有质量的弹簧

1、有质量的弹簧放寒假回家，爸爸说要抱我，看看我长重了没有，我故意使劲想让他抱不动，我绷紧肌肉 爸爸费了好大力量也没抱起我。“不要使劲，”爸爸说，“使劲我怎么抱得动！ ”我不想继续难为他，便放松了肌肉，他果然轻松的举起了我，“还要多锻炼呀！太轻了！ ”爸爸对我说。突然，脑中忽然闪过那个词， 使劲？我使得可是内力呀！为什么内力让自己显得更重了?于是便有了以下这些思考：1. 有质量的弹簧为了解决以上的问题，由于人体有弹性，不妨将人体看成一个有质量的弹簧，肌肉的 收缩改变弹簧的倔系数。下面我们的讨论对象就是这个有长度有质量的弹簧。当我研究 它时，发现这个由人体抽象而来的模型有很多很复杂的性质。2. 质心

2、的位置ImL ,质量为M， 的函数，下面计算质心离顶端的高度 考虑微元dm,它上面的弹簧共重设弹簧的原长为倔强系数为k，立于地面上，高为doh，线密度为p是xmg则有 dx=mg/(k*M/dm)=mg/KM*dma两边积分 dx0mmgdm,其中a为弹簧在重力作用下收缩的长度。kM得到，a=M注：这里的计算不能对整个弹簧使用胡克定律,aK=Mg从而得到a=JMg，因为此时的k弹簧各个部位的压缩状况是不同的了!x又 g pdx =0XM pdx卄,K L dx),即 g pdx =KL-MK/p pdx M0两边对x 求导：gp =MKKdp p2dx，解此微分方程得到:p=p际MK,其中 p

3、0=M/L.2gp0 x1 1 ad= xpdxM 0 n3(mK3/23g pQtMMkJmK 2g(L a) p02 g(L a)p02JmK 2g(L a)p02)，其中 a= Mg ， pO=M/L.2k容易看到当k趋向无穷大时，d=L/2，此时弹簧可看作刚体，质心当然是在重点！求导 后容易发现d/l (l=L-a)，随着K的增大减小，其实从 P的表达式可以直接观察到这一点， 因为当K小时，P随x的增加变化快，相反当 k很大时，P随x的增加增加的较慢，故质心 将更接近中点！3. 举起有质量的弹簧f如图，设用恒力f向上提弹簧的顶端，当底端刚好离开地面时弹簧的动能为零。弹簧举起前后的高度分

4、别是 h1和h2，故f*h=Mg(h2-h1)+E2-E1,其中E2, E1分别是(2)，( 1)中弹簧的弹性势能，若用小于Mg的力f,去拉弹簧，则它将先做向上的加速度不断减小的加速运动，只到加速度变为向下， 继续向上做减速运动，当底端脱离的瞬间速度为零，此时加速度仍向下，故(2)中弹簧的 拉伸长度a=，其中g g,故E2 E1。2k所以 f Mg(h2-h1)/h, 由 2 中的讨论知 h1L1/2,h2wovcv ocyyj图（1）是不考虑弹簧质量的情况。图（ 2）中我们假设物体和弹簧的质量都是 M,弹簧原长 L倔强系数 K我们将其看成两段长为 L/2的轻质弹簧之间连着- 个质量为M的小球

5、，不妨设物体的质量也为 M。对小球和物体列运动方程：设小球，物体偏离平衡位置的长度分别为,x1,x2，弹簧本来压缩2AM x1 2Kx1, M x2 2K(x1x2);解得 x2=2Acoswt,x1=Acoswt,其中w=兰。物体与小球之间的距离Y Mx=Acoswt;当wt= /2时，物体与弹簧分离,而此时小球有速度 Aw,故具有动能E=-M(Aw)2，21物体此时的动能为 E0=M（2Aw）2，故仅有五分之四能量传递给了物体！小球随后做角2频率为J 的简谐振动。容易发现采用（2）的假设，物体从开始运动到分离将经过更长V M的时间！但是（2）的假设是很不精确的，真正准确的假设是应该将弹簧是

6、为N个质量为M/N的小球，之间连有倔强系数为 N*K的轻质弹簧，然后考虑N趋向无穷的极限情况。原则上通过 微分方程组的求解可以求到具体的运动情况，但这种运动无疑将是十分复杂的由于数学知识有限本人在此无法给出一个解答。（2） 简振模以上的第二种假设实际上引出了一个更复杂更深刻的问题，那便是多自由度的振动！ 以下是作者的一些猜测与疑惑：(在图（1）, （2）中N个质量为m的小球被弹簧（倔强系数k）连接起来，分别挂在两面墙之间，和约束在一个球体上。由振动知识，当初始条件合适时，它们有N个简振频率，可以做N总不同模式的振动， 当N趋向无穷时，它们的角频率频谱是连续的从0到2w0的，其是否意味着弹簧再一定初中w0=叵,若将有质量的弹簧抽象成无穷多个小球串上轻弹簧, k始条件下可以以某种模式振动，若可以考虑到m=M/N k=K*N, w0将趋向无穷，那么它的角频率将是可以趋向无穷的，这可能吗？5. 总结弹簧是一个质量连续分布的固体，讨论它的运动状态和内部应力需要更多的物理和 数学知识，由于水平所限以上的很多推理不免有谬误。但有一点是很清楚的，那就是当 考虑弹簧的质