2019-2020学年高中人教A版数学选修1-1学案：3.2.2　导数的运算法则 含解析

1、祝学子学业有成，取得好成绩3.2。2导数的运算法则q如何求得下列函数的导数呢?1yx5x3x23;2yexsinxlnx；3ycos2sin2.x导数的运算法则和差的导数f（x）g（x)_f(x)g（x)_积的导数f（x)g(x)_f(x)g（x）f（x）g（x）_商的导数_(g（x）0)y1已知函数f（x)ax2c，且f (1）2，则a的值为(a)a1 bc1d0解析f（x)ax2c，f （x）2ax，又f (1)2a，2a2，a1.2已知f(x)exln x，则f(x）（c）abexcdln x解析f(x）（ex）ln xex(ln x)exln x.3函数yx4sin x的导数为(d)a

2、y4x3bycos xcy4x3sin xdy4x3cos x解析y(x4sin x）(x4）(sin x)4x3cos x。4曲线f(x)x3x25在x1处的切线的倾斜角为_135_。解析f（x)x22x，曲线在x1处的切线的斜率k12211，倾斜角为135。5求下列函数的导数：(1）ysin x2x2；(2)y（2x23）（3x2）；(3）y.解析(1)y(sin x2x2）(sin x)(2x2)cos x4x.（2)y(2x23）（3x2)(2x23)(3x2）4x（3x2)3（2x23)12x28x6x2918x28x9.（3)yh命题方向1导数的四则运算法则的应用典例1求下列函数的

3、导数：(1)y（x1)2(x1);(2)yx2sin x；（3)y;(4)yxtan x.解析(1）解法一：y(x1）2(x1)（x1)2（x1）2(x1)（x1）(x1)23x22x1.解法二：y（x22x1)（x1）x3x2x1，y(x3x2x1)3x22x1。（2)y(x2sin x）(x2)sin xx2（sin x)2xsin xx2cos x.（3）y(x12x23x3）x24x39x4.（4)ytan x。规律方法1.符合导数运算法则形式特点的函数求导可直接用公式，注意不要记错用混积商的导数运算法则f（x）g（x)f （x）g（x）;.2公式f(x）g(x）f （x)g(x)f（

4、x）g(x）的推广为f1（x）f2(x）f3（x）fn(x）f1(x）f2(x）f3(x）fn(x)f1(x)f2（x)f3（x)f4(x）fn(x）f1（x）f2(x)fn（x)3较为复杂的求导运算,一般要先将函数化简,再求导跟踪练习1求下列函数的导数(1)yxtanx；（2)y（x1)(x2)(x3);（3)y。解析(1）y（xtanx）。(2)解法1:y（x1）（x2）(x3）（x1）（x2）（x3)(x1）(x2)(x3)(x1）(x2)（x1)（x2）（x3）(x1)(x2)(x2x1)（x3）（x1）(x2)(2x3）(x3）x23x23x212x11；解法2：(x1)（x2）(x

5、3)(x23x2）（x3)x36x211x6，y(x1）(x2)(x3)（x36x211x6）3x212x11；（3）解法1：y;解法2：y1，y。命题方向2利用导数求参数典例2(2019云南昆明高二调研）已知函数f（x）ax3bx2cx过点（1,5），其导函数yf（x)的图象如图所示，求f(x）的解析式思路分析本题主要考查利用导数求解参数问题，观察yf(x）的图象可知yf（x）过点（1，0）、(2,0)，即f(1)0，f（2）0.解析f（x）3ax22bxc，且f(1）0、 f(2）0、 f（1)5，解得.函数yf（x)的解析式为f（x)2x39x212x。规律方法1.导数的应用中，求导数是

6、一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系,选择解题途径2求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解跟踪练习2偶函数f(x）ax4bx3cx2dxe的图象过点p（0，1)，且在x1处的切线方程为yx2，求yf(x）的解析式解析f(x）的图象过点p(0，1），e1.又f(x)为偶函数,f(x)f（x)故ax4bx3cx2dxeax4bx3cx2dxe。b0，d0。f（x)ax4cx21.函数f（x)在x1处的切线方程为yx2，切点为（1,1)ac11.f （x）x14a2c，4

7、a2c1。a,c.函数yf(x)的解析式为f(x)x4x21。命题方向3导数的综合应用典例3已知曲线yf（x）1(a0）在x1处的切线为l，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值解析f（1）1,切点坐标为（1,1)由已知，得f(x）（1），切线的斜率kf(1)，切线l的方程为y(1)(x1），即2xaya10。令y0，得x；令x0，得y.切线l与两坐标轴所围成的三角形的面积s(a）21,当且仅当a，即a1时取等号，smin1.故l与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1.规律方法求曲线的切线方程要注意分清点是否是切点若已知点是切点,则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点

8、跟踪练习3函数f（x）x3x2x1的图象上有两点a（0，1）和b（1,0），在区间(0，1)内求实数a,使得函数f(x)的图象在xa处的切线平行于直线ab。解析直线ab的斜率kab1，f （x）3x22x1，令f (a)1（0a1），即3a22a11，解得a。x综合应用问题灵活运用导数的运算法则,求解复合函数的导数，或与其他知识结合解决相关问题；利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何问题与实际问题典例4已知曲线f（x）x3axb在点p(2，6)处的切线方程是13xy320.（1)求a，b的值；（2)如果曲线yf(x）的某一切线与直线l：yx3垂直，求切

9、点坐标与切线的方程思路分析(1)由f（x)在点p处的切线方程可知f（2)，及f(2）6,得到a、b的方程组，解方程组可求出a、b；（2)由曲线yf（x)的切线与l垂直，可得切线斜率kf(x0）,从而解出x0,求得切点坐标和k。解析（1)f(x）x3axb的导数f（x)3x2a，由题意可得f(2）12a13, f（2)82ab6，解得a1，b16.(2)切线与直线y3垂直,切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0，y0），则f（x0)3x14，x01。由f(x）x3x16，可得y0111614，或y0111618.则切线方程为y4(x1）14或y4(x1）18。即y4x18或y4x14.规律总结处理

10、与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解跟踪练习4（2017天津卷)已知ar，设函数f（x)axln x的图象在点(1，f（1）)处的切线为l，则l在y轴上的截距为_1_。解析f (x)a,f (1)a1。又f(1)a，切线l的斜率为a1,且过点(1，a）,切线l的方程为ya（a1）(x1）令x0，得y1，故l在y轴上的截距为1.y准确应用公式典例5若f（x)，求f()错解f（x)，f（x）,f(）.错解分析应用商的求导法则时，分子应是“分子的导数乘分母分子乘分母的导数”，解题时错误的写成了“”正解f(x),f(x),f（).k1f（x）ax43x22，若f(1）10，则a的值等于(d）a1b0c1d12曲线yex在点a(0,1）处的切线斜率为（a)a1b2ced3若函数f(x）x3f（1)x2x5，则f(1)_6_