2019-2020学年高中数学人教A版必修2一课三测：2.3.3-4 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质 含解析

1、祝学子学业有成，取得好成绩2。3。3直线与平面垂直的性质23.4平面与平面垂直的性质填一填1。直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言ab图形语言2.平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言，l,a,ala图形语言判一判1。直线与平面垂直的性质定理的实质是平行与垂直的转化()2如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则它的另一条也垂直于这个平面（)3若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则该直线也垂直于另一个平面(）4两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直（)5如果平面不垂直于平面，那

2、么平面内一定不存在直线垂直于平面.（)6如果平面平面，平面平面，l，那么l平面。（)7若直线m平面，直线n平面，mn,则.（)8，表示平面，若，m，n，则mn.()想一想1.垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？提示：共面由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面2过一点有几条直线与已知平面垂直？提示：有且仅有一条假设过一点有两条直线与已知平面垂直,由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线3证明线线平行常用的方法有哪些?提示：（1）利用线线平行定义：证共面且无公共点（2）利用三线平行公理:证两线同时平行于第三条直线（3)利用线

3、面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直(5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行4证明或判定线面垂直的常用方法有哪些？提示：(1）线面垂直的判定定理;（2）面面垂直的性质定理;(3）若ab，a，则b（a，b为直线，为平面)；（4）若a，则a(a为直线，为平面)；思考感悟：练一练1.若直线l平面,m,则()alm bl可能与m平行cl与m相交 dl与m不相交答案：a2下列命题：垂直于同一直线的两条直线平行;垂直于同一直线的两个平面平行；垂直于同一平面的两条直线平行；垂直于同一平面的两平面平行其中正确的个数是()a1

4、 b2c3 d4答案：b3平面平面，l，m,ml，则（)am bmcm dm与相交但不一定垂直答案:c4如图所示，在正方体abcda1b1c1d1的棱ab上任取一点e，作efa1b1于f,则ef与平面a1b1c1d1的关系是（）a平行bef平面a1b1c1d1c相交但不垂直d相交且垂直答案:d5若平面平面，平面平面，则（）a bc与相交但不垂直 d以上都有可能答案：d知识点一线面垂直、面面垂直性质定理的理解1.如图所示，对于面面垂直的性质定理的符号叙述正确的是(）a，l，blbb，l，bbc，b，blbd，l，b，blb解析：根据面面垂直的性质定理知，d正确答案：d2已知两条直线m，n，两个平

5、面，给出下面四个命题:mn，mn，m，nmnmn，mn，mn，mn其中正确命题的序号是()a bc d解析:由线面垂直的性质定理可知正确;对于,当，m，n时，m与n可能平行也可能异面，故不正确；对于，当mn，m时，n或n，故不正确；对于，由mn，m，得n,又，所以n,故正确故选c.答案：c知识点二线面垂直、面面垂直性质定理的应用3。如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，m是ab上的一点，n是a1c的中点，mn平面a1dc。求证:（1）mnad1;(2)m是ab的中点证明：（1)因为abcda1b1c1d1为正方体，所以ad1a1d.又因为cd平面add1a1,ad1平面add1a1，所

6、以cdad1。因为a1dcdd,所以ad1平面a1dc.又因为mn平面a1dc，所以mnad1。（2)设ad1a1do,连接on，在a1dc中，a1ood，a1nnc。所以on綊cd綊ab，即onam。又因为mnoa,所以四边形amno为平行四边形，所以onam.因为onab，所以amab，即m是ab的中点4如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc60，paabbc，e是pc的中点证明：（1）cdae；（2)pd平面abe。证明：(1）在四棱锥pabcd中,pa底面abcd,cd平面abcd，pacd.又accd，且paaca，cd平面pac.而ae平面pac，

7、cdae.（2）由paabbc，abc60，可得acpa。e是pc的中点，aepc.由(1)知aecd，且pccdc，ae平面pcd.而pd平面pcd,aepd。pa底面abcd，ab平面abcd，paab.又abad，且paada,ab平面pad，而pd平面pad，abpd.又abaea，pd平面abe。综合知识线面、面面垂直的综合问题5。如图，三角形pdc所在的平面与长方形abcd所在的平面垂直，pdpc4，ab6，bc3。(1)证明：bc平面pda；（2）证明：bcpd；(3)求点c到平面pda的距离解析：（1）证明：因为长方形abcd中，bcad,又bc平面pda,ad平面pda,所以

8、bc平面pda。（2)证明：取cd的中点h，连接ph，因为pdpc，所以phcd。又因为平面pdc平面abcd，平面pdc平面abcdcd,所以ph平面abcd。又因为bc平面abcd，所以phbc.又因为长方形abcd中，bccd,phcdh，所以bc平面pdc.又因为pd平面pdc,所以bcpd.（3）连接ac。由(2）知ph为三棱锥padc的高因为ph，sadcadcd369，所以vpadcsadcph93。由（2）知bcpd，又因为adbc,所以adpd，所以spdapdad436。设点c到平面pda的距离为h.因为vcpdavpadc，所以spdah3，所以h。6如图，在矩形abcd

9、中，ab2bc,p，q分别为线段ac，cd的中点,ep平面abcd。（1）求证:aq平面cep；(2)求证:平面aeq平面dep。证明：(1）在矩形abcd中,因为appb，dqqc，所以ap綊cq.所以aqcp为平行四边形所以cpaq.因为cp平面cep,aq平面cep，所以aq平面cep。(2)因为ep平面abcd，aq平面abcd，所以aqep。因为ab2bc，p为ab的中点，所以apad.连接pq，则四边形adqp为正方形所以aqdp。又epdpp，所以aq平面dep.因为aq平面aeq，所以平面aeq平面dep.基础达标一、选择题1已知直线m，n和平面，若，m，n，要使n,则应增加的

10、条件是（)amn bnmcn dn解析：由面面垂直的性质定理知，答案为b.答案:b2已知平面,和直线m，l，则下列命题中正确的是（）a若，m，lm,则lb若m，l，lm，则lc若,l,则ld若,m,l，lm，则l解析：a项中缺少了条件l,故a错误b项中缺少了条件，故b错误c项中缺少了条件m,lm，故c错误d项具备了面面垂直的性质定理中的全部条件,故d正确答案：d3已知m，n是两条不同的直线,，是两个不同的平面，且m，n，则下列叙述正确的是()a若，则mn b若mn,则c若n，则m d若m，则解析：由m，n是两条不同直线,，是两个不同的平面，且m，n.知：若，则m与n平行或异面,故a错误若mn，

11、则与相交或平行,故b错误若n,则m与相交、平行或m.故c错误；若m，则由平面与平面垂直的性质得，故d正确答案：d4已知两个平面垂直，下列说法:一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确说法个数是（）a3 b2c1 d0解析：如图在正方体abcda1b1c1d1中，对于ad1平面aa1d1d，bd平面abcd，ad1与bd是异面直线，成角60，错误；正确对于,ad1平面aa1d1d，ad1不垂直于平面abcd；对于，如果这点为交

12、线上的点,可得到与交线垂直的直线与两平面都不垂直，错误故选c.答案:c5如果直线l，m与平面，之间满足:l，l，m和m，那么（）a且lm b且mcm且lm d且解析:由m，m得,由l,得l，所以ml.故选a.答案：a6如图，以等腰直角三角形abc的斜边bc上的高ad为折痕，把abd和acd折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论，bdac；bac是等边三角形;三棱锥dabc是正三棱锥;平面adc平面abc。其中正确的是(）a bc d解析：设等腰直角abc的腰长为a，则斜边bca，因为d为bc的中点，所以adbc，又平面abd平面acd，平面abd平面acdad,bdad，bd平面ab

13、d，所以bd平面adc，又ac平面adc，所以bdac,故正确；由a知，bd平面adc，cd平面adc，所以bdcd，又bdcda,所以由勾股定理得bcaa，又abaca，所以abc是等边三角形，故正确;因为abc是等边三角形，dadbdc，所以三棱锥dabc是正三棱锥，故正确因为adc为等腰直角三角形,取斜边ac的中点f，则dfac，又abc为等边三角形,连接bf，则bfac，所以bfd为平面adc与平面abc的二面角的平面角，由bd平面adc可知,bdf为直角，bfd不是直角，故平面adc与平面abc不垂直,故错误综上所述，正确的结论是.故选b。答案：b7如图，点p为四边形abcd外一点，

14、平面pad平面abcd，papd，e为ad的中点，则下列结论不一定成立的是(）apeacbpebcc平面pbe平面abcdd平面pbe平面pad解析:因为papd，e为ad的中点，所以pead.又平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，所以pe平面abcd，所以peac,pebc，所以a，b成立又pe平面pbe,所以平面pbe平面abcd，所以c成立若平面pbe平面pad，则ad平面pbe，必有adbe,此关系不一定成立，故选d.答案：d二、填空题8设，是空间两个不同的平面，m,n是平面及外的两条不同直线从“mn；;n；m”中选取三个作为条件,余下一个作为结论，写出你认为正确的一个

15、命题：_（用序号表示）解析：共有四个命题：，,；对于，若mn，n，则m与可平行或相交，故命题错误;对于，若mn,m，则n与可平行或相交，故命题错误；对于,因为mn,n,则m或m,又因为m，则.故命题正确对于，因为m，则m或m,又因为m,则mn.命题正确故答案为：（或)答案：(或）9下列命题：，l,m，则lm;，l，则l;，l，则l与相交,或l，或l.其中正确的是_解析:根据面面垂直与线面平行的性质判断命题的对错答案：10如图所示，三棱锥pabc的底面在平面上,且acpc，平面pac平面pbc,p，a，b是定点，则动点c运动形成的图形是_解析：因为平面pac平面pbc，acpc，ac平面pac，

16、平面pac平面pbcpc。所以ac平面pbc。又bc平面pbc，所以acbc，所以acb90.所以动点c运动形成的图形是以ab为直径的圆(除a，b两点)答案:以ab为直径的圆(除去a,b两点)11设，是两个不同的平面，l是一条直线，给出四个命题：若l，则l；若l，,则l；若l,，则l；若l，则l。则正确命题的个数为_解析：错，可能有l；错，可能有l；正确；错，也可能有l，或l或l与相交答案:112设m，n为空间的两条直线，为空间的两个平面，给出下列命题:若m，m，则;若m，m，则；若m，n，则mn；若m，n，则mn.上述命题中，其中假命题的序号是_解析：若m，m，则与相交或平行都可能，故不正确

17、;若m，m,则，故正确；若m，n,则m与n相交、平行或异面，故不正确；若m,n,由线面垂直的性质定理知mn，故正确答案：三、解答题13如图，在棱长均为2的直三棱柱abca1b1c1中，e为aa1的中点求证：平面b1ec平面bcc1b1.证明：如图，取bc，b1c的中点分别为f，g，连接af，eg,fg，由e，f，g分别为aa1，bc，b1c的中点知fg綊bb1綊ae，所以aegf为平行四边形，所以afeg.在直三棱柱中，由平面bcc1b1平面abc，且afbc，知af平面bcc1b1,所以eg平面bcc1b1。又eg平面b1ec，所以平面b1ec平面bcc1b1.14如图,正方形abcd和四边

18、形acef所在的平面互相垂直,efac,ab,ceef1。求证：（1）af平面bde；(2）cf平面bde.证明：(1）设ac与bd交于点g。因为efag，且ef1，agac1.所以四边形agef为平行四边形，所以afeg。因为eg平面bde，af平面bde，所以af平面bde。(2)如图，连接fg.因为efcg，efcg1，且ce1.所以四边形cefg是菱形所以cfeg。因为四边形abcd为正方形，所以bdac.又因为平面acef平面abcd，且平面acef平面abcdac,所以bd平面acef.所以cfbd.又bdegg，所以cf平面bde。能力提升15.如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中,已知平面aa1c1c平面abcd，且abbcca，adcd1。（1)求证:bdaa1；（2)若e为棱bc的中点，求证:ae平面dcc1d1。证明：（1）在四边形abcd中，因为abbc，addc，所以bdac，又平面aa1c1c平面ab