泰勒公式与极值问题

1、第十七章参元函数微分学 4泰勒公式与极值问题 4泰勒公式与极值问题教学计划：6课时.教学目的：让学生掌握多元函数高阶偏导数的求法；二元函数的中值定理和泰勒公式；二元函数 取极值的必要和充分条件.教学重点：高阶偏导数、泰勒公式和极值的判定条件.教学难点：复合函数高阶偏导数的求法；二元函数的泰勒公式.教学方法：讲授法.教学步骤：一高阶偏导数f(x,y),f(x,y)xy)yz?F(x,的函数，如果它们仍然是自变量由于的偏导函数与 曲yf具有二阶偏导 数，二元函数的二阶偏导数有如下与的偏导数也存在，则说函数关于四种情形：222?y?zx?y?,?222y?x?yy?x22y?x?222?yz?xx?

2、,? 222x?y?xy?x22y?x?2?2xz?xy?.口? 2222y?y?y?X22y?x?注意从上面两个例子看到，这些函数关于X和y的不同顺序的两个二阶偏导数都相等(这种既有关于X又有关于y的高阶偏导数称为混合偏导数)，即22ZZ?.?x?y?y?x但这个结论并不对任何函数都成立，例如函数22?yx?22?O,xy,x?y?_ ? ?yfx,：2y?x?22?OyO,x.?它的-阶偏导数为?4224?yy4xyx?22?0?yx”?？?22?y?Xx?22?Oy,Ox,? ?4：24?yyxx?4x22?0?y”x? ? ? ? 2?fe,y22?yx?y?22?yOxO?进而求f在

3、(0, 0)处关于x和y的两个不同顺序的混合偏导数，得?00?f,f0,?y?y?sx?lim?lf0,0Jlimx?y?yo?0,Ox,Of?r?x?n?lun,100Plim?.邓?x?xoor“？yxf,在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么由此看到， 这里的？亦,与,xfy 示条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此，我们按定义先把 4泰勒公式与极值问题?y,yx?f&c?X?,x,yflim? k?xe 因此有? 5f,yx?ffic,y?ooxoxolun,yf?x og?yr?f(x,y?,y?y?yf)x?xl?oooolimlim? ?yx?ory?g? ?

4、? f(x,yf)x?x,y?ooooliin?x?o?r? ? )y)?&x?x,y,?ff(x?x,y?y(?fic,y?y? ? oooooooolim.?lim 1yx?o?o?x?-类 似地有?yx oyxo?f(xy,y?yx?f(?xy)?ff)x?x,y?yx?oooooooo?lim.Iim2 yxHogK?y?fyxfX)2(l),(这两个累次极限相等，即以交换累次极成立，必须使为使 gl),(2)相等的个充分条件.下述定理给出了使极限限的极限次序.？y.,x,yx和f.f都 在点连续则17. 7定理人ywty ?yyx?gx,3OxyOOOyx 证令F(?x?y)?f(x

5、?x,y?y)?f(x?x?y)?oooof(x,y?y)?f(x,y),oooo?f(x?y?y)?f(x,y)x00于是有?).)?x(y)?x(x?F(?x,?4的中值定理，有由于函数的偏导数，oo?xf可导。应用-元函数所以函数存在关于?x?x(x)?,(x?x)?xioo?l)(,y0?,y?y?f?x?xf?x?x?x!iooo】?x,y)f(x?fyy 应用元函数中的偏导数, 故对以为自变量的函数又由存在关于10疾值定理，又使上式化为?x?yy?x)?fyx?.?x(x?x)?,(20x)oioo?l?(0).,刃？?4则有由7?x?yyx,y?.(f?xJ?y)?nx?io?l

6、,(0?).(5)2i?(y)?f(x?xJy)?f(xy),如果令oo则有?(y)?y)?x,?y)?(y?F(. ?y)?yx?x(?y,?F(x?)f?,x?y 第十七章多元函数微分学00用前而相同的方法，又可得到4030yx 4泰勒公式与极值问题零时，由(5),(6)两式得到 当?y?xy?y(x?).?x,?y)?xx,y?f(x?y?f430100?,0? 1 )(7)432i?yf,x,yxf 与(x,y)?x?0,?y?0时，在点连续，故当由定理假设式两边极、押。限都存在而且相等，这就得到所要证明的(3)式. nu?f(x,y,z),若下述这个定理的结论对元函数的混合偏导数也成

7、立。如三元函数 六个三阶混合偏导数Kx,y,z)，Kx,y,z),f(x,y,z),zf)zy,f(x,)，Kx,y,z)，Kx,y,ZzyskZ?Kx,y)在点在某点都连续，则在这点六个混合偏导数都相等；同样，若二元函数nm(?n,y)(x阶混合 偏导数都与顺序无关.阶的连续混合偏导数，则在这-点存在贯到今后除特别指出外，都假 设相应阶数的混合偏导数连续，从而混合偏导数与求导顺序无关.x,ys,tz的函数，即下面讨论复合函数的高阶偏导数.设而成为是通过中间变虽 z?f(x,y)?,”t)t),y?f(x?s(s,都具有连续的二阶偏导数，则作为复合函数的其中，若函数s,tz同样存在二 阶连续偏

8、导数。具体计算如下：对?z?z?x?z?y?,s?y?s?x?s?z?z?x?z?y?t?x?t?y?t?x?x?y?yz?z?z?z”yx,s,ts,t的复合函数，仍是的函数，其中是是显 然与_?x?y?s?t?s?t?s?ts,tz的二阶偏导数的函数。继续求关于 2Z?Z?X?Z?X?2?s?s?x?s?x?s?s?y?z?y?z?ys?s?s?y?s?222?x?z?x?xz?yz?。22x?ss?s?xy?sx?222?y?yz?z?x?z?y?2ys?ss?y?x?s?y?空 y?x?x?zz?2? 2ss?s?x?yx?22xyx?z?z?yz?.?2xsyx?y?s?s?同理可得

9、.第十七章多元函数微分学 4泰勒公式与极值问题2222yX?Z?Z?X?Z?2?22t?t?X?y?tX?t?2222y?ZZ?y?Z?X?,?222t?x?y?y?tt?22,y?y?xz?xz?z?x?x?2st?s?tt?s?t?x?y?sx?222y?x?zz?y?y?z?,!?)(0 (6)43?x,?y 不为2ts?t?y?s?t?x?sy?2Z?st?22?z?z?x?.,xf,z?，例 3 设，求? 一 -2y?x?x?y?xyz是以为自变量的复合函数，它也可以改写成如下形式：和 解这里 x.?x,v?f(u,v),uz_ y 由复合函数求导公式有?z?f?u?f?v?fl?P

10、?.?x?u?x?v?x?uy?u?f?f,u,vx,y为自变虽的复合函数.所以仍 是以为中间变量注意，这里?u?V2?fl?fz?.?2?X?uf?V?X?2222?vf?llff?U?f?vl? 22?ux?x?u?v?xyx?wu?222ff? 1?2,? 222y?U?W?y2?fl ?fz? ?uy?v?x?y?y?sf?vl?f?u?f?。 22V?u?v?y?y?y?U22?vfl ?f?u? ?2y?v?u?y?yv?22fl?ftk?x?. 2223?u?v?vyyy?v二中值定理和泰勒公式n对于二元函数的中值公式和泰勒公式，与元函数的拉格朗日公式和泰勒公式相仿，(n?2)也

11、有同样的公式，只是形式上更复杂-些.元函数 在叙述有关定理之前，先介绍凸区域 的概念.D.这就是说，若)6-17 (图凸区域为D,则称D上任意两点的连线都含于D若区域第十七章多元函数微分学 4泰勒公式与极值问题图 17-6?D?,y)x,y),P(xP(?l),(O?,恒有，则对任意两点和沏为凸区域2i2i2i?(y?y)?x),y?DP(x?.(x?112112：R?Df的所有点内都(中值定理)设二元函数D在凸开域上连续，在 定理17. 8?),?lmtD,?(0),Q(a?h,b?k)?P(a,b，存在某，使得可微，则对D 内任意两点 f(a?h,b?k)?f(a,b)?.),b?f(a?

12、kli,b?k)h?f(akli 证令?(t)?f(a?th,b?tk).?l,OO,l,?ltO内可微.于上连续，在上的元函数，由定理中的条件知在它是定义 在?1?)(0使得是根据元函数中值定理，存在?).(?(0)?(1)?(9)由复合函数的求导法则?k)k3?f(a?.)?f?bh,?hk)2(10) H?k)?b?(a?Dh* 故由(由于 D 为凸区域，所以9), (10)即得所要证明的(8)式.?),yP(xP(x,y),?l)(0?,上任意两点及任意若D是闭凸域，且对D注意 211221都有 ?(y?y)y?mtDP(x?,(x?x),gi!?DP,Q?(0f)Diiit 使(8)

13、式成立内可微的函数，只要，也存在则对D上连续，?222?| ,ry)(x?)?(y?(x,yfDint内可微，D例如D,是圆域上 连续，在在？da,bc?QP上任盘两点，那就不能保证对式成立，倘若D是矩形区域D则必有(8)8)式成立(为什么？都有(相中值公式(12)8公式()也称为二元函数(在凸区域 上)的中值公式.它与定理17.3?)?k?,hb(aQP,可的连线上，差别在于这里的中值点，而在定理 17.3是在中与比较12以不相等f推论若函数上存在偏导数，且在区域M在区域D则上为常虽函数.1习题16(2)两者证明的差别).请同学们作为练习自行证明(注 意本推论与 )P)U(P(x,yfl?n

14、阶的泰初定理)定理17.9 (若函数内有直到在点的某邻域oooo?)(PU)k(x?h,y?)l,?(0 ,存在相应的内任点,使得连续偏导数，则对ooo?k)(hf(xy)?),?f(xliyk)f(xy?ooy?x?!2.泰勒公式与极值问题 4 oooooo?x?yl?2fxy?kh?,(0)第十七章参元函数微分学?l?n?y)f(x(h?k),ooyxn!?l?ixr?).kyf(x?(h?k)h,(11)?ooy?n?lx!Pnf(ll)式称二元函数，其中在点阶的泰勒公式Omm?imimi.k(x,y)fll?k)(x,y)?hcf( 一 (hEOOOiimyX?yX?Oi17.8的证明

15、一样.作函数证与定理).tk,y?f(x?tht?()oo?10,)(t?于是有由定理的假设，-元函数上满足-元函数泰列定理条件在,)0?(?(0)?0)?(?(1?!21 !)i(nxn7?)(0?)?).?l(0?(12)!(n?ln)t?(应用复合函数求导法则,可求得的各阶导数： ?m)(m).?y?tk(t)?ai?k)?f(xth,).n?l(m?l,2,ooy?x?Ot?当时侧有?mm)(h?k)(f(x,y)0)?().,n?(rnl,2,(13)ooy?x?及?uW?).k,y(f(x)?(h?k?)h(14)ooyx? 将(13), (14)式代入(12)式就得到所求之泰勒公

16、式(11).0?11时的特殊情形.(11)易见，中值公式正是泰勒公式在n22?U(P)f)R?(?k)(h内存在直 中只要求余项在若在公式(11)，则仅需Oil到阶连续偏导数，便有)?h,y?kf(x oonl?Pn?).(,y)?)?(hk)?f(x,?f(xy(15)oooop!?x?yoP”wx)?(x,yf (1.08)在点求(1.4)的泰初公式(到二阶为止)，并用它计算例4 x?l,y?4,n?2,因此有由于解ooy,f( 1,4)?x)? 1 ,f(x,yri,f( 1,4)?4,f(x,y)?yxglnx,f( 1,4)?xf(,y)?x0,yy口 2(1,4x)?12,f.,

17、1 ,f(xy)?y(y?k 呦 y?ilnx,f(l ,yf(x,)?x4)yx?l .巧？如？0 lx,41nxf,)(?xf(,y)y：y将它们代入泰勒公式(15),即得?筑?.?)(?()?(?1X41X?6xl?xly4?)o泰勒公式与极值问题 4第十七章多元函数微分学,96?3.x?1.08,y 若略去余项，并让，则有？963.2081.3552008?0.08?0.04?1?1?4?0.08?6?的近似值.因为微分近似式例7的结果和比较，这是更接近于真值(1.356307)与1相当于现 在的一阶泰初公式.三极值问题多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用，这里仍以二元函数为例

18、进行 讨论.?PyP,xf点何于任义.的某邻域若定义设函数对在点内有定oooo?,P7x)yUP , 成立不等式o?, (fPP)f?P)?f(Pf或ooPPff.极大值、)值点称为极大的则称函数(或在点极小取得极大(或极小)值，点oo极值点.极小值统称极值.极人值 点、极小值点统称注意：这里所讨论的极值点只限于定义域的内点.2222.?xy,xf(x,y)?2?y,g(x,y)?l?x?yh(x,y)由定义直接知道，设 5 .例 g)O(O,fli 的极值点.这 是因为对任何点的极大值点，但不是的极小值点，是是坐标原点? l?y?)?(x,y)x(x,yO)O?x,y)?f(OJ(x,yf(

19、有恒数;对函，恒有,0,y)?,0)? 1 h(xxg(,y)?g(Oh 的 I、， 在原点的任恿小邻域内，既含有使;而对于函数HI0,0)?y)?0h(0,h(x既不是极人值又的1【、IV象限 中的点，所以象限中的点，又含有使 口不是极小值.?yx,yxy?yf,f必定由定义可见，若取得极值，在点则当固定时，元函数oooo?.x,?xxfyy?y 也取和同的极值.于是得到在取相同的极值上.同理，元函数在ooo二元函数取极值的必要条 件如下：?Px,Pyf取得极值，在点存在偏导数，定理17.10 (极值必要条件)若函数且在oooo 则有?.0Px,fx,yy?0,(16)oPPfff 存指11

20、：若的稳定点在点.定理满足(16),则称点17.10为反之，若函数ooh,原点中的函数在偏导 数，则其极值点必是稳定点。但稳定点并不都是极值点，如例5为为其稳定点，但它在原点并 不取得极值.与元函数的情形相同，函数在偏导数不存在的点上也有可能取得极值。例如 22y?y)?xf(x,f(O,O)?Of的极小值.在原点没有偏导数，但是？yxP,ff具有二阶连续在点 为 了讨论二元函数取得极值的充分条件，我们假定coo偏导数，并记 fKPP)?)?(17)?otff(P)f(fP)?皿榔ZPPfHesse)矩阵.黑赛(在它称为的oP(x,y)U(P)f内具有 定理 17.11 (极值充分条件)设二元

21、函数在点的某邻域ooooH(P)PPff取得极小值；当二阶连续导数， 且在是是正定矩阵时，的稳定点。则当ofooH(P)H(P)PPff不取极值.在当是负定矩阵时，是不 定矩阵时，在取得极人值;o晌f(P)?f(P)?O,Pf的二阶泰勒公式，并注意到条件，有由 证在OyOxO. 第十七章多元函数微分学 4泰勒公式与极值问题 使二，所以对由于任何，正定ofr?O.?y)(P)(?x”?y)?(?x,?y)H?Q(x?x,?y无关的正数q，使得.因 此存在一个与 of2).,?y?2q(?x?Q(x,?y)U(P)(x,y)?U(P)就，只要有从而对于充分小的oo?2222220f?x,y?f?x

22、yy?q?x?y?x?o?x 1 ?yq? oo.)(x,yf 在点即取得 极小值.oo)PH(Pf在取得极人值.为负定矩阵时，同理可证oH(P)Pff取极值(例如取极人值) 不定时，最后，当这是因为倘若在，不取极值.o?t?t?y)?f(xt?x,y?t?x,y?y?t?y,f(x,y)?x?x?P, 的直线则沿任何过ooooo?0”)(tt?0?0在是不可能的亦取极人值.由元函数取极值的充分条件 在(否则?(0)?0.而将取极小值)，故?(t)?f?x?f?y,g2?,?y?y?xf?2f?x(t)?f厂决？T?.y?x?y?H(P(0)?)?x田(P)H(P)f必须是正半这衣明取极小值，

23、则将导致必须是负 半定的。同理，倘若oO2H(P)Pf必须时正半定或负半定矩阵，但这与假设定的。也就是说，当取 极值时，在oto相矛质.根据正半定或负半定对称阵所属主了行列式的符号规则，定理17.11又可写成如下比较实用的 形式：Pff的稳定点，则有：所设。若函数是如定理17.11o?2OPf?f)f?P(?O,ftf在点当时，取得 极小值：(门嘶河如？20P?f)f?P?0,(ffPf在点ii当时，取得极人值；(x,y?20f)?Pf(f?Pf 时，不能取得极值；(iii)当在点 o?2O)?Pf(ff?Pf (iv)当时，不 能肯定是否取得极值.在点00722610y?5y6x?f(x,y

24、)?x 6求的极值.例解由方程组 f?2x?6?0,?x?f?10y?10?0?y?l?P3,f 得，由于的稳定点 o?Of,fPP?2您a?2.?f)20PfPP10XfoomyPf(3,?l)?8.f(3,?lf)f的惟极处处存在偏导数，故在点取得极 小值又因为因为o值点.2xyx?,xy)?f(是否存在极值.讨论7例(P?f0yx?2?,x 解由方程组得稳定点为原点.yx泰勒公式与极值问题 4第十七章多元函数微分学没有极因的极值点。又因处处可微，所以，故原点不是础和值点。?22x2?(y?x)yf(xJy)在原点是否取得极值.例8讨论2,?f?0fff无法判定的稳定点，且在原 点故由定理

25、解容易验证原点是17.11xpg222xx2?y?xyy?2x?或,f(x,y)?0f时，而当在原点是否取 到极值.但由于当时,)?0f(x,yf),所以函数17不可能在原点取得极值.一7 (图H17-7ff在区域在某点的局部性概念.要获得函数由极值的定义还知道，极值只是函数上的最人值 和最小值（由上章知道在有界区域上的连续函数定能取得最人值与最地Df在所有稳定点、 无偏导点以及属于区域的小值），与-元函数的问题样，必须考察函数界点上的函数值.D 上的最大（小）值. 比较这些值，其中最大者（或最小者）即为函数在 证明：圆的所有外切 三角形中，以正三角形的面积为最小.例9a,?C三切点处的半径两两相夹的中心角任外切 三角形为设圆的半径为,.证?）?,2,（?C? 8分别为）。容易得出的血积农达式为（图.其中 17?2ntaii?tan?taS?a? 222?2.?tantantan?