2019-2020学年数学北师大版必修4学案： 3.1 同角三角函数的基本关系 含解析

1、祝学子学业有成，取得好成绩三角变换寻射点在足球比赛中,双方队员都以攻破对方球门为目标,运动员最关心的是哪些位置射门命中率高射门进球的可能性最大，意味着射门球员在射门点对球门的视角最大我们假设足球是个质点，足球运行轨迹与地面平行，射门时无对手进行防守国际比赛标准的足球场地的长是110米，宽是90米，足球门宽是7.32米，如图由平面几何知识可知，沿边线总可找到一点p,使得apb为最大(如图）大家知道，队员技术水平一定的情况下,apb越大，在p点射门的命中率就越大,因此,我们称使得apb最大的点p为足球射门最佳点那么在足球场内，哪些点属于足球射门最佳点呢？要解决这个问题就要用到数学中的三角恒等变形等

2、知识1同角三角函数的基本关系q数学是美的，其中一个重要的原因在于数学中存在十分美妙的数量关系,如勾股定理反映了直角三角形的三边之间关系的美妙在三角函数中类似于这种关系的有吗？如图，若直角三角形斜边为1，则锐角的对边为sin 、邻边为cos ，自然将有sin 2cos 212，即sin 2cos 21，另外还有tan .这里的两个三角函数关系式反映着三角函数关系的美妙,不过，现在只是对为锐角成立,若为任意角还成立吗？若成立,它们将有哪些重要作用?本节的学习将使你开拓认知的新天地x同角三角函数的基本关系式（1)平方关系：_sin 2cos 21_。(2）商数关系：tan _（k，kz)，该式子可变

3、形为sin _tan cos _；cos _。知识点拨对同角三角函数基本关系式的理解(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”,二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin 23cos 231成立，但是sin 2cos 21就不一定成立(2）sin 2是(sin ）2的简写，读作“sin 的平方,不能将sin 2写成sin 2，前者是的正弦的平方，后者是2的正弦,两者是不同的,要弄清它们的区别，并能正确书写（3）同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin 2cos 21对一切r恒成立,而tan 仅对k（kz)成

4、立(4)常用的等价变形sin 2cos 21tan y1已知sin ,cos ，则tan 等于(d）abcd解析因为tan 。故选d2若sin ,且为第四象限角,则tan 的值等于（d）abcd解析因为sin ,且为第四象限角，所以cos ，所以tan ，故选d3化简_cos 80_.解析原式|cos 80|cos 80.4化简sin 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 2_1_.解析原式sin 2（1sin 2）sin 2cos 2cos 2sin 2cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2（sin 2cos 2)sin 21。h命题方向1利用同角三角函数的关系求值典

5、例1(1)若sin ，且是第三象限角，求cos ，tan 的值;（2)若cos ，求tan 的值思路分析(1)解答本题可先利用sin 2cos 21求出cos 2的值，然后再利用在第三象限得cos 求出cos 的值,最后利用tan 解答本题（2)解答本题可先利用cos 0,得出在第一、第四象限及x轴的非负半轴,然后就所在的位置分别求出sin 的值，最后求出tan 的值解析(1）sin ，是第三象限角，cos 。tan （).（2）cos 0,是第一、四象限角当是第一象限角时，sin ，tan ;当是第四象限角时，sin ，tan .规律总结在使用开平方关系sin 和cos 时,一定要注意正负号

6、的选取，确定正负号的依据是角所在的象限，如果角所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论跟踪练习1(1)已知sin ，求cos ，tan 的值；（2）已知cos ，求sin ,tan 的值解析（1）sin 0，是第一或第二象限角当为第一象限角时,cos ，tan ;当为第二象限角时,cos ，tan .（2)cos 0，是第二或第三象限角当是第二象限角时，sin 0，tan 0，sin ,tan ;当是第三象限角时，sin 0，tan 0，sin ，tan 。命题方向2关于sin ，cos 齐次式的求值典例2（1）若tan 2，

7、则的值为(b)a0bc1d（2)已知tan 2，则sin 2sin cos 2cos 2等于(d）abcd(3)已知2，求sin cos 的值思路分析将待求式(或已知式)中的“弦化切，充分利用tan 和sin 2cos 21的代换解析(1)分子、分母同时除以cos (cos 0)得，故选b（2）将分母看作1sin 2cos 2，原式,故选d(3)2，tan 3.sin cos 。规律总结关于sin ，cos 的齐次式的求值问题关于sin ,cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin ,cos 的式子，且它们的次数之和相同，其求解策略为：可用cos n(nn）去除原式分子、分母的各项，这样

8、可以将原式化为关于tan 的表达式，再整体代入tan m的值，从而完成求值任务跟踪练习2已知5，则sin 2sin cos 的值是（a）abc2d2解析原式化为5，解得tan 2.sin 2sin cos .命题方向3三角函数式的化简典例3化简：(1）；(2)sin 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 2；(3)。思路分析（1）是对平方关系的变形应用，由于1sin 240cos 240,则12sin 40cos 40(sin 40cos 40)2，要去掉根号，应注意符号,cos 40sin 40.（2)是对平方关系的应用和对式子的整体把握（3）要用到“切化弦”“切化弦”与“弦化切

9、”是三角变形的基本方法解析(1）sin 40cos 40|.sin 40cos 40，|sin 40cos 40|cos 40sin 40。(2）sin 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 2（1sin 2）sin 2cos 2cos 2sin 2cos 2cos 2cos 2sin 2(sin 2cos 2)cos 2sin 2cos 2sin 21.(3)原式.规律总结化简三角函数式常用的方法有：(1）化切为弦,即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的（2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的（3）

10、对于化简含高次的三角函数式,往往借助因式分解，或构造sin 2cos 21，以降低函数次数，达到化简的目的跟踪练习3化简：（00，sin cos 0.上式cos sin cos sin 2cos 。x三角恒等式的证明典例4证明：.思路分析本题有多种证明方法,其共同点是“盯住目标，逐渐转化”证明证法一：左边右边所以原式成立证法二：左边（cos 1sin sin 1cos ）右边所以原式成立证法三：因为，所以。规律总结证法一是由左到右，以右式为果,左式通分，分子因式分解以产生因子cos sin 。此时，分子还缺少“2”这个因子，多余1sin cos 这个因子,故分子分母同乘2，并尽量设法使分母产生

11、1sin cos ，以便约分证法二是因右式分母有因子1sin cos ，故将左式分子分母同乘1sin cos 。证法三中证明的关键是使左、右两边变为同分母，而1sin cos 是最简形式，故想到利用等比性质化简为同分母跟踪练习4求证：2（1sin )(1cos ）(1sin cos ）2.证明证法一：左边112sin 2cos 2sin cos 1sin 2cos 22sin 2cos 2sin cos （1sin cos ）2右边证法二：右边1sin 2cos 22sin 2cos 2sin cos 2（1sin cos sin cos )2(1sin ）(1cos ）左边证法三：右边左边(

12、1sin ）2cos 22cos (1sin ）2(1sin ）(1cos )（1sin )2cos 22(1sin ）(1sin ）（1sin )cos 20。y忽略隐含条件导致出错典例5已知sin cos ，(0,)，求tan 的值错解因为sin cos ,两边平方得12sin cos ,即2sin cos ,变形得,即。解得tan 或tan 。辨析由sin cos ，两边平方时，角的范围扩大了,出现了增根现象正解由sin cos ，两边平方得2sin cos 0.又(0,）,所以sin 0，cos 0。由、得或(舍去)所以tan .规律总结在应用三角公式时，应注意各公式中角的范围其次把三角函数式隐含的条件尽可能挖掘出来,这样才不会出现漏解或增解跟踪练习5已知sin 、cos 是方程4x24mx2m10的两个根,2，求角。解析代入（sin cos ）212sin cos ，得m。又2。sin cos 0,sin cos m，sin ，cos .又2，。k1已知是第四象限角，cos ,则sin 等于（b）abcd解析是第四象限角，sin .2以下各式中能成立的是（c）asin cos bcos 且tan 2csin 且tan dtan 2且cos 解析若选项a成立，则sin 2cos 21，故a不能成立若选项b成立，则sin tan cos