的所有自然数中,不含有数字2的自然数有多少个?【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答从1到300的所
18、有自然数可分为三大类,即一位数,两位数,三位数.一位数中,不含2的有8个,它们是1、3、4、5、6、7、& 9;两位数中,不含 2的可以这样考虑:十位上,不含 2的有1、3、4、5、6、 上,不含2的有0、1、3、4、5、6、7、8、9这九种情况,要确定一个两位数, 个位数,应用乘法原理,这时共有 8x9=72个数不含2;三位数中,除去300外,百位数只有1 一种取法,十位与个位均有7、8、9这八种情况.个位 可以先取十位数,再取0, 1, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9九种取法,根据乘法原理,不含数字 2的三位数有:1x9x9=81个,还要加上300; 根据加法原理,从1到300的所有
19、自然数中,不含有数字2的自然数一共有8 + 72+82=162个.【答案】162将各位数字的和是【考点】加法原理之分类枚举【关键词】希望杯,4年级,百位是9的有2个,10的不同的三位数按从大到小的顺序排列,第 【难度】3星【题型】填空1试百位是8的有3个,百位是7的有4个,这一共是9个,接下来应该是百10个数是位是6的,其中最大的是 640,所以第10个数是640。【答案】640把所有不含重复数字的四位偶数从小到大排成一列,则从前往后数第【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯,5年级,第9题1打头的数中,个位有5种取法,剩下的两位分别有 8种取法和7种取法,总共有
20、5X8X7=280 个数。364-280=84,所以第364个数是2打头的第84个数。2打头的数中,百位是奇数时,个位有 4 种取法,十位有 7种取法,总共有28个数;百位是偶数时,个位有3种取法,十位有 7种取法,总共有21个数。前两位是 20,21,23,24的分别有21,28,28,21个,84-21-28-28=7,所以2打头的第 84个数是24打头的第7个数。列举可得前 7个数是2406,2408,2410,2416,2418,2430, 以是2436。【答案】2436364个数是多少?2436,所由数字1,2,3,4组成的所有四位数中(数字不重复使用),从小到大排列,第7个数是【考
21、点】加乘原理之综合运用【难度】4星【关键词】学而思杯, 3年级,第2题1开头的数有6个,所以第7个数应该是【答案】2134由1,2,3, 4,5五个数字组成的不同的五位数有【题型】填空2开头的最小的数,那么应该是2134120个,将他们从大到小排列起来,第95个数是O【考点】加乘原理之综合运用【关键词】希望杯,4年级,1试1打头的有24个,2打头24个,3打头24个,4打头24个,正好96个,第96个数是45321, 第95个是45312。【答案】【难度】4星【题型】填空45312由数字0、2、8 (既可全用也可不全用)组成的非零自然数,按照从小到大排列, _个.2008排在第【考点】加乘原理
22、之综合运用5【难度】4星【题型】解答2-3-2.加乘原理之数字问题(一).题库教师版Page of 6【解析】【关键词】第二届,华杯赛比2008小的4位数有2000和2002,比2008小的3位数有2x3x3=18 (种),比2008小的2位 数有2x3=6 (种),比2008小的1位数有2 (种),所以2008排在第2+18 + 6 + 2 +1=29 (个).【答案】29【例18】【解析】从分别写有2、4、6、8的四张卡片中任取两张,做两个一位数乘法.如果其中的6可以看成9,那么共有多少种不同的乘积?【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答取2有8、12、16、18四种,取4增加24、32、36三种,取6增加48、72两种,一共有 9种【答案】9种【巩固】【解析】有七张卡片: 1、1、2、3、9、9、0,从中任取3张可排列成三位数。若其中卡片9旋转后可看作6,则排成的偶数有【考点】加乘原理之综合运用【关键词】希望杯,当个位是38种【答案】个。【难度】3星
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