选修2 1空间向量知识点归纳总结

1、名师推荐精心整理学习必备第三章空间向量与立体几何1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的 向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。a定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。T召T 呻* tJi 呻TOB=OA + AB=a+b ; BA = OA-OB = a-b ; OP =乙事2 R） 运算律：加法交换律：a+b=b+a加法结合律：（a+b） +c=a +（b+c）数乘分配律：A（a +b） = Aa + Zb3. 共线向量。（

2、1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量 也叫做共线向量或平行向量，a平行于b,记作ab。 _当我们说向量a、b共线（或a/ b ）时，表示a、b的有向线段所在的直 线可能是同一直线，也可能是平行直线。.（2）共线向量定理：空间任意两个向量 a、b （ b工0 ），a/ b存在实数 入，使a =入b 。4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。呻呻（2） 共面向量定理：如果两个向量 a,b不共线，p与向量a,b共面的条件 是存在实数x,y使p=xa + yb。5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,C不

3、共面，那么对空间任一向量 p， 存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使 pxa + yb+zZ。彳.若三向量a,b,C不共面，我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,C叫做基向 量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O,A,B，C斗不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数 x,y,z，使 OP =xOA +yOB + zOC。6. 空间两向量的夹角：已知两个非零向量 OB = b （两个向量的起点一定要相同），_k3= 且 u 么0 = -j ab ,在空间任取一点0,作0方， 则叫做向量与石的夹角，记作 b 平移前b规= c 0,7r：a907.

4、空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 0-xyz中，对空间任一点 A，存在唯一的有序实数组 （x,y,z），使OA =xi +yi+zk，有序实数组（x, y,z）叫作向量A在空间直角坐标系 0-xyz中的坐标，记作A（x, y, z）， x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。z/（2）右手直角坐标系：右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以90角度转 向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向；（3）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单位正 交基底，用i,j,k表示。(4) 空间向量的直角坐标运算律： 若a =(ai,a2,a3), b=(b

5、,b2,b3)，贝Uaf aJT a+b =(ai +b,a2 +b2,a3 +b3),扌 = (ai b|, a b2, a3 b3)，几a = (hai,几a?,几&3)(几匸 R), b =aibi +&2鸟 +%鸟,all bu 耳=kb , =)上2 , = Ab3( A R)或一=3- = A T 斗b, b2 b3a 丄bu db, + a2b2 +&3匕3 =0。 若 A(Xi, yi,Zi)，B(X2，y2，Z2)，则 AB =(X2 x, y2 zj。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐 标减去起点的坐标。T彳(5) 模长公式：若 a=(ai,a

6、2,a3)，b = (b,b2,b3)，贝UI a 1= a = a1a2a32， | bb = /b,b2b32(6) 夹角公式：cosa；)=2= _dbE严_:。/ laldbl Jai2+a22+a32Jb2+b22+b32(7) 两点间的距离公式：若 A(X|,yi,Zi) , B(X2,y2,Z2),则I AbMB2 = J(x2Xi)2+(y2-yi)2+(Z2-Zi)2 ,或 dA,B=J(X2 X|)2 +(y2 -yi)2 +(Z2 -Zi)2空 间线段 Pi(Xi, yi，Zi), P2(X2, y2, Z2)的中点 M (x, y, z)的 坐标：pi +x2 y,I

7、2 ，和 2 Z| + Z22 2丿(9)球面方程：x2+y2 + Z2 = R28. 空间向量的数量积。呻T( 1)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量 a,b，在空间任取一点O , 作OA=a,OB=b，贝U NAOB叫做向量a与b的夹角，记作 ;且规定彳片彳片 彳T呻斗；I4 40兰cab A兰兀，显然有v a,b =vb,a A ;若= ，则称a与b互相垂直， 呻彳2记作：a丄b。(2) 向量的模：设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|。彳T4呻(3) 向量的数量积：已知向量a,b，则|2| bI cosa,bA叫做a,b的数量 积，记作 a b，即 a

8、b = |2|，|b| cos。(4) 空间向量数量积的性质： a= #1 cos 0 a 丄卫二 abl 0 o |#|2鳥#=（了,（5）空间向量数量积运算律： （A专 柑=（# b） = a （kb） 0 a b ：=b a （交换律）。 a（b+c）=a.b+a c （分配律）。9、空间向量在立体几何证明中的应用：AB = （#1, #2, #3）, CD = （bb,鸟）（1）证明AB / CD，即证明AB/CD，也就是证明aZ,aZb2,aZb3或#1 a? a3=Ab1 b2 b3（2）证明AB丄CD，即证明ABCD =0，也就是证明a1b + a2b2 +a3b3 = 0（3）

9、 证明AB/a（平面）（或在面内），即证明aB垂直于平面的法向量或证明 aB 与平面内的基底共面；T（4）证明AB丄a ,即证明AB平行于平面的法向量或证明 AB垂直于平面内的 两条相交的直线所对应的向量；（5）证明两平面a /P （或两面重合），即证明两平面的法向量平行或一个面的 法向量垂直于另一个平面；（6）证明两平面a丄P ,即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在另一 个面内。10.运用向量的坐标运算解题的步骤:（1）建坐标系，求相关点的坐标（2）求相关向量的坐标（3）运用向量运算解题11.用向量方法来解决立体几何中的空间角的问题: （1）两条直线的夹角：.设直线l,m的方向向量分别

10、为a,b，两直线l,m所成的角为9 （ 0宀中）,2斗(2)直线与平面的夹角:0 9 兀,u(3) 二面角：方向向量法:oCOS & 二 COSOABCDO6二宾一1COS& = -cos COS& 二 cos V 耳，叫 A法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角12.利用“方向向量”与“法向量”来解决距离问题（1）点与直线的距离：d =（2）点到平面的距离：d=|pA n|.|n|.如图 A a,空间一点P到平面a的距离为d,已知平面a的一个法向量为n,且AP与n不共线,分析：过作pOa于0,连结0A.则 d=| P0 1=JPA| co幷PQ.

11、PO 丄 a , n 丄 a，二pO / n . COS/ APO=|cosPA,n|. 彳 d=| pA |cosPA,n| =1 H n 1.|n|and = CD（3）异面直线间的距离: 已知a,b是异面直线,CD为a,b的公垂线,n是直线CD的方向向量，a, B分别在直 线a,b上CD = Jn ABnd =(4) 其它距离问题： 平行线的距离(转化为点到直线的距离) 直线与平面的距离(转化为点到平面的距离) 平面与平面的距离(转化为点到平面的距离) 13.补充：(1) 三余弦定理设AC是a内的任一条直线，且BC丄AC垂足为C,又设A0与AB所成的角 为& , AB与AC所成的角为日2

12、, A0与 AC所成的角为日.则COST = co曲1 cos .(2) 三射线定理若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是6 ,日2 ,与二面角的棱所成的角是0 ,贝U有 sin2 Wsin2 =sin2 +sin电-2sin sin92 cos .I -日2 I兰 98 -佝十日2)(当且仅当0 =90时等号成立).(3) 点Q到直线1距离h= = J(|a|b|)2-(a b)2TI |a|(点P在直线丨上，直线丨的方向向量a=PA，向量b=PQ).(4) 异面直线上两点距离公式+ n + 2m ncos8d = Jh2 +m2d = Jh2 +m2 +n2 -2m

13、n cos( EA, AFd = Jh2 +m2 +n2 -2mncos (半=E - AA -F )(两条异面直线a、b所成的角为0 ,其公垂线段AA的长度为h.在直线a、 b 上分别取两点 E、F, AE=m,AF 二 n,EF=d).(5) 厂个向量和的2平方(a+b+ c)=a +b +c + 2ab+2bc + 2ca=a +b +c + 2|a| |b|cos(a,b+2|b| qc|cosb,c) +2|c|.|a|(6) 长度为丨的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为h、l2、l3,夹角分别为q、日2、日3,则有|2 =+1；cosq+cos甘2 cosHs =1U sin2q+sinsin2Q3=2(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).(7) 面积射影定理IS=-Scos 灯.(平面多边形及其射影的面积分别是 S、s,它们所在平面所成锐二面角的 为日).（8）斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是1 ,侧面积和体积分别是 S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面 的周长和面积分别是G和S,则 3斜棱柱侧=q1 V斜棱柱=0（9）欧拉定理（欧拉公式）V + F -E = 2（简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F）. E=各面多边形边数和的一半.特别地，若每个面的边