完整版三次函数性质总结练习

1、-三次函数的性质三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d（a0）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分， 因此有必要对其性质有所了解， 才可以做到知己知彼，百战不殆性质一单调性以 a0 为例，如图 1，记 =b2- 3ac 为三次函数图象的判别式，则图 1 用判别式判断函数图象当 ? 0 时， f(x)为 r 上的单调递增函数；当 0时， f(x)会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值性质一的证明f(x)的导函数为f(x)=3ax3+2bx+c,其判别式为 4(b2- 3ac)，进而易得结论例 1设直线 l 与曲线 y=x3+x+1 有三个不同的交点

2、a,b,c，且|ab|=|bc|=5 ，求直线 l 的方程解 由|ab|=|bc|可知 b 为三次函数的对称中心，由性质一可得 b(0,1)，进而不难求得直线 l 的方程 y=2x+1性质二对称性如图 2，f(x)的图象关于点 p(- b3a,f(- b3a)对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于 p 对称）图 2图象的对称性-反之，若三次函数的对称中心为 (m,n)，则其解析式可以设为 f(x)=?(x- m)3+?(x- m)+n,其中 0性质二的证明由于f(x)=a(x+b3a)3+(c- b23a)(x+b3a)- bc3a+2b327a2+d,即f(x)=( x+b3a

3、)3+(c- b23a)(x+b3a)+f(- b3a),于是性质二得证例 2设函数 f(x)=x(x- 1)(x- a)， a1（ 1 ）求导数 f(x)，并证明 f(x)有两个不同的极值点 x1， x2；（ 2 ）若不等式 f(x1)+ f(x2)? 0 成立，求 a 的取值范围（ 1）解 f(x)的导函数f(x)=(x- 1)(x- a)+x(x- a)+x(x- 1)=3x2- 2(a+2)x+a,而f(0)f(1)f(a)=a0,=1- a0,于是 f(x)有两个变号零点，从而f(x)有两个不同的极值点（ 2）解 根据性质二，三次函数的对称中心 (a+13,f(a+13)是两个极值点

4、对应的函数图象上的点的中点于是f(x1)+f(x2)=2f(a+13)? 0,即2?a+13?a- 23?- 2a+13? 0,结合 a1，可得 a 的取值范围是 2,+ )注本题为 2004 年高考重庆卷理科数学第20 题性质三切割线性质如图 3，设 p 是 f(x)上任意一点（非对称中心），过p 作函数 f(x)图象的一条割线 ab 与一条切线 pt（ p 点不为切点）， a、b、t 均在 f(x)的图象上，则 t 点的横坐标平分 a、b 点的横坐标图 3切割线性质-推论 1设 p 是 f(x)上任意一点（非对称中心），过p 作函数 f(x)图象的两条切线 pm、pn，切点分别为 m、p，

5、如图则 m 点的横坐标平分 p、n 点的横坐标，如图 4图 4切割线性质推论一推论 2设 f(x)的极大值为 m，方程 f(x)=m 的两根为 x1、x2（ x10 时， b- ma0 时为 1 个公共点， b- ma=0 时为 2 个公共点， b- ma0 时为 3个公共点；当 a0 时为 3 个公共点， b- ma=0 时为 2 个公共点， b- ma0，如果过点 (a,b)可作曲线 y=f(x)的三条切线，证明： - ab0曲线 y=f(x)在点 p(0,f(0)处的切线方程为 y=1（ 1 ）确定 b,c 的值；（ 2 ）设曲线 y=f(x)在点 (x1,f(x1)及 (x2,f(x2

6、)处的切线都过点 (0,2)证明：当x1x2 时， f(x1) f(x2)；（ 3 ）若过点 (0,2)可作曲线 y=f(x)的三条不同切线，求a 的取值范围解（ 1）f(x)的导函数为f(x)=x2- ax+b,于是该函数在 x=0 处的切线方程为y=bx+c,因此b=0,c=1.（ 2）函数 f(x)在 x=t 处的切线方程为y=(t2- at)(x- t)+13t3- a2t2+1,当切线过点 (0,2)时可得23t3- a2t2+1=0,于是 x1,x2 是该方程的两个不等实根考虑f(x1)- f (x2)=(x21- ax1)- (x22- ax2)=(x1- x2)?(x1+x2-

7、 a),而? 23x31- a2x21+1=0,23x32- a2x22+1=0, 两式相减并约去 x1- x2，得x21+x1x2+x22=34a2,而x21+x1x2+x22=(x1+x2)2- x1x2(x1+x2)2- 14(x1+x2)2=34(x1+x2)2,于是x1+x2a,进而可得f(x1) f(x2).（ 3）函数 f(x)的对称中心为 (a2,- a312+1)，于是在对称中心处的切线方程为 y=- a24(x- a2)- a312+1,根据性质四的结论，可得12233,即 a 的取值范围是 (233,+ )注此题为 2010 年高考湖北卷文科数学第21 题（压轴题）练习题

8、练习 1 、已知函数 f(x)=13x3+ax2+bx，且 f(-1)=0 （ 1）试用含 a 的代数式表示 b；（ 2）求 f(x)的单调区间；（ 3）令 a=-1 ，设函数 f(x)在 x1,x（2x1x2）处取得极值，记点 m(x1,f(x1)，n(x2,f(x2)，证明：线段 mn 与曲线 f(x)存在异于 m、n 的公共点练习 2 、已知 f(x)=x3+bx2+cx+d 在(- ,0)上是增函数，在 (0,2)上是减函数，且方程 f(x)=0 有三个根，它们分别为从小到大依次为、2、求 |- |的取值范围练习 3 、如图 8 ，记原点为点 p1(x1,y1)，由点 p1 向三次函数

9、 y=x3- 3ax2+bx（a0）的图象（记为曲线 c）引切线，切于不同于点 p1 的点 p2(x2,y2)，再由点 p2 引此曲线 c 的切线，切于不同于点 p2 的点 p3(x3,y3)如此继续作下去，得到点列 pn(xn,yn) 试回答下列问题：图 8（ 1）求数列 xn 的递推公式与初始值；（ 2）求 lim n+xn，并指出点列 pn 的极限位置在何处？练习 4 、已知 f(x)=x3- x，过点 (x0,y0)作 f(x)图象的切线，如果可以作出三条切线，当 x0(0,1)时，求点 (x0,y0)所在的区域面积练习 5 、已知函数 f(x)=2x3- 3x（ 1）求 f(x)在区

10、间 -2,1 上的最大值；（ 2）若过点 p(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切，求 t 的取值范围；-（ 3）问过点 a(-1,2) ，b(2,10)，c(0,2)分别存在几条直线与曲线 y=f(x)相切？（只需写出结论）练习 6 、已知函数 f(x)=13x3+ax2+bx，且 f(-1)=0 （ 1）试用含 a 的代数式表示 b，并求 f(x)的单调区间；（ 2）令 a=-1 设函数 f(x)在 x1,x（2x1x2）处取值极值，记点 m(x1,f(x1)，n(x2,f(x2)，p(m,f(m)， x1m? x2请仔细观察曲线 f(x)在点 p 处的切线与线段 mp 的位置

11、变化趋势，并解答以下问题： 若对任意的 m(t,x2，线段 mp 与曲线 f(x)有异于 p、q 的公共点，试确定 t 的最小值； 若存在点 q(n,f(n)，x1? nm，使得线段 pq 与曲线 f(x)有异于 p、q 的公共点，请直接写出 m 的取值范围（不必写出求解过程）练习题的参考答案练习 1 、（ 1） f(x)的导函数为f(x)= x2+2ax+b,于是所求的代数表达式为b=2a- 1.（ 2）在（ 1）的基础上，有f(x)=(x+1)?(x+2a- 1),于是当 a1 时，函数 f(x)的单调递增区间是 (- 1-2a)和 (-1,+ )，单调递减区间是(1-2 a,-1) （

12、3）此时f(x)=13x3- x2- 3x,而f(x)=x2- 2x- 3,于是 m(- 1,53)，n(3,-9) 根据性质二，该公共点为三次函数f(x)图象的对称中心(1,-113 )注本题为 2009 年高考福建卷文科数学第21 题（压轴题）练习 2 、根据题意， x=0 为 f(x)的导函数f(x)=3x2+2bx+c的零点，于是 c=0又 f(2)=0，于是-8+4b+d=0,即d=-4 b- 8,从而f(x)=x3+bx2- (8+4b)=(x- 2)?x2+(b+2)x+2b+4,因此(- )2=(+)2- 4?=(2- b)2- 16.另一方面，由 f(x)在 (0,2)上是减

13、函数得 f(2)? 0，即12+4b? 0,于是可得 b 的取值范围是b-3.从而 |- |的取值范围是 3,+ )练习 3 、（ 1） 根据已知，联立p1 出发的切线方程与曲线c 的方程，得(x- x1)(x- x2)2=0,又 x1=0，切线方程只能改变左边三次式的一次项和常数项，于是可得x2=32a.进而由性质三的推论1 可得? n? 3 n n?,2xn=xn- 1+xn- 2.于是数列 xn 的递推公式与初始值为xn=xn- 1+xn- 22,n? 3nn?,x1=0,x2=32a.（ 2）由数列的递推公式不难得到通项? n n?,xn=a?1- (- 12)n- 1,于是lim n +xn=a.因此点列 pn 的极限位置为 (a,-2 a3+ab)，也就是三次函数的对称中心练习 4 、函数 f(x)在对称中心 (0,0)处的切线方程为y=- x,于是根据性质四的结论，我们可得所求区域面积为 10x3- x-(- x)dx=10x3dx=14.练习 5 、（ 1） f(x)的导函数f(x)=6x2- 3,于是可得 f(x)在区间 -2,1 上的最大值为max f(-2 2),f(1) =2.-（ 2）函数 f(x)在对称中心 (0,0)处的切线方程为y=-3 x,根据性质四的结论，可得- 3tf